Une premi`ere mani`ere de poursuivre ce travail est d’´etudier les ´etats g´en´er´es par l’algorithme pour d’autres dimensions des syst`emes quantiques. Par exemple, il est possible d’´etudier le cas des 3-qutrits, o`u une classification sous forme de familles existe aussi (voir Section 5.3.1). On peut ´egalement envisager d’´etudier le cas des 5-qubits, ou de dimensions sup´erieures. Malgr´e le fait qu’une classification compl`ete n’existe pas, des outils partiels comme ceux propos´es en Chapitre 5 et 7 pourraient ˆetre envisag´es.
Ces ´etudes pourraient permettre d’avoir une vision plus globale de l’intrication inter- venant dans l’algorithme de Grover, dans l’optique de pouvoir g´en´eraliser `a des dimen- sions sup´erieures certaines observations ou r´esultats mis en ´evidence dans ce chapitre. D’une part, ceci permettrait de pr´evoir quel type d’intrication peut ˆetre g´en´er´e par l’algorithme de Grover, en fonction du nombre de qubits et de la nature des ´el´ements marqu´es. Cela peut permettre aussi de pr´evoir pour quelle it´eration l’´etat g´en´er´e par l’algorithme atteint le maximum possible de l’intrication, en fonction du nombre de qubits et des ´el´ements marqu´es.
D’autre part, ceci peut ´egalement fournir des informations sur les ´etats et les types d’intrication que l’algorithme de Grover ne peut g´en´erer. En effet, il serait int´eressant d’´etudier plus en profondeur le lien entre les classes d’intrication non-atteintes par l’algorithme de Grover, ou seulement atteintes dans le cas critique, et les vari´et´es des tangentes associ´ees. Enfin, une r´eflexion plus profonde sur la nature des ´etats intriqu´es mis en œuvre dans l’algorithme (et ceux non-atteints) et le gain en complexit´e des algorithmes quantiques pourrait ˆetre men´ee `a partir de ces observations et r´esultats.
Algorithme de Shor et Intrication
“A classical computation is like a solo voice — one line of pure tones succeeding each other. A quantum computation is like a symphony — many lines of tones interfering with one another”, Seth Lloyd.
Dans ce chapitre, nous nous int´eressons `a l’algorithme de Shor, et comment l’intrica- tion s’y manifeste. Plus pr´ecis´ement, nous ´etudions la “partie quantique” de l’algorithme de Shor, c’est `a dire l’algorithme de recherche de la p´eriode (voir Section 1.2.2 pour une introduction `a l’algorithme de Shor). Nous pr´esentons tout d’abord les pr´ec´edents travaux sur cette question puis, comme cela a ´et´e fait pour l’algorithme de Grover (voir Chapitre 3), nous tentons de qualifier et de quantifier l’intrication au sein de l’algo- rithme de recherche de la p´eriode. L’ensemble des r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre ont ´et´e publi´es dans les articles suivants [147, 81].
4.1
Etat de l’art´
Au d´ebut des ann´ees 2000, Jozsa et al. ont sugg´er´e que l’intrication quantique joue un rˆole majeur dans l’efficacit´e des calculs quantiques [96, 154]. Il a ´et´e en effet prouv´e que l’intrication quantique est bien pr´esente dans l’algorithme de Shor, que ce soit du point de vue th´eorique [213, 154, 242, 156, 194] ou exp´erimental [166, 175].
La majorit´e des ´etudes en rapport avec l’intrication et l’algorithme de Shor portent sur l’intrication entre les deux registres quantiques de l’algorithme. En 2001, Parker et Planio [213] ont regard´e l’intrication bipartite moyenne, en utilisant la n´egativit´e logarithmique comme mesure de l’intrication, `a chaque ´etape de l’algorithme. Les ´etats de l’algorithme sont d´efinis par les op´erations controlled-Uα (impliqu´e dans l’op´eration
d’exponentiation modulaire). Les auteurs ont prouv´e que l’intrication existe dans l’al- gorithme et que la quantit´e d’intrication augmente vers la fin de l’algorithme. Ils ont aussi d´emontr´e que si l’on cherche `a r´eduire l’intrication en introduisant des ´etats plus mixtes dans le qubit de contrˆole, alors on r´eduit l’efficacit´e des calculs.
Un an plus tard, Jozsa et Linden publi`erent un article portant sur le rˆole de l’in- trication dans l’acc´el´eration des calculs quantiques [154]. Ils y discutent les diff´erences entre le calcul classique et quantique, et de la possibilit´e de simuler classiquement et
de mani`ere efficace un calcul quantique. En particulier, il a ´et´e affirm´e que si on ne peut pas classiquement simuler de mani`ere efficace, et en un temps polynomial, un al- gorithme quantique, alors l’intrication quantique est pr´esente dans ce mˆeme algorithme quantique. C’est le cas de l’algorithme de Shor, et la pr´esence d’intrication est prouv´ee dans ce travail en consid´erant des ´etats `a “progression arithm´etique” (´equivalents aux ´etats p´eriodiques), et en consid´erant le fait que ces ´etats ne sont pas p-bloqu´es.
En 2004, Orus et Latorre [207] ont ´etudi´e le comportement de l’intrication dans l’al- gorithme de Shor lors d’un changement d’´echelle, prouvant analytiquement la n´ecessit´e d’utiliser une quantit´e exponentiellement grande d’intrication entre les deux registres, apr`es l’´etape d’exponentiation modulaire. Ceci implique l’impossibilit´e d’une simulation classique efficace en utilisant le protocole propos´e par Vidal [264].
En 2005, Shimoni et al. ont utilis´e la Mesure Groverienne de l’Intrication pour ca- ract´eriser les ´etats quantiques g´en´er´es par l’algorithme de Shor [242]. `A chaque ´etape de la Transform´ee de Fourier Quantique (apr`es chaque porte controlled-Rk, la porte
d’Hadamard n’affectant pas l’intrication), ils ´evaluent la Mesure Groverienne de l’In- trication, et ceci pour des ´etats quantiques g´en´eraux ou pour les ´etats p´eriodiques de l’algorithme de Shor. Pour des ´etats factoris´es al´eatoires, les auteurs d´emontrent que l’intrication reste la mˆeme apr`es la plupart des ´etapes, mais que pour certaines portes controlled-Rk pr´ecises le taux d’intrication augmente significativement. Pour les ´etats
p´eriodiques, leurs r´esultats avancent que l’intrication ne change essentiellement pas, et que les variations observ´ees pour un nombre de qubits n petit deviennent n´egligeables quand n augmente.
Kendon et Munro ont publi´e en 2006 dans un article intitul´e “Entanglement and its role in Shor’s algorithm” [156], o`u ils s’int´eressent `a l’intrication impliqu´ee dans l’algorithme de Shor en d´ecomposant la porte Uf et en consid´erant la T F Q−1 comme
une seule porte. Ils se focalisent tout d’abord sur l’intrication entre le premier et le second registre, et dans un second temps ´etudient l’intrication dans le premier registre. Une ´etude quantitative de l’intrication est effectu´ee dans cet article, et quelques mesures de l’intrication comme l’entropie des sous-syst`emes (entropy of subsystems entre les deux registres), la n´egativit´e ou bien l’entanglement of formation (pour le premier registre) sont utilis´ees. Selon les auteurs, apr`es l’exponentiation modulaire, l’intrication entre les deux registres ne peut augmenter durant l’application de Transform´ee de Fourier Quantique inverse. De plus, toujours selon les auteurs, l’intrication dans le premier registre ne peut qu’ˆetre g´en´er´e ou d´eplac´ee, mais pas diminu´ee. Les auteurs font aussi remarquer que plus la p´eriode r est proche d’une puissance de 2, plus la valeur de la diff´erence dans l’entropie moyenne ∆E1 avant et apr`es la T F Q−1devient faible. Lorsque
r est une puissance de 2, alors T F Q−1 implique que ∆E1 = 0 dans tout les cas.
En 2007, certaines exp´eriences pratiques de l’algorithme de Shor ont pu ˆetre impl´ement´ees. Lanyon et al. [166] ont impl´ement´e une version compil´ee de l’algorithme de Shor en utilisant des syst`emes photoniques. Ils ont prouv´e l’existence de l’intrica- tion au cours de l’algorithme par tomographie des ´etats quantiques, et que l’intrica- tion est impliqu´ee dans les op´erations arithm´etiques. La mˆeme ann´ee, Lu et al. [175] impl´ementent l’algorithme de factorisation de Shor en utilisant aussi des photons pour
mod´eliser les qubits. L’exp´erience est mise en place pour des 4-qubits photoniques, et l’intrication genuine est d´etect´ee durant l’algorithme, entre le premier et le second registre.
Trois ans plus tard, Most, Shimoni et Biham ont publi´e un travail en rapport avec l’intrication des ´etats p´eriodique, la Transform´ee de Fourier Quantique et l’algorithme de Shor [194]. Ils mettent en ´evidence l’importance et le rˆole des ´etats p´eriodiques du- rant l’algorithme. Ils analysent aussi l’intrication des ´etats p´eriodiques en regardant comment ces ´etats sont affect´es par la Transform´ee de Fourier Quantique. Quelques ap- proximations sont utilis´ees pour ´evaluer la mesure Groverienne de l’intrication pour les ´etats p´eriodiques. Selon les auteurs, la Transform´ee de Fourier Quantique ne change pas l’intrication des ´etats p´eriodiques, pour un nombre suffisamment grand de qubits. Nous pouvons ´egalement mentionner certains r´ecents travaux portant sur une probl´ematique plus ou moins similaire [93, 80, 60].
Tout ces travaux ont principalement ´etudi´e l’intrication en utilisant des mesures diverses de l’intrication, menant `a une ´etude quantitative de l’intrication. Cela per- mit de donner une premi`ere vision globale concernant l’´evolution de l’intrication du- rant l’algorithme. Dans les sections suivantes, nous pr´esentons une ´etude quantitative de l’intrication en utilisant des mesures originales de l’intrication et en comparant nos r´esultats `a ceux de la litt´erature. D’autre part, nous ´etudions ´egalement de mani`ere plus qualitative l’intrication, en d´eterminant quelles sont les classes d’intrication pr´esentes et comment elles ´evoluent apr`es application de la TFQ, tentant de donner une in- terpr´etation g´eom´etrique ou des ´el´ements de r´eflexion afin de compl´eter les pr´ec´edents r´esultats de la litt´erature.