5.2 Les singularit´ es simples
5.2.1 La classification d’Arnold
La vari´et´e de Segre X = Seg(Pd−1× · · · × Pd−1)⊂ Pdn−1 des n-dits est une vari´et´e
alg´ebrique rationnelle (elle est ´equivalente `a un produit d’espaces projectifs par une application birationnelle [248]). De ce fait, les hypersurfaces Xϕ seront d´efinies par des
polynˆomes homog`enes `a coefficients complexes. La classification est ´etablie pour un cas plus g´en´eral d’applications (ou germes d’applications) holomorphes f : Cn→ C.
On rappelle qu’une fonction holomorphe est une fonction `a valeurs complexes, d´efinie et d´erivable sur l’ensemble (ou un sous-ensemble) des complexes. La notion de germe renvoie `a des propri´et´es locales d’un objet math´ematique, et permet notamment l’´etude locale d’une fonction en termes de continuit´e ou de d´erivabilit´e.
D´efinition 29. Un point x ∈ Cn est appel´e point critique d’une fonction holomorphe
f si `a ce point x les d´eriv´ees de la fonction f sont ´egales `a z´ero.
D´efinition 30. Un point critique est dit non-d´eg´en´er´e ou point critique de Morse si et seulement si la d´eriv´ee seconde partielle de la fonction en ce point est une forme quadratique non-d´eg´en´er´ee, c’est `a dire si et seulement si la matrice Hessienne de f , au point critique, est de rang maximal.
D´efinition 31. Le corang d’un point critique d’une fonction est la dimension du noyau de la d´eriv´ee seconde au point critique.
On consid`ere `a pr´esent l’ensemble On des germes de fonctions au point 0 ∈ Cn.
Soit Dn, le groupe des germes de l’application biholomorphe g : (Cn, 0) → (Cn, 0). Ce
groupe agit sur l’espace On par la r`egle g(f ) = f ◦ g−1, avec f ∈ On et g ∈ Dn. Les
orbites pour cette action seront alors exactement les classes d’´equivalences des germes de fonctions.
D´efinition 32. Deux germes de fonctions au point 0 sont dit ´equivalents si l’on peut passer d’une fonction `a une autre par un changement de coordonn´ees biholomorphe, laissant le point 0 invariant.
Ces premi`eres d´efinitions nous permettent `a pr´esent d’introduire la notion de sin- gularit´e.
D´efinition 33. Deux points critiques sont dit ´equivalents si les germes de fonction les d´efinissant sont ´equivalents. La classe d’´equivalence d’un germe de fonction `a un point critique est appel´ee singularit´e.
Remarque 34. `A partir de cette d´efinition, il vient que le corang d’un point critique est un invariant de la classe d’´equivalence d´efinie par la singularit´e. De ce fait, une singularit´e sera dite de type Morse (aussi appel´ee non-d´eg´en´er´ee ou quadratique) si et seulement si son corang est ´egal `a 0.
D´efinition 35. Deux germes de fonction f : (Cn, 0) → (C, 0) et h : (Cm, 0) → (C, 0), avec n≤ m, sont ´equivalents en stabilit´e si ces fonctions deviennent ´equivalentes apr`es l’addition d’une forme quadratique non-d´eg´en´er´ee en des variables suppl´ementaires :
f (x1, . . . , xn) + xn+12+· · · + xm2 ∼ h(y1, . . . , ym) . (5.4)
Cette d´efinition nous permet de comparer les d´eg´en´erescences des points critiques des fonctions d´ependant d’un nombre de variables diff´erent. Ajouter des termes quadra- tiques de rang maximal d´ependant de nouvelles variables n’affecte pas la classification du type de singularit´e.
Il existe aussi un autre invariant des singularit´es pouvant ˆetre utile pour distinguer diff´erents types de singularit´e ayant le mˆeme corang. Cet invariant est le nombre de Milnor, aussi appel´e la multiplicit´e du point critique, et est d´efini en introduisant le quotient suivant :
D´efinition 36. L’alg`ebre locale Qf de la singularit´e de f , est d´efinie comme le quotient
de l’alg`ebre des germes de fonction par l’id´eal du gradient de f :
Qf =On/I∇f , avec I∇f =Onhf1, . . . , fni . (5.5)
l’id´eal du gradient g´en´er´e par les d´eriv´ees partielles fi = ∂f /∂xi de la fonction f .
D´efinition 37. La multiplicit´e d’un point critique, c’est `a dire le nombre de Milnor µ d’une singularit´e d’un germe (f, 0), est ´egale `a la dimension de l’alg`ebre locale de (f, 0),
µ = dimC(Qf) = dimC On/I∇f
Il est int´eressant de pr´eciser ici qu’un point critique sera dit isol´e si et seulement si µ < ∞. D’autre part, les singularit´es simples ont ´et´e d´efinies par Arnold comme ´etant les classes de singularit´es qui sont stables, au sens d´efinit ci-dessous :
D´efinition 38. Une singularit´e (f, 0) est dite simple si et seulement si une perturbation (suffisamment) faible de la singularit´e g´en`ere uniquement un nombre fini de classes non- ´equivalentes.
Remarque 39. On remarque, `a partir de cette d´efinition, qu’une singularit´e (f, 0) de type Morse est simple ssi toute fonction f + εh (pour ε petit) est soit non-singuli`ere ou soit de matrice Hessienne de rang maximal.
Dans sa classification des singularit´es simples [12], Arnold a prouv´e qu’ˆetre une singularit´e simple est ´equivalent `a une des conditions suivantes :
• µ < ∞, • corang∂x∂i2∂xfj(x0) ≤ 2, • corang ∂2f ∂xi∂xj(x0)
= 2, et le terme cubique dans les directions d´eg´en´er´ees de la matrice Hessienne est non nul,
• corang∂x∂i2∂xfj(x0)
= 2, et le terme cubique dans les directions d´eg´en´er´ees de la matrice Hessienne est un cube, et µ < 9.
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A l’aide de ces conditions, Arnold a pu obtenir une classification des singularit´es simples en 5 diff´erents types, deux s´eries infinies An et Dn, et trois exceptionnelles E6,
E7et E8, permettant d’´etablir la classification des singularit´e simples pr´esent´ee en Table
5.1.
An, n ≥ 1 Dn, n ≥ 4 E6 E7 E8
xn+1 x2y + yn−1 x3+ y4 x3+ xy3 x3+ y5
Table 5.1 – Formes normales associ´ees aux singularit´es simples. Le nombre de Milnor est not´e n ici.
Remarque 40. Un germe de fonction (f, 0) avec une singularit´e simple est ´equivalent en stabilit´e `a une des formes normales de la Table 5.1.
Remarque 41. En reprenant les notations de la Table 5.1, la singularit´e de type Morse correspond aux singularit´es simples de type A1.
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A partir de ces d´efinitions et de la classification introduite par Arnold, nous expli- quons dans la prochaine sous-section comment proc´eder en pratique au calcul et `a la d´etermination du type de singularit´e associ´e `a une hypersurface.