4.3 Prise en compte d’un flux Darcien non constant dans la modélisation des transferts
4.3.4 Application du procédé
Par ce procédé, on exprime le profil de nitrate sur le maillage régulier initial en respectant la conservation de la masse. Cette étape permet de réaliser un processus itératif afin d’obtenir une meilleure approximation de la solution réelle dans le cas de flux trop important ou de maillage trop serré.
4.3.4
Application du procédé
Dans le cas d’un flux important ou de réseau de points trop serré, l’ordre initial des points du réseau peut ne pas être respecté dans l’anamorphose et donner le maillage représenté à Fig. 4.3.3. Cette situation pourrait entraîner de nombreuses complications au niveau du calcul de la conserva- tion de la masse et de la distribution des solutés lors de la simulation. Afin d’éviter ce cas de figure, il est possible de discrétiser le temps total de la simulation en pas de temps grossier (dimensionnés afin d’éviter le cas où le déplacement d’un point lors de l’anamorphose est plus grand que le pas en
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espace du maillage). Cette dernière remarque fait référence à une condition CFL et de même que la condition CFL d’un schéma numérique classique, les contraintes sur le temps de calcul qu’elle engendre dépendent du phénomène simulé. Un phénomène où la vitesse de pore est faible engendra une condition CFL peu restrictive et les pas de temps pourront être pris grands. A l’inverse, un phénomène à dynamique rapide imposera la réduction des pas de temps et augmentera le temps de calcul. Cependant, contrairement à une méthode numérique, la méthode semi-analytique proposée n’est pas sensible à la discrétisation spatiale. Ainsi, dans le cas d’un écoulement rapide qui entraîne- rait une diminution significative du pas de temps pour atteindre la convergence dans une méthode numérique, la méthode semi-analytique peut conserver le même pas de temps en diminuant la dé- finition du réseau de points du domaine sans perdre de précision sur les points (moins nombreux) où la concentration sera calculée.
Fig. 4.3.3 – Anamorphose du domaine régulier dans le cas d’un flux trop important
La première étape de la méthode développée ici reste inchangée, l’équation à coefficient constant est résolue en considérant la vitesse de pore moyenne définie dans le paragraphe 4.3.1. L’anamor- phose est ensuite effectuée sur un pas de temps assez faible pour respecter l’ordre des points du maillage initial. Le maillage qui a subi l’anamorphose est alors interpolé sur le maillage initial. En- fin, le processus d’anamorphose est repris sur ce dernier maillage. Sur le profil initial de nitrate et le flux Darcien représentés sur Fig. 4.3.4, ces étapes réalisées pour une itération sont illustrées sur Fig.4.3.5. Le pas du maillage a été choisi volontairement grand pour une meilleure compréhension des principes du procédé.
En menant ce processus itératif à son terme, on aboutit au profil de Fig. 4.3.6 sur une irrigation de 4 h. Sur la figure, nous avons fait apparaître le profil final de flux. Nous avons choisi ici un coefficient de dispersion faible pour pouvoir mieux suivre la prise en compte d’une vitesse de pore variable grâce au procédé itératif décrit plus haut.
Nous rappelons que le profil illustré sur les figures sont des concentrations, on observe bien ici que cette concentration a baissé là où l’eau s’est infiltrée dans le domaine. Ce phénomène de dilution est plus visible en surface, là le temps de présence de l’eau a été le plus important au cours de la simulation. Cette simulation peut donner des résultats meilleurs encore en considérant des pas de temps plus faibles. Le temps de calcul s’en trouve cependant augmenté d’autant.
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Fig.4.3.4 – Profil du flux Darcien et profil initial de nitrate
Fig. 4.3.5 – Différentes étapes d’une itération permettant la prise en compte d’un flux Darcien variable
Fig.4.3.6 – Evolution du profil de la concentration en nitrate et profil final de flux dans le cas d’un domaine soumis à un flux d’eau imposé en surface
Dans ce procédé qui permet de rendre compte avec plus de précision l’impact d’une vitesse de pore variable en espace et en temps, nous avons introduit un maillage, des pas de temps et une relation entre ces deux paramètres. Cependant, cette relation est beaucoup moins contraignante que celle utilisée par des méthodes numériques. Rappelons que les vitesses de pores calculées sont des expressions analytiques, et donc que leur évaluation ne dépend aucunement de pas d’espace ou de
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temps. La première approximation du profil de concentration en soluté est également une expression analytique. Le fait de fixer un pas d’espace définit la finesse de la description des profils à visualiser et le pas de temps minimal à utiliser pour le processus itératif développé dans ce paragraphe.
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Conclusion de la partie
Dans cette partie nous avons tout d’abord développé la décomposition d’un problème général en problèmes élémentaires, les moyens utilisés pour résoudre ces problèmes théoriques simples, puis les principes de leur superposition permettant d’obtenir une approximation de la solution géné- rale. Cette approche a été appliquée sur l’équation de Richards linéarisée et sur une équation de convection-diffusion simplifiée. Pour cette dernière équation, une approche itérative a été proposée afin d’améliorer la prise en compte d’un flux variable en temps et en espace.
Cette méthode analytique ou semi-analytique a de nombreux avantages. Les solutions des pro- blèmes élémentaires sont les solutions exactes des équations linéarisées, les approximations réalisées lors de leur superposition ne réduit que faiblement leur précision dans le contexte de l’étude. Le processus itératif améliorant la description du profil de concentration des solutés augmente certes les temps de calcul de l’approche, mais pour une prise en compte de phénomènes essentiels à l’étude. L’approche choisie pour résoudre ces équations est opérationelle, peu de paramètres sont à définir et la description de l’évolution de l’état du sol au cours d’un cycle cultural complet est facilité par l’allégement des contraintes sur le pas de temps (même si ces contraintes ne sont pas complétement éliminées dans le cas de la simulation des transferts de solutés).
Reste maintenant à évaluer l’impact des hypothèses retenues pour linéariser les équations de transfert. En effet, ces équations ont été simplifiées de manière importante afin de permettre leur résolution. Il convient maintenant de valider cette approche en définissant précisément leur domaine de validité. CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref
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Cinquième partie
Analyse des résultats et améliorations
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Introduction de la partie
Cette partie est dédiée à la présentation et à l’analyse des résultats obtenus grâce au modèle développé. Ce dernier sera testé sur deux systèmes d’irrigation (la raie et le goutte à goutte avec leur mode de fertilisation) et sur différents types de sol. Il sera comparé à Hydrus-2D, code de référence ayant fait l’objet d’une validation dans la deuxième partie de ce document à partir des mesures expérimentales dans le cas de phénomènes événementiels.
Les caractéristiques du modèle à contrôler sont celles qui ont été avancées tout au long du développement de ce travail :
• Son adaptabilité. L’intérêt de ce modèle est de pouvoir traiter un large panel de techniques d’irrigation dans lesquelles interviennent des transferts bi- ou tridirectionnels. Il a été conçu afin de pouvoir décrire des conditions initiales hétérogènes et peut représenter une géométrie de surface irrégulière. La manière dont est conçu le modèle permet également de rajouter simplement des modules améliorant la description de la dynamique du sol.
• Son caractère opérationnel. L’abandon des méthodes numériques a été justifié par la lourdeur de leur mise en oeuvre ainsi que leurs difficultés à suivre l’état du sol à l’échelle de la saison de culture. Il faudra donc vérifier la capacité du modèle à palier ces inconvénients.
• L’étendue de son domaine de validité. Lors de la création du modèle, de nombreuses hypo- thèses simplificatrices ont été introduites diminuant son domaine de validité. Cette partie permettra de quantifier cette diminution et de définir précisément les conditions permettant l’utilisation de cette modélisation.
Afin d’améliorer chaque point de contrôle précédemment cité, cette partie apporte également des perspectives de développement à ce modèle. Elle décrit et teste l’efficacité d’une technique permettant d’étendre le domaine de validité pour une prise en charge d’un plus grand nombre de sols. Elle pose les bases d’ajouts de modules supplémentaires, permettant notamment de traiter l’extraction racinaire des plantes et la mise en place d’un calcul du rendement prévu. Enfin, elle indique les principes d’une méthode améliorant la description de l’état du sol, quant à l’humidité et la concentration en soluté, à l’échelle de la culture.
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Chapitre 1
Définition des cas tests
La modélisation developpée a pour objectif de représenter l’évolution de l’état d’un sol irrigué et cultivé. Les cas à tester doivent donc être adaptés à ces objectifs et correspondre à une certaine réalité. Par exemple, il n’est pas conseillé d’irriguer à la raie un sol sableux. De même, les durées d’irrigation ou de redistribution sont fonction du système d’irrigation et de la nature du sol. Afin de ne pas multiplier les cas à tester, trois types de sols sont choisis de manière à couvrir le plus largement possible les sols utilisés en agriculture avec leur système d’irrigation adapté. Nous rap- pelons que les deux systèmes que nous avons choisi pour valider le modèle sont l’irrigation à la raie et le goutte à goutte. Ce chapitre présente le cadre dans lequel on se place pour réaliser ces cas tests.