6.3 Etude de la dynamique entre ´etats ´
6.3.2 Transitions vers (eb) et depuis (eb)
8
f
2(Hz
)
−4 −2 0 2
4
6
8
t− τ
i(s)
f
1(Hz
)
−4 −2 0 2
t− τ
i(s)
Figure6.29 – Profil de transitions ↓ ( `a g.) et ↑ ( `a dr.) pour une exp´erience `a γ = −0.0891, recal´ees en utilisant le point d’inflexion de la vitesse de la turbine f2 (la plus lente) filtr´ee `a 1Hz. La ligne blanche correspond `a la moyenne de l’ensemble des 195 transitions observ´ees, dont une quarantaine est visible sur le graphique. Toutes les transitions↓ semblent avoir une mˆeme tendance globale, o`u la vitesse f1 passe par deux maxima locaux avant de diminuer brusquement, en mˆeme temps que la vitesse du haut f2. Les transitions ↑ ne semblent pas montrer d’´ev´enement pr´ecurseur, cependant, elles sont suivies d’un maximum local de f1, correspondant `a un passage dans l’´etat ( ei2).
la dynamique de notre syst`eme. En effet, l’article de M. Berhanu et al., consacr´e `a l’´etude des r´egimes dynamiques de l’effet dynamo, souligne la pr´esence de transitions entre ´etats de la dynamo ainsi que d’excursions, qui sont des transitions avort´ees. Celles-ci rappellent respectivement les transitions vers notre ´etat lent (eb) ainsi que les sauts observ´es vers l’´etat (ei). En superposant les profils individuels de transition, l’article de M. Berhanu et al. arrive `a d´egager un sc´enario g´en´eral des renversements entre ´etats quasi-stationnaires de la dynamo. Ce profil moyen a d’ailleurs aid´e `a construire un mod`ele d’´evolution de champ magn´etique comme un processus stochastique `a petit nombre de degr´es de libert´e, qui reproduit avec succ`es les diff´erents ´ev´enements (excursions et renversements) observ´es dans l’exp´erience VKS.
6.3.2 Transitions vers (eb) et depuis (eb)
Les transitions observ´ees dans notre syst`eme sont de deux types : soit nous partons d’un ´etat rapide — g´en´eralement (es) — vers un ´etat lent (eb), ce qui nous donne une transition ↓, soit nous faisons le contraire : partant d’une situation (eb), nous tendons vers un ´etat rapide (ei) ou (es), ce qui nous donne logiquement une transition ↑.
Pour observer la meilleure courbe « moyenne » de transition possible, il est pr´ef´erable d’avoir un maximum d’´ev´enements `a d´etecter. Nous avons donc effectu´e des exp´eriences o`u plus de 200 transitions sont d´enombr´ees, ce qui a permis une bonne convergence de la trajectoire moyenne. Pour synchroniser les ´ev´enements individuels, nous d´etectons d’abord les temps pour lesquels la fr´equence moyenne f = 0.5(f1+ f2) passe au-dessous ou au-dessus d’un seuil donn´e
150 6. La commande en couple (ici, 5.5 Hz en mont´ee, et 4.5 Hz en descente), ce qui nous d´efinit grossi`erement l’instant de la transition. Ensuite, nous filtrons `a 1 Hz le signal de la turbine la plus forc´ee (la turbine la plus lente en moyenne) au voisinage de cette transition en utilisant un filtre `a d´ecalage de phase nul, filtfilt, afin de trouver un point d’inflexion de la fr´equence de rotation. L’abscisse de ce point d’inflexion, not´ee τi, va alors nous servir `a superposer toutes les transitions des signaux de vitesse filtr´es `a 45 Hz. L’algorithme s´electionne enfin les transitions observ´ees afin de ne conserver que celles qui maintiennent une vitesse lente (pour ↓) ou rapide (pour ↑) pendant plus de trois secondes. Ces transitions, visibles sur la figure 6.29, montrent un profil global assez bien d´efini `a la fois pour les transitions↑ et ↓. Les transitions ↓ surviennent pendant que la turbine lente acc´el`ere lentement. Au mˆeme moment, la turbine rapide passe par plusieurs maxima de vitesse. Quand la vitesse de la turbine lente est suffisante, le maximum local de vitesse de la turbine rapide est imm´ediatement suivi d’une forte baisse de la vitesse des deux turbines. Il est donc possible de savoir quand ces transitions vont survenir, mˆeme si quelques faux positifs sont `a d´eplorer. Les transitions↑ semblent quant `a elles relativement impr´evisibles car elles ne pr´esentent aucun indice pr´ecurseur : pendant un ´ev´enement (eb), les vitesses des turbines — initialement stationnaires — augmentent soudainement en mˆeme temps. Ensuite, la vitesse de la turbine la moins forc´ee passe par un maximum vers 8 Hz avant de ralentir aux alentours de 7 Hz, tandis que la vitesse de la turbine plus forc´ee continue d’augmenter progressivement jusqu’`a atteindre 7 Hz. Nous voyons donc bien le syst`eme passer de mani`ere transitoire dans un ´etat qui ressemble `a l’´etat (ei), avant de rejoindre (es).
6.3.2.1 Petites et grandes excursions : de l’´etat (es) vers ... l’´etat (es) Les sauts observ´es dans le syst`eme aux petits γ montraient un bref passage de (es) vers l’´etat (ei), pour revenir ensuite rapidement dans l’´etat (es). La section 6.1.3.5 nous a renseign´e sur le caract`ere anti-corr´el´e initiale de tels ´ev´enements, qui se corr´elaient ensuite partiellement aux γ plus ´elev´es. De la mˆeme mani`ere que pour les transitions ↑ et ↓, il est possible de d´egager un sc´enario g´en´eral pour les petites excursions anti-corr´el´ees et les grandes excursions partiellement corr´el´ees. Nous avons donc effectu´e le mˆeme traitement que dans la section pr´ec´edente pour nos petits ´ev´enements.
Les excursions g correspondent aux petits sauts fugaces vers (ei) qui sont tr`es anti-corr´el´es. Pour les d´etecter, nous n’avons pas cherch´e `a d´eterminer le point d’inflexion de nos signaux de vitesse, mais plutˆot les maxima locaux de la turbine en moyenne la plus lente. Une fois de plus, nous constatons sur la figure 6.30 un profil moyen assez repr´esentatif des diff´erentes excursions observ´ees, la superposition des courbes ´etant plutˆot bonne. Le maximum observ´e de la fr´equence de rotation la plus lente en moyenne est en moyenne en retard de 0.3 s (soit, `
a cette fr´equence de rotation, environ deux tours de turbines) par rapport au minimum de la fr´equence en moyenne la plus rapide. Il semblerait donc que les excursions g proviennent d’une fluctuation qui viendrait gˆener la rotation de la turbine la plus rapide en moyenne. Cette fluctuation, a priori visible sur la figure 6.9, reste toutefois discr`ete : la turbine du bas (plus rapide en moyenne) semble pomper dans l’´ecoulement une partie du fluide proche de la turbine du haut, au del`a de la couche de cisaillement, ce qui pourrait expliquer le ralentissement observ´e de cette turbine pour les excursions g.
Les ´ev´enements ∪, qualifi´es de grosses excursions, se d´etectent presque de la mˆeme ma-ni`ere : n´eanmoins, les exp´eriences o`u l’on cherche `a d´etecter les∪ sont g´en´eralement remplies d’excur-sions g. Nous avons vu de plus dans la figure 6.14 que le maximum de fr´equence de rotation de la turbine lente n’´etait plus du tout synchronis´e avec le minimum associ´e de la turbine rapide quand les excursions g deviennent des ∪. C’est en effet le minimum local de la vitesse « lente » qui arrive presque en mˆeme temps que celui de la vitesse « rapide ». Nous nous int´eresserons donc d´esormais aux minima de fr´equence de la turbine la plus lente en moyenne. Lorsque ceux-ci sont bien synchronis´es avec un minimum de fr´equence de la turbine
6.3. ´Etude de la dynamique entre ´etats 151
−4 −2 0 2 4
4
6
8
t− τ
i(s) −4 −2 t− τ0
i(s) 2 4
Figure6.30 – Excursions g vers l’´etat (ei) pour une exp´erience `a γ = 0.019 : vitesse instan-tan´ee de la turbine du bas ( `a g.), plus forc´ee et de la turbine du haut ( `a dr.), moins forc´ee, et trac´e d’une excursion moyenne (ligne blanche). La turbine qui acc´el`ere semble ˆetre l´eg`erement en retard (de 0.3 s environ) sur celle qui ralentit.
rapide (le crit`ere ´etant donn´e par une synchronisation `a ±0.15 s pr`es, soit environ un tour de turbine), alors l’´ev´enement observ´e est suppos´e un∪. Cela nous permet de d´efinir un nou-veau profil moyen de transition, visible sur la figure 6.31. La superposition des courbes de la figure 6.31 est l´eg`erement moins bonne que pour les figures 6.29 et 6.30. Il est possible que cette moins bonne superposition soit li´ee `a l’assez grande variabilit´e des ´ev´enements ∪ obser-v´es. La forme moyenne observ´ee confirme nos descriptions de la section 6.1.3.5 : la turbine en moyenne la plus rapide ralentit progressivement pour atteindre un minimum de vitesse, peut-ˆetre une fois de plus `a cause du pompage important qu’elle effectue, mais cette fois-ci, ce minimum est corr´el´e `a un minimum de fr´equence de l’autre turbine. Cette derni`ere acc´el`ere ensuite pour atteindre un maximum de vitesse avant de revenir vers l’´etat (es).
−2 −1 0 1 2
t− τ
i(s)
f
(Hz
)
−2 −1 0 1 2
4
5
6
7
8
9
t− τ
i(s)
f
(Hz
)
Figure6.31 – Sauts partiellement corr´el´es∪ vers l’´etat (ei) pour une exp´erience `a γ = −0.067 : vitesse instantan´ee de la turbine du haut ( `a g.), plus forc´ee que la turbine du bas ( `a dr.) et trac´e d’un saut moyen (ligne blanche). Cette fois-ci, les deux minima de vitesse des turbines sont atteints en mˆeme temps tandis que la turbine la moins forc´ee passe ensuite par un maxi-mum local de vitesse.
6.3.2.2 Observation des trajectoires dans le plan (f1, f2)
Afin de mieux visualiser ces trajectoires moyennes par rapport aux trajectoires instanta-n´ees, nous pouvons superposer ces moyennes `a des histogrammes `a deux dimensions de la distribution jointe de (f1, f2), pour une version filtr´ee `a 30 Hz des signaux temporels de la fr´equence de rotation des turbines. Ce filtrage est requis `a cause d’une fˆacheuse tendance de
152 6. La commande en couple nos signaux de vitesse `a la discr´etisation, li´ee `a notre m´ethode de mesure par capteur optique (voir pour cela le chapitre2 sur le montage exp´erimental). De tels histogrammes, visibles sur la figure6.32, ont une forme caract´eristique de « virgule » quand les trois ´etats intermittents (es), (ei) et (eb) sont atteints. Sur ces diagrammes, il est assez facile de trouver deux des ´etats intermittents : (es), situ´e g´en´eralement `a vitesse ´elev´ee sur la diagonale (f1 = f2), et (eb), situ´e aux faibles valeurs de f1 et f2 `a l’autre extr´emit´e de la « virgule ». L’´etat interm´ediaire est plus d´elicat `a trouver car il ne correspond pas tout `a fait `a la troisi`eme extr´emit´e (ici, tout `a droite) de la virgule. Il est plutˆot situ´e `a gauche de celle-ci, en bas `a droite du pic de probabilit´e de l’´etat (es) : il est presque visible sur la figure6.32c. Une meilleure m´ethode de visualisation, que nous avons employ´ee, superpose dans une vid´eo la distribution jointe de la figure 6.32 et la position instantan´ee du syst`eme, r´ev´elant les ´etats stationnaires de l’´ecoulement (o`u la position instantan´ee (f1(t), f2(t)) du syst`eme fluctue peu autour d’une moyenne). En mettant `
a profit les profils de f1 et de f2 moyens issus de la figure6.29, nous pouvons de plus estimer les trajectoires (f1(t), f2(t)) prises par notre syst`eme lors des transitions↑ et ↓ (cf. fig.6.32d). Les transitions ↑ effectuent une « boucle » caract´eristique `a partir du haut de la virgule (es) avant de rejoindre l’´etat (eb) en bas, tandis que les transitions ↑ issues de (eb) passent par la troisi`eme extr´emit´e de la virgule avant de revenir vers (es).
6.3.3 Etude des temps de r´´ esidence