Etude de cas ´

Dans cette sous-section, nous ´etudions l’algorithme de Grover dans certains cas pr´ecis, lorsqu’il est appliqu´e `a des syst`emes quantiques de diff´erentes tailles. Pour chaque cas, nous pr´ecisons les classes d’intrications atteintes, en fonction des ´el´ements marqu´es durant l’algorithme. Nous tentons ensuite d’apporter une vision g´en´erale et une analyse de ces r´esultats. Pour cette ´etude, nous distinguerons diff´erents cas d’application de l’algorithme de Grover, d´ependants du nombre d’´el´ements recherch´es :

• |S| < N

4 : le cas standard, le cas naturel d’application de l’algorithme de Grover, • |S| = N

4 : le cas critique, • |S| > N

4 : le cas exceptionnel.

Dans le cas critique, l’algorithme s’arrˆete apr`es une seule it´eration, et l’´etat g´en´er´e par l’algorithme est exactement la superposition des ´el´ements recherch´es.

3.3.1

Le cas 2_{× 2 × 2 (3-qubits)}

On s’int´eresse ici `a l’application de l’algorithme de Grover aux syst`emes `a 3-qubits. On rappelle que la classification des syst`emes `a 3-qubits est pr´ecis´ee en Section 2.2.2, et nous utilisons l’algorithme pr´esent´e en Annexe A.1 pour d´eterminer la classe d’intri- cation associ´ee `a un ´etat. Dans ce cas, n = 3, et donc l’algorithme de Grover recherche un ou plusieurs ´el´ements dans une base de donn´ees `a N = 23 _{= 8 ´el´ements.}

• Pour |S| = 1, les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover appartiennent `a l’orbite O6

(correspondant `a σ2 Seg(P1× P1× P1
), comme attendu (voir Section 3.2).

• Pour |S| = 2, qui est le cas critique pour les 3-qubits, les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover appartiennent aux orbites _O1, O2, O3, O4 et O6. Ce r´esultat pouvait ˆetre

attendu compte tenu du fait que les formes normales de chacune de ces orbites peuvent s’´ecrire comme la somme de deux ´el´ements de base (voir Section 3.5 pour plus de d´etails sur le cas critique).

• Pour |S| > 2, les orbites O1, O2, O3, O4et O6 sont atteintes.

On peut se limiter ici `a l’´etude des cas jusqu’`a _{|S| ≤ 4, par argument de sym´etrie} (en marquant plus de la moiti´e des ´el´ements de la base, on g´en`ere des ´etats ´equivalents et les mˆemes orbites).

Par ailleurs, l’algorithme de Grover ne g´en`ere pas d’´etats appartenant `a l’orbite _O5

(l’orbite de _{|W i), et ce quelque soit le nombre ou le choix des ´el´ements marqu´es. Le} Tableau 3.1 pr´esente un exemple d’ensembles d’´el´ements marqu´es_{S pour chaque orbite} atteinte, et pour diff´erents nombres d’´el´ements marqu´es.

Orbite Ensembles_S

O6 {|000i}, {|000i, |111i}, {|000i, |001i, |010i}, {|000i, |001i, |010i, |100i}

O5 —

O4 {|000i, |110i}, {|000i, |010i, |100i, |111i}

O3 {|000i, |011i}, {|000i, |001i, |010i, |111i}

O2 {|000i, |101i}, {|000i, |001i, |100i, |111i}

O1 {|000i, |001i}, {|000i, |001i, |010i, |011i}

Table 3.1 – Exemple d’ensembles d’´el´ements marqu´esS et les orbites atteintes corres- pondantes par l’algorithme de Grover dans le cas 2_{× 2 × 2.}

3.3.2

Le cas 2_{× 2 × 3}

On s’int´eresse ici `a l’application de l’algorithme de Grover aux syst`emes quantiques de taille 2_{× 2 × 3. La classification de ces syst`emes sous SLOCC am`ene `a un nombre} fini d’orbites [135], dont un repr´esentant est pr´esent´e en Table 3.2 pour chacune de ces 8 orbites. Dans cette configuration, l’algorithme de Grover recherche un ou plusieurs ´el´ements dans une base de donn´ees de N = 2_{× 2 × 3 = 12 ´el´ements. L’algorithme de} classification utilis´e est accessible en Annexe A.2.

• Pour |S| = 1, les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover appartiennent `a l’orbite O6,

Orbite Forme normale (repr´esentant) O8 |000i + |011i + |101i + |112i

O7 |000i + |011i + |102i

O6 |000i + |111i

O5 |000i + |011i + |101i

O4 |000i + |011i

O3 |000i + |101i

O2 |000i + |110i

O1 |000i

Table 3.2 – Orbites sous l’action du groupe SLOCC, et leurs repr´esentants, pour les tenseurs de taille 2_{× 2 × 3 [135].}

• Pour |S| = 2, les orbites O3, O4, O6, O7 et O8 sont atteintes.

• Pour |S| = 3, qui est le cas critique pour les ´etats quantiques de taille 2 × 2 × 3, les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover appartiennent aux orbites _O1, O2, O3, O4,

O5, O6 etO7.

• Pour |S| = 4 ou |S| = 6, les orbites O1, O3, O4, O6, O7 et O8 sont atteintes.

• Pour |S| = 5, les orbites O6, O7, et O8 sont atteintes.

On peut se limiter ici `a l’´etude des cas jusqu’`a _{|S| ≤ 6, par argument de sym´etrie.} Dans ce cas, en faisant varier les ´el´ements marqu´es, l’algorithme de Grover g´en`ere des ´etats de tous les types d’intrication. Le Tableau 3.3 pr´esente un exemple d’ensembles d’´el´ements marqu´es_{S pour chaque orbite atteinte, et pour diff´erents nombre d’´el´ements} marqu´es.

Orbite Ensembles_S

O8 {|000i, |111i}, {|000i, |001i, |010i, |100i}

O7 {|000i|101i}, {|000i, |012i, |101i}

O6 {|000i} , {|000i, |110i}

O5 {|000i, |101i, |110i}

O4 {|000i, |100i}, {|000i, |001i, |010i}

O3 {|000i, |010i}, {|000i, |001i, |100i}

O2 {|000i, |010i, |100i}

O1 {|000i, |001i, |002i} , {|000i, |010i, |100i, |110i}

Table 3.3 – Exemple d’ensembles d’´el´ements marqu´esS et les orbites atteintes corres- pondantes par l’algorithme de Grover dans le cas 2_{× 2 × 3.}

3.3.3

Le cas 2_{× 3 × 3}

Nous ´etudions dans cette sous-section l’application de l’algorithme de Grover ap- pliqu´e aux syst`emes quantiques de taille 2<sub>× 3 × 3. La classification de ces syst`emes sous</sub> SLOCC am`ene `a un nombre fini d’orbites [135], dont un repr´esentant est pr´esent´e en Table 3.4 pour chacune de ces 17 orbites. Dans cette configuration, l’algorithme de Gro-

ver recherche un ou plusieurs ´el´ements dans une base de donn´ees de N = 2_{× 3 × 3 = 18} ´el´ements. L’algorithme de classification utilis´e est accessible en Annexe A.3.

Orbite Forme normale (repr´esentant) O17 |000i + |011i + |100i + |122i

O16 |000i + |011i + |101i + |122i

O15 |000i + |011i + |022i + |101i + |112i

O14 |000i + |011i + |122i

O13 |000i + |011i + |022i + |101i

O12 |000i + |011i + |101i + |112i

O11 |000i + |011i + |121i + |102i

O10 |000i + |011i + |102i

O9 |000i + |011i + |022i

O8 |000i + |011i + |110i + |121i

O7 |000i + |011i + |120i

O6 |000i + |111i

O5 |000i + |011i + |101i

O4 |000i + |011i

O3 |000i + |101i

O2 |000i + |110i

O1 |000i

Table 3.4 – Orbites sous l’action du groupe SLOCC, et leurs repr´esentants, pour les tenseurs de taille 2_{× 3 × 3 [135].}

• Pour |S| = 1, les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover appartiennent `a l’orbite O6,

´etats g´en´eriques de la premi`ere vari´et´e des s´ecantes.

• Pour |S| = 2, les orbites O4, O6, O7, O10,O14 et O17 sont atteintes.

• Pour |S| = 3, les orbites O2, O3,O6,O7,O8,O10,O12,O14,O16, etO17sont atteintes.

• Pour |S| = 4, les orbites O4, O6,O7,O8,O9,O10,O12,O14,O16, etO17sont atteintes.

• Pour |S| = 5 ou |S| = 7, les orbites O6, O7, O8, O10, O11, O12, O13, O14, O16, etO17

sont atteintes.

• Pour |S| = 6, les orbites O1, O2, O3, O4, O6, O7, O8, O9, O10, O11, O12, O14, O16, et

O17 sont atteintes.

• Pour |S| = 8, les orbites O1,O6,O7, O8,O9, O10,O11,O12,O13,O14,O16, etO17sont

atteintes.

L’algorithme de Grover ne g´en`ere pas d’´etats appartenant aux orbites _O5 etO15, et

ce, quelque soit le nombre ou le choix des ´el´ements marqu´es. Le Tableau 3.5 pr´esente un exemple d’ensembles d’´el´ements marqu´es _{S pour chaque orbite atteinte, et pour} diff´erents nombres d’´el´ements marqu´es.

3.3.4

Le cas 2_{× 2 × 2 × 2 (4-qubits)}

Notre dernier cas d’´etude concerne l’application de l’algorithme de Grover appliqu´e aux syst`emes `a 4-qubits. On rappelle que la classification des syst`emes `a 4-qubits est

Orbite Ensembles_S

O17 {|000i, |111i} , {|000i, |001i, |110i}

O16 {|000i, |011i, |101i} ,{|000i, |001i, |010i, |100i}

O15 —

O14 {|000i, |011i}, {|000i, |001i, |010i}

O13 {|000i, |001i, |010i, |101i, |110i}

O12 {|000i, |010i, |121i} , {|000i, |001i, |110i, |120i}

O11 {|000i, |001i, |002i, |010i, |111i}

O10 {|000i, |101i} , {|000i, |001i, |100i}

O9 {|000i, |011i, |100i, |111i}

O8 {|000i, |001i, |112i} , {|000i, |001i, |012i, |102i}

O7 {|000i, |110i} , {|000i, |001i, |012i}

O6 {|000i} , {|000i, |001i}

O5 —

O4 {|000i, |100i} ,{|000i, |001i, |100i, |101i}

O3 {|000i, |010i, |020i}

O2 {|000i, |001i, |002i}

O1 {|000i, |001i, |002i, |100i, |101i, |102i}

Table 3.5 – Exemple d’ensembless d’´el´ements marqu´es S et les orbites atteintes cor- respondantes par l’algorithme de Grover dans le cas 2_{× 3 × 3.}

pr´ecis´ee en Section 2.2.2. Dans notre cas n = 4, et l’algorithme de Grover recherche donc un ou plusieurs ´el´ements dans une base de donn´ees `a N = 24 = 16 ´el´ements. • Cas standard (|S| < N

4) :

– Pour _{|S| = 1, on atteint toujours la sous-famille G}00cc, comme pr´evu.

– Pour_{|S| = 2, les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover appartiennent `a G}abc0, L00c2,

Lab02, Gr8 et Gr4.

– Pour _{|S| = 3, on peut atteindre les sous-familles G}abc0, L00c2, Laa02, L02b2 et La203⊕1.

• Cas critique (|S| = N

4) : Pour |S| = 4, qui est le cas critique (toutes les amplitudes

sont envoy´ees sur 0, sauf pour les ´etats marqu´es, et l’algorithme converge apr`es une it´eration), on peut atteindre toutes les familles ou strates associ´ees `a tous les ´etats qui peuvent ˆetre ´ecrits sous la forme d’une somme de 4 ´etats de base : G00cc, Ga000, Gab00,

L00c2, Laa02, La002, L02b2, et de la strate Gr8 `a la strate Gr1.

• Cas exceptionnel (|S| > N 4 ) :

– Pour _{|S| = 5, les sous-familles G}abc0, Gab00, L00c2, Laa02, Lab02, La2b2, L02b2 et La20_3⊕1

peuvent ˆetre obtenues `a l’aide de l’algorithme de Grover.

– Pour_{|S| = 6, l’algorithme de Grover peut g´en´erer des ´etats qui appartiennent `a G}abcd,

Gabc0, Gab00, L00c2, Laa02, Lab02, La2b2, L02b2, La4, La20_3⊕1, Gr8 et Gr4.

– Pour _{|S| = 7, nous pouvons obtenir les familles suivantes : G}abcd, Gabc0, G00cc, Gab00,

L00c2, Laa02, Lab02, La2b2, L02b2, La203⊕1.

– For _{|S| = 8, les ´etats g´en´er´es appartiennent `a G}abc0, G00cc, Gab00, L00c2, Laa02, La2b2,

L02b2, La203⊕1, Gr8, Gr7, Gr4, Gr2 and Gr1.

tenons `a pr´eciser ici que l’´etat<sub>|W</sub>4i (correspondant `a la strate Gr5) n’est pas atteint par

les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover, sauf dans le cas critique. Les autres strates du cˆone nilpotent qui ne sont pas atteintes sont les strates Gr6 et Gr3. De plus, on

remarque que les familles et sous-familles associ´ees Labc2, Lab3, L0b3 et La03 ne sont pas

g´en´er´ees par l’algorithme de Grover, quelque soit la combinaison d’´el´ements marqu´es choisie. Le Tableau 3.6 pr´esente un exemple d’ensembles d’´el´ements marqu´es _{S pour} chaque famille, sous famille ou strate nilpotente atteinte, et pour diff´erents nombres d’´el´ements marqu´es.

Famille ou strate Ensembles _S

Gabcd {|0000i, |0001i, |0010i, |0101i, |1010i, |1111i}

Gabc0 {|0000i, |1111i}

G00cc {|0000i}

Ga000 {|0000i, |0011i, |1100i, |1111i}

Gab00 {|0000i, |0011i, |1101i, |1110i}

Labc2 —

L00c2 {|0000i, |0011i}

Laa02 {|0000i, |0101i}

La002 {|0000i, |0110i, |1001i, |1111i}

Lab02 {|0000i, |0001i, |0010i, |0101i, |1010i}

La2b2 {|0000i, |0001i, |0010i, |0100i, |1001i}

L02b2 {|0000i, |0001i, |0110i}

Lab3 —

L0b3 —

La03 —

La4 {|0000i, |0001i, |0010i, |0101i, |0110i, |1101i}

La203⊕1 {|0000i, |0001i, |1110i}

Gr8 {|0000i, |0111i}

Gr7 {|0000i, |0001i, |0110i, |1011i}

Gr6 {|0000i, |0001i, |0010i, |1100i}

Gr5 {|0000i, |0011i, |0101i, |1001i}

Gr4 {|0000i, |0001i}

Gr3 {|0000i, |0001i, |0010i, |0100i}

Gr2 {|0000i, |0001i, |0110i, |0111i}

Gr1 {|0000i, |0001i, |0010i, |0011i}

Table 3.6 – Exemple d’ensembles d’´el´ements marqu´es S et les familles ou strates atteintes correspondantes par l’algorithme de Grover dans le cas des 4-qubits.

3.4

Etude quantitative´

Dans cette sous-section, on se propose d’´etudier l’intrication d’un point de vue quan- titatif, en observant l’´evolution de certaines mesures de l’intrication ou de non-localit´e (voir Section 2.2.3) tout au long de l’algorithme de Grover. Nous comparons ´egalement nos r´esultats obtenus par rapport aux pr´ec´edentes ´etudes men´ees sur l’´evolution de la quantit´e d’intrication au cours de l’algorithme (voir Section pr´ec´edente 3.1).

Les r´esultats pr´esent´es dans cette sous-section proviennent majoritairement de tra- vaux d´ej`a publi´es dans un journal international [133, 147, 81]. Dans ces travaux nous choisissons d’utiliser l’hyperd´eterminant comme une mesure potentielle de l’intrication, ainsi que d’´evaluer les polynˆomes de Mermin afin de pouvoir d´etecter ou quantifier l’intrication ou la non-localit´e pour un ´etat quantique, notamment pour les ´etats `a 4-qubits. Nous utilisons principalement l’algorithme de promenade al´eatoire pour les optimisations num´eriques (voir Annexe A.8).

3.4.1

Evaluation de Mermin´

Dans un premier temps, on se propose d’utiliser les polynˆomes de Mermin afin de mesurer ou de quantifier l’intrication `a travers l’observation du degr´e de violation des in´egalit´es de Mermin. La d´efinition des polynˆomes de Mermin et la fa¸con dont ils peuvent ˆetre utilis´es pour d´etecter ou quantifier l’intrication est donn´ee en Chapitre 2 Section 2.2.3.

Nous rappelons que nous notons Ai un observable sur un qubit, pouvant toujours

ˆetre d´efini comme une combinaison des matrices de Pauli [81] `a savoir Ai = ai,1X +

ai,2Y + ai,3Z, avec la condition de normalisation usuelle ai,12+ ai,22 + ai,32 = 1.

Nous nous pla¸cons ici dans le contexte usuel d’application de l’algorithme de Grover, c’est `a dire que le nombre d’´el´ements marqu´es est ´egal `a 1, et on notera _{S = {|x}0i}.

De plus, nous adoptons une approche particuli`ere pour l’´evaluation des polynˆomes de Mermin. Nous ´evaluons les polynˆomes de Mermin en utilisant les mˆemes param`etres, et donc en consid´erant le mˆeme dispositif de mesure ou les mˆemes observables, et ce de mani`ere identique pour tous les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover. Par ailleurs, nous consid´erons les 2 mˆemes observables A1 et A2 pour toutes les particules, restrei-

gnant les param`etres d´efinissant le polynˆome de Mermin au nombre de 6, regroup´es dans le vecteur not´e V = (a1,1, a1,2, a1,3, a2,1, a2,2, a2,3).

Ces param`etres choisis correspondent aux coefficients, d´efinissant les 2 observables A1 et A2, qui maximisent le polynˆome de Mermin pour l’´etat|Ψenti = _K1 |x0i + |+i

⊗n

, avec K le coefficient de normalisation ad´equat. En effet, ce choix d’´etat_|Ψenti intervient

en coh´erence avec l’interpr´etation g´eom´etrique des ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover (voir Section 3.2). Le maximum de l’intrication dans l’algorithme de Grover ´etant observ´e `a mi-chemin entre la premi`ere it´eration et l’it´eration optimale, l’´etat de Grover ψkopt/2 sera d’autant plus proche de l’´etat |Ψenti `a mesure que n augmente.

Par ailleurs, l’´etat _|Ψenti de rang 2 est d´efini comme la superposition ´equilibr´ee

des ´etats _|x0i et |+i ⊗n

. L’´etat _|+i⊗n fait intervenir l’´etat _|x0i dans son ´ecriture, et la

projection _hx0|+i ⊗n

tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Ceci sugg`ere qu’asymp- totiquement, l’´etat _|Ψenti se comporterait comme l’´etat |GHZni, pour n grand. Cette

observation doit ˆetre mise en relation avec le fait que les ´etats de type _|GHZni sont

ceux qui maximisent la violation des in´egalit´es d´efinies par les polynˆomes de Mermin [188, 76, 6].

Pour la mise en place pratique des calculs, nous choisissons de consid´erer l’´etat_|0i⊗n comme l’´el´ement recherch´e lors de l’ex´ecution de l’algorithme de Grover. Dans ce cas, l’optimisation des param`etres li´es aux observables permettant de maximiser la valeur du polynˆome de Mermin semble donner un vecteur Vopt arborant toujours la mˆeme forme

sym´etrique, `a savoir un vecteur de la forme Vopt = (a1,1, a1,2, a1,1, a2,1, a2,2, a2,1) , sous

les notations pr´ec´edentes.

Exemple 6. Lorsque l’´el´ement_{|00000000i est recherch´e, la valeur maximale µ}8(|Ψenti)

du polynˆome de Mermin pour l’´etat _|Ψenti est obtenue, par optimisation num´erique,

pour le jeu de param`etres

Vopt,8 = (−0.18885, −0.15053, −0.18885, −0.50674, 0.62644, −0.50674) .

Le vecteur Vopt,8 est ensuite utilis´e pour ´evaluer le polynˆome de Mermin pour les ´etats

`

a 8-qubits g´en´er´es par l’algorithme de Grover. _♦ Ainsi, pour chaque ´etat g´en´er´e par l’algorithme de Grover pour les it´erations k _{∈ [[0, k}opt]], on ´evalue le polynˆome de Mermin sur l’´etat correspondant, en ayant

pr´ealablement d´etermin´e les coefficients optimis´es Vopt pour n fix´e. Ceci est ensuite

r´ep´et´e pour diff´erentes tailles de syst`emes `a n-qubits, plus pr´ecis´ement entre 4 et 12 qubits. C’est notamment le fait de fixer les param`etres du polynˆome de Mermin afin de maximiser ce dernier pour l’´etat _|Ψenti qui permet de r´eduire les ressources n´ecessaires

au calcul de l’´evaluation de Mermin pour les ´etats de Grover. L’ensemble des r´esultats est repr´esent´e, sous la forme d’un graphique annot´e, en Figure 3.4.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 2 4 6 8 1

Nombre d’it´erations ´ Ev alua tion de Mermin 4 qubits 5 qubits 6 qubits 7 qubits 8 qubits 9 qubits 10 qubits 11 qubits 12 qubits Figure 3.4 – Degr´e de violation des in´egalit´es de Mermin tout au long de l’ex´ecution de l’algorithme de Grover pour 4_{≤ n ≤ 12 qubits [81].}

Remarque 23. Pour chaque valeur de n, nous observons une violation de la borne clas- sique, impliquant la pr´esence de non-localit´e dans les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover. Ceci contraste notamment avec la conclusion des travaux de Batle et al. [23]. De plus, on observe un comportement du degr´e de violation des in´egalit´es Mermin assez similaire `a celui de la mesure g´eom´etrique de l’intrication.

3.4.2

L’hyperd´eterminant 2_{× 2 × 2 × 2}

L’hyperd´eterminant peut aussi ˆetre ´evalu´e pour mesurer la quantit´e d’intrication pr´esente pour les ´etats g´en´er´es par l’algorithme de Grover. L’´evaluation de cette mesure n’est pertinente que pour les ´etats non-d´eg´en´er´es, c’est-`a-dire les ´etats en dehors de la vari´et´e duale X∗.

On trace en Figure 3.5 et 3.6 les courbes repr´esentant l’´evolution de la valeur absolue de l’hyperd´eterminant pour deux ensembles d’´el´ements marqu´es diff´erents, permettant `

a l’algorithme de Grover de g´en´erer des ´etats n’annulant pas l’hyperd´eterminant (et rendant donc pertinent les courbes).

Figure 3.5 – ´Evolution de la valeur absolue de l’hyperd´eterminant pour les 4-qubits en fonction du nombre d’it´erations dans l’algorithme de Grover, pour l’ensemble d’´el´ements marqu´es _{S = {|0000i, |1111i}. Les ´etats g´en´er´es appartiennent `a la famille G}abc0.

Nous choisissons de tracer cette ´evolution sur un nombre d’it´erations sup´erieur `a celui d’une application normale de l’algorithme de Grover, afin de mettre notamment en ´evidence l’aspect p´eriodique de l’´evolution de l’intrication au cours de l’algorithme de Grover, et ce d´eplacement de va et vient sur la droite projective entre l’´etat_|+i⊗net l’´etat √1

|S|(|x0i + · · · + |xs−1i). On remarque ´egalement l’existence de pics de valeurs `a

certaines it´erations, correspondant aux it´erations proches de |S|kopt

Figure 3.6 – ´Evolution de la valeur absolue de l’hyperd´eterminant pour les 4-qubits en fonction du nombre d’it´erations dans l’algorithme de Grover, pour l’ensemble d’´el´ements marqu´es _{S = {|0000i, |0001i, |0010i, |0101i, |1010i, |1111i}. Les ´etats g´en´er´es appar-} tiennent `a la famille Gabcd.

Dans le document Étude de l'Intrication dans les Algorithmes Quantiques : Approche Géométrique et Outils Dérivés (Page 101-110)