Ce paragraphe exploite des simulations Hydrus-2D concernant le test de différentes pratiques de fertilisation en micro-irrigation sur différents type de sols (Gärdenäs et al., 2005). Ces simulations numériques permettent de définir pour chacunes des pratiques les risques environnementaux et la disponibilité du fertilisant pour la plante en fonction des caractéristiques générales d’un sol.
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Trois types de sol ont été testés : limono-sableux (sandy loam), limoneux (loam), limono-argileux (silty-clay). Ce choix permet de rassembler un large panel de sol pour lesquels la micro-irrigation est utilisée. Les simulations ont été réalisées avec une condition initiale en azote nulle sur une période de 28 jours. Les doses apportées ont été introduites conformément aux recommandations agrono- miques. La Fig. 4.3.1 schématise les quatres manières différentes dont les apports ont été répartis sur la durée de chaque cycle d’irrigation. Les concentrations de chaque apport ont été calculées afin de fournir à la plante la même quantité de fertilisant dans chaque scenario. Les systèmes de distribution comparés sont au nombre de quatre. Nous allons cependant uniquement présenter sur la Fig. 4.3.2 les résultats obtenus dans le cas du goutte à goutte, le but étant ici d’illustrer l’intérêt d’une telle modélisation dans l’objectif de limiter les risques environnementaux.
Fig.4.3.1 – Cinq stratégies différentes de fertigation (P représente en h la durée d’un cycle d’irri- gation) - figure tirée de (Gärdenäs et al., 2005)
Fig. 4.3.2 – Profils de nitrate après un cycle d’irrigation au goutte à goutte - figure tirée de (Gärdenäs et al., 2005)
Les cultures irriguées en micro-irrigation ont un système racinaire dont la densité maximale est à faible profondeur. Dans les cas illustrés par la Fig. 4.3.2, cette profondeur est de l’ordre de 50 cm. Le nitrate lessivé doit donc prendre en compte le nitrate qui sort du domaine de la simulation ainsi
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que la quantité d’azote stockée sous cette profondeur. Le principe d’une fertigation efficace est d’ap- porter le fertilisant dans la zone racinaire en respectant un taux inférieur à celui que la plante est capable d’absorbée. Ainsi, on peut formuler plusieurs observations après l’analyse des résultats de la simulation. De manière évidente, les risques de lessivage sont accrus sur un sol à texture grossière, comme le sol limono-sableux, dans tous les scénarii de fertigation (mis à part le scenario E). L’azote apporté peut dépasser rapidement la zone racinaire, et celui-ci est perdu pour la plante. On peut noter également que la technique C, apportant une faible dose de fertilisant pendant toute la durée d’irrigation présente l’intérêt de diffuser le nitrate de manière homogène dans la zone racinaire alors que l’apport d’une forte dose d’azote en début d’irrigation (technique B) crée une forte hétérogénéité du profil azoté. Ces deux dernières techniques favorisent cependant le lessivage de l’azote apporté en début de cycle par un flux hydrique qui demeure important pendant le reste de la période d’irri- gation. La méthode E produit le phénomène inverse, l’azote apporté reste concentré en surface et la redistribution de l’eau jusqu’au prochain cycle d’irrigation permettra de le diffuser dans le domaine. Sa forte concentration peut cependant être plus importante que la capacité d’absorption des racines. Cette simulation illustre l’intérêt d’une modélisation des pratiques de fertigation en micro- irrigation. Selon la profondeur du système racinaire des cultures et le type de sol, on peut défi- nir la pratique qui favorisera le moins le lessivage et permettra de rendre le fertilisant disponible dans la zone racinaire. Même si peu de mesures ont été effectuées pour valider cette simulation (Gärdenäs et al., 2005) et qu’aucune n’ont été présenté ici, Hydrus-2D a été validé dans d’autres circonstances, plus haut dans ce document, ainsi que par (Mailhol et al., 2001; Mailhol et al., 2005a; Abbasi et al., 2003) sur des campagnes d’irrigation à la raie et par (Assouline, 2002) dans le cas de la micro-irrigation. 77 CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref
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Conclusion de la partie
Ce chapitre a présenté plusieurs campagnes de mesures qui ont permis de suivre l’évolution de l’état du sol, quant à sa teneur en eau et en azote, à l’échelle de la saison de culture. Ces campagnes, complétées par des simulations numériques, ont permis de préciser la connaissance des mécanismes de transferts eau-solutés mis en jeu dans le contexte de l’étude. Différents systèmes de distribu- tion d’eau et de fertilisant ainsi que différentes pratiques culturales ont été étudiés. Dans chacunes d’entre elles, l’importance des transferts bi- ou tridirectionnels est avérée. En irrigation à la raie, ils conditionnent l’homogénéisation d’un profil initial d’azote particulièrement hétérogène, ce profil étant du à la technique de fertilisation combiné au traçage des raies d’irrigation. En micro-irrigation, le principe même des systèmes de distribution impose une représentation tridirectionnelle des trans- ferts. Les transferts latéraux sont particulièrement importants en début de l’irrigation créant parfois des profils hétérogènes de nitrate (dans des cas particuliers de fertigation). Ainsi, la représentation tridirectionnelle des transferts doit être conservé même pour la redistribution de l’azote.
L’utilisation d’Hydrus-2D pour représenter l’évolution de l’état du sol a été validée sur les cam- pagnes de mesures présentées dans cette partie. Si la concordance entre mesures et simulations n’est pas toujours exacte, Hydrus-2D permet dans tous les cas de décrire qualitativement les processus se produisant dans le sol. Il représente donc un outil fiable pour comparer différentes pratiques culturales à l’échelle événementielle. En revanche, n’étant pas couplé à un modèle de culture et étant peu opérationnel pour simuler cette pratique à l’échelle de la saison, un modèle mieux adapté doit être développé et Hydrus-2D constituera la référence pour comparer ce nouveau modèle à l’échelle événementielle. CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref
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Troisième partie
Développement d’outils
mathématiques et algorithmiques
nécessaires à la modélisation
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Introduction de la partie
La première partie de ce mémoire a permis de dresser l’état de l’art des modélisations existantes concernant le suivi du profil hydrique et du profil de concentration des solutés dans le sol. L’objectif de cette partie était de confronter ces différents types de modélisations, d’analyser leurs avantages et leurs inconvénients dans le contexte de l’étude actuelle. Celle-ci repose sur une représentation bidirectionnelle des transferts et doit être capable de gérer la prise en compte d’événements dont les pas de temps varient entre l’heure et la journée.
Le but de la deuxième partie a été d’analyser des jeux de données expérimentales mis à disposi- tion. Cette analyse a permis de comprendre les processus physiques mis en jeu lors de l’infiltration et de la redistribution de l’eau et des solutés dans un sol irrigué. Une modélisation numérique sur ces jeux de données a permis de détailler ces processus afin d’en améliorer leur compréhension.
A la lumière de ces deux premières parties, l’étude s’est dirigée vers une modélisation bidirec- tionnelle basée sur la résolution analytique ou semi-analytique des équations de transferts. Ce type de modélisation permet ainsi de représenter les profils recherchés sur des bases mécanistes sans tenir compte d’une discrétisation temporelle contraignante.
Le choix de cette modélisation entraîne cependant un développement mathématique important. Des outils mathématiques doivent donc être introduits. Ils sont essentiels à la justification de l’orien- tation du travail vers ce choix. Des outils algorithmiques sont également utilisés afin de simplifier la représentation analytique de la solution des équations de transferts. Cette partie rassemble ici ces différents éléments afin de consacrer la partie suivante uniquement aux principes généraux de la modélisation développée. Les calculs symboliques de cette partie ont été réalisés à l’aide d’un logiciel de calcul formel et le langage de programmation Fortran90 a permis de valider les déve- loppements algorithmiques, d’évaluer et de visualiser les résultats.
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Chapitre 1
L’utilisation de la fonction de Green
dans la résolution d’équations aux
dérivées partielles
1.1
Principes généraux de la fonction de Green
La fonction de Green porte le nom du mathématicien britannique George Green qui developpa le premier ce concept dans les années 1830. Il s’agit d’une fonction utilisée pour résoudre, sur un domaine Ω de dimension n, une équation aux dérivées partielles (EDP) en la fonction Ψ représentée par l’opérateur différentiel linéaire L (1.1.1) et soumise à un ensemble de conditions aux limites sur la frontière du domaine δΩ, elles-même représentées par l’opérateur D (1.1.2).
(LΨ) = f sur Ω (1.1.1)
(DΨ) = 0 sur δΩ (1.1.2)
La fonction de Green G : (U, Us) ∈ Ω2→ G(U, Us) ∈ IR d’un opérateur différentiel linéaire L est
solution de l’équation (1.1.3) (δ étant la distribution de Dirac) vérifiant les conditions aux limites (1.1.4).
(LG)(U, Us) = δ(U − Us) (1.1.3)
(DG)(U, Us) = 0 (1.1.4)
Selon l’opérateur L, G n’est pas toujours unique. Notons également que G est en général une distribution. Elle ne peut donc pas être représentée dans ce cas par une fonction même discontinue. Elle joue un rôle analogue dans la résolution des EDP à l’analyse de Fourier dans la résolution des équations différentielles ordinaires. La solution de l’EDP considérée est alors l’intégrale du produit de la fonction de Green G et de la fonction f (1.1.5).
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Ψ(U ) = Z
Ω
f (Us)G(U, Us)dUs (1.1.5)
Ces principes généraux sont développés en détail notamment par (Garabedian, 1964) ou (Arf- ken, 1985).