La Transform´ ee de Fourier Quantique et le groupe SLOCC

SLOCC

Une autre propri´et´e int´eressante de la Transform´ee de Fourier Quantique, g´en´eralement utile dans le contexte du calcul quantique, est le fait que la TFQ en- voie l’´etat de base _|0i⊗n sur l’´etat compl`etement parall´elis´e<sub>|+i</sub>⊗n. Cette propri´et´e peut en effet peut ˆetre g´en´eralis´ee `a tout ´etat de la base de calcul.

Remarque 28. Si l’on applique la Transform´ee de Fourier Quantique sur un des ´etats de la base de calcul (base canonique), alors on obtient un ´etat qui est s´eparable. Nous pouvons directement d´eduire ce r´esultat `a partir de la repr´esentation factoris´ee rappel´ee en Equation (5.4) de la Section II.6 du livre [200]. En effet, pour un ´etat de base |j1j2. . . jni, on obtient l’´etat factoris´e

1 √

2n(|0i+e

2iπ0·jn|1i)·(|0i+e2iπ0·jn−1jn|1i) · · · (|0i+

e2iπ0·j1j2...jn|1i) apr`es l’application de la Transform´ee de Fourier Quantique.

Cette propri´et´e est aussi reli´ee au probl`eme de classification de l’intrication apr`es l’application de la TFQ. En effet, on peut en d´eduire que tout ´etat de base reste dans la vari´et´e des ´etats s´eparables apr`es l’application de la Transform´ee de Fourier Quantique. Cependant, ceci n’est pas vrai pour tous les ´etats s´eparables, comme ceci peut ˆetre observ´e par exemple dans les Tables 4.2 et 4.4, et plus loin dans cette section.

En effet, ces tables montrent que la TFQ peut transformer des ´etats s´eparables en ´etats intriqu´es et peut changer la nature de l’intrication. On se propose de consid´erer un autre exemple simple et clair pour le cas des 3-qubits, et d’appliquer la TFQ `a l’´etat |W i = _√1

3 (|001i + |010i + |100i). Nous savons que l’´etat |W i appartient `a la vari´et´e

des tangentes et correspond `a l’orbite <sub>O</sub>5 pour les 3-qubits. Apr`es application de la

TFQ nous obtenons l’´etat suivant : T F Q_{|W i = √}1 8 1 √ 3 

3_{|000i + (ω + ω}2+ ω4)_{|001i + ω}2_{|010i + (ω}3+ ω6+ ω4)_|011i +_{|100i + (ω}5+ ω2+ ω4)_{|101i + ω}6_{|110i + (ω}7+ ω6+ ω4)_|111i ,

(4.27) avec ω = e2iπ8 .

Si l’on ´evalue l’hyperd´eterminant de Cayley pour cet ´etat r´esultant de la TFQ ap- pliqu´ee `a<sub>|W i, on obtient une valeur ´egale `a</sub> −i

36, ce qui signifie que cet ´etat appartient `

a l’orbite_O6, et est donc ´equivalent `a l’´etat |GHZi. On observe alors une modification

de la classe d’intrication par application de la Transform´ee de Fourier Quantique. De ce fait, il peut ˆetre int´eressant d’´etudier de plus pr`es dans quelle mesure on peut passer d’un type d’intrication `a un autre par application de la TFQ, et de mani`ere g´en´erale d’´etudier quelles peuvent ˆetre les classes d’´equivalence li´ees `a l’action du groupe SLOCC_{∪{T F Q, T F Q}−1_{} ou SLOCC∪{H, c−R}k, SW AP} (o`u c−Rkd´esigne la porte

controlled -Rk d´efinissant la TFQ). Il peut ´egalement s’av´erer int´eressant d’´etudier l’in-

trication g´en´er´ee par les circuits compos´es des portes H, SW AP et c_{− R}k, comme cela

a pu ˆetre ´etudi´e par Bataille et Luque [22] pour le cas des portes c_{−Z et SW AP , afin de} comprendre plus en profondeur l’influence de telles portes (contrˆol´ees) sur l’intrication des ´etats g´en´er´es.

En guise de premier cas d’´etude dans cette direction, nous proposons de nous pencher sur le cas des ´etats `a 2-qubits et 3-qubits. Dans le cas des 2-qubits, on constate qu’il n’existe qu’une seule orbite sous l’action du groupe que l’on notera G0 = SLOCC_∪ {T F Q, T F Q−1

}. En effet, si l’on consid`ere l’´etat |Ψ1i d´efini par

|Ψ1i = 1 √ 2  |00i + |01i , (4.28) si on lui applique la TFQ, on obtient l’´etat intriqu´e_|Ψ2i.

|Ψ2i =

1 2√2



2_{|00i + (1 + i)|01i + (1 − i)|11i}. (4.29) Nous savons que pour les syst`emes `a 2-qubits, il n’existe que deux classes d’intrica- tion sous SLOCC : s´eparable ou intriqu´e (EPR). Etant donn´e que nous pouvons passer de l’´etat s´eparable _|Ψ1i `a l’´etat intriqu´e |Ψ2i, alors il n’existe qu’une seule orbite sous

Pour ´etudier ce qu’il se passe pour le cas des 3-qubits, on d´efinit un certain nombre d’´etats `a 3-qubits auxquels nous appliquons la TFQ. :

|Φ1i =

1 √ 3



|001i + |010i + |100i∈ O5, (4.30)

|Φ2i = T F Q|Φ1i, |Φ3i = T F Q|Φ2i, (4.31) |Φ3i = 1 √ 3 

|100i + |110i + |111i∈ O3, (4.32)

|Φ4i = 1 √ 2  |110i + |111i∈ O4, (4.33) |Φ5i = T F Q|Φ4i, (4.34) |Φ6i = 1 √ 2  |101i + |111i∈ O1, (4.35) |Φ7i = T F Q|Φ6i, (4.36) |Φ8i = 1 √ 2  |000i + |101i∈ O2, (4.37) |Φ9i = T F Q|Φ8i . (4.38)

En observant la Figure 4.8 regroupant l’ensemble des passages possibles entre les ´etats pr´ec´edemment d´efinis, nous pouvons nous assurer que, en partant d’un ´etat par- ticulier _|Φii, nous pouvons atteindre n’importe quel ´etat dans n’importe quelle orbite,

en appliquant une succession d’op´erations SLOCC et/ou de TFQ (ou son inverse). Nous pouvons ainsi conclure qu’il n’existe qu’une unique orbite sous l’action du groupe G0, dans les cas des 2-qubits et des 3-qubits. Il peut apparaˆıtre difficile d’´etudier le cas des 4-qubits, le nombre d’orbites sous l’action du groupe SLOCC ´etant infini. En revanche, une premi`ere ´etude peut ˆetre men´ee en consid´erant `a la place les familles et sous familles de Verstraete et al., ainsi que les strates du cˆone nilpotent. Les r´esultats pr´esent´es en Table 4.2 et 4.4 peuvent ´egalement ˆetre utilis´es pour d´eterminer des ´etats ´equivalents sous l’action de la TFQ (et son inverse), mais qui ne sont pas ´equivalents sous l’action du groupe SLOCC.

4.4

Perspectives

Dans cette section nous proposons quelques id´ees et perspectives pour poursuivre le travail autour de l’algorithme de Shor pr´esent´e dans ce chapitre.

Tout d’abord, il serait int´eressant d’´etudier l’intrication qui apparait `a d’autres endroits de l’algorithme. Par exemple, on pourrait ´etudier l’intrication entre les deux registres quantiques durant l’algorithme de recherche de la p´eriode. Aussi, on pourrait ´etudier l’intrication g´en´er´ee par la porte Uf (exponentiation modulaire), et comment

Figure 4.8 – Repr´esentation des passages possibles entre les classes d’´equivalence du groupe SLOCC, par action du groupe SLOCC et de la Transform´ee de Fourier Quan- tique. Les ´etats quantiques regroup´es dans le mˆeme cercle gris appartiennent `a la mˆeme orbite SLOCC. Les fl`eches `a tˆete blanche correspondent `a l’application de la Trans- form´ee de Fourier Quantique. L’´etat le plus proche de la tˆete de la fl`eche est l’´etat r´esultat de la TFQ appliqu´ee `a l’´etat `a la racine de la fl`eche.

Notre ´etude qualitative de l’algorithme concernait les ´etats quantiques `a trois ou quatre particules, et cela a permis d’avoir une premi`ere id´ee des classes d’intrication po- tentiellement impliqu´ees dans l’algorithme. En revanche, il pourrait ˆetre plus int´eressant (mais plus difficile) de consid´erer des cas o`u la taille des entiers `a factoriser permet `a l’algorithme de Shor de montrer en pratique son efficacit´e (par rapport aux algorithmes classiques) et de voir si l’intrication change (qualitativement ou quantitativement) dans ce cas.

En ce qui concerne les ´etats p´eriodiques, on pourrait continuer `a ´etablir des r´esultats g´en´eraux sur la classe d’intrication des ´etats p´eriodiques avant et apr`es l’application de la TFQ, en fonction du shift et de la p´eriode. On peut ´egalement ´etudier plus pr´ecis´ement quels sont les ´etats p´eriodiques qui sont g´en´er´es par l’algorithme de re- cherche de la p´eriode (apr`es la mesure du second registre).

Aussi, durant cette th`ese, nous n’avons consid´er´e que des ´etats p´eriodiques aux coefficients r´eels positif et ´equilibr´es. Il serait int´eressant d’´etudier l’influence de l’in- troduction de phases ou de coefficients, rompant l’´equilibre dans l’expression des ´etats p´eriodiques, sur la classe d’intrication. Ceci pourrait ´eventuellement permettre de se rapprocher de la forme des ´etats p´eriodiques g´en´er´es par l’algorithme de recherche de la p´eriode.

Comprendre plus en profondeur comment la TFQ cr´ee ou modifie qualitativement et quantitativement l’intrication dans les ´etats quantiques constitue ´egalement une pers- pective int´eressante. On pourrait envisager tout d’abord une ´etude des circuits compos´es de portes H, c-Rk et SW AP , dans le mˆeme esprit que l’´etude men´ee par [22]. Enfin,

on peut ´egalement poursuivre le travail sur l’´etude des orbites sous l’action conjointe du groupe SLOCC et de la TFQ, et d’´etudier si l’on peut toujours passer d’une classe d’intrication `a une autre par cette action.

Troisi`eme partie

La G´eom´etrie Alg´ebrique Au

d’outils d´ej`a existants pour l’´etude de l’intrication dans les algorithmes quantiques. Dans cette partie, en exploitant toujours la relation profonde entre l’intrication et la g´eom´etrie alg´ebrique, nous tentons d’apporter des outils originaux afin de caract´eriser et d’´etudier diff´eremment ou de mani`ere plus efficace l’intrication.

Dans le premier chapitre, nous utilisons les singularit´es simples des hypersur- faces comme invariants SLOCC pour caract´eriser l’intrication quantique. Nous nous int´eressons au cas des syst`emes `a 3-qutrits et associons `a chaque ´etat une hypersur- face, issue d’une construction originale de [137]. En ´etudiant les singularit´es de cette hypersurface, nous sommes en mesure de distinguer diff´erentes classes d’intrication, et de r´e-interpr´eter la classification des 3-qutrits.

Dans le second chapitre, nous nous int´eressons aux ´etats maximalement intriqu´es. Nous ´etudions les ´etats maximalement intriqu´es du point de vue de diff´erentes me- sures alg´ebriques et g´eom´etriques de l’intrication. De plus, nous consid´erons diff´erents syst`emes quantiques, notamment les ´etats sym´etriques et fermioniques.

Enfin, dans le troisi`eme chapitre, nous tentons de mettre en place des classi- fieurs de l’intrication par des m´ethodes d’apprentissage machine. En utilisant une ap- proche par apprentissage supervis´e, nous construisons des r´eseaux de neurones pour reconnaˆıtre l’appartenance ou non d’un point `a une vari´et´e alg´ebrique. Nous ´etudions trois diff´erentes vari´et´es li´ees `a la notion d’intrication, et pr´esentons des exemples d’ap- plication pour la classification de l’intrication sous l’action du groupe SLOCC.

Intrication et Singularit´es des

Hypersurfaces

“Physicists explain creation by telling us that the universe began with the Big Bang, an intense energy singularity that continued expanding. But pray, please do explain who created the singularity ?”, Ashwin Sanghi.

La vari´et´e duale associ´ee `a la vari´et´e de Segre d´efinit les ´etats d´eg´en´er´es, les ´etats non-g´en´eriques de l’espace projectif associ´e `a l’espace de Hilbert. Comme ´etabli pr´ec´edemment, cette vari´et´e est d´efinie par un unique polynˆome, qui est l’hy- perd´eterminant. Cet objet trouve un lien ´etroit avec la notion d’intrication, que ce soit sur le plan qualitatif ou quantitatif. D’un point de qualitatif, les points singuliers associ´es `

a l’hyperd´eterminant, et leurs types de singularit´e, d´efinissent des classes d’intrication diff´erentes, et il pourrait ˆetre int´eressant d’´etudier ce polynˆome sous cet angle.

Dans ce chapitre, nous utilisons la th´eorie de singularit´es pour ´etudier les classes d’intrication des syst`emes `a 3-qutrits sous l’action du groupe SLOCC. L’id´ee d´evelopp´ee ici est d’´etudier les singularit´es des hypersurfaces associ´ees `a des ´etats quantiques pour en tirer une information sur la classe d’intrication de ces ´etats. Cette construction a ´et´e d´evelopp´ee pour la premi`ere fois en 2014 par Holweck et al. [137], inspir´ee par une construction de Knop [161] et sera illustr´ee dans ce chapitre uniquement dans le cas des 3-qutrits, pr´esentant principalement le travail men´e dans [131].