a l’axe de rotation et de la composante k|| parall`ele `a l’axe de rotation pour deux taux de rotation Ω. Clark di Leoni et al. mettent en ´evidence une forte tendance `a l’invariance verticale de leur ´ecoulement turbulent avec des lignes iso-contours du spectre de l’´energie qui tendent vers l’horizontale et une concentration de l’´energie vers les modes de composante verticale du vecteur d’ondes nulles kk= 0 (cf. figure 1.12). Ces r´esultats montrent que ces tendances sont plus marqu´ees aux grandes ´echelles et aux fort taux de rotation en accord avec l’´etude exp´erimentale de Lamriben et al.
Dans l’ensemble des ´etudes pr´esent´ees dans cette partie, on constate que la rotation a pro-voqu´e une croissance des ´echelles parall`eles `a l’axe de rotation pour toutes les ´echelles per-pendiculaires `a l’axe de rotation. Il s’agit l`a d’un comportement qui refl`ete la tendance `a la bidimensionnalisation selon l’axe de rotation du fluide provoqu´ee par la rotation. On constate toutefois que cette tendance affecte moins les petites ´echelles horizontales que les grandes et qu’elle devient d’autant plus marqu´ee que la rotation est forte.
1.5.3 Transfert d’´energie entre ´echelles
Comme nous venons de le voir, la turbulence en rotation est un ´etat interm´ediaire entre une turbulence 2D invariante verticalement et une turbulence 3D isotrope. Il s’agit l`a d’un
change-1.5. TURBULENCE EN ROTATION (Ro . 1, Re ≫ 1)
Figure1.12 – Simulations num´eriques de Clark di Leoni et al. [31] de turbulence homog`ene dans un fluide en rotation. Cartes de la densit´e spectrale de puissance du champ de vitesse e(k⊥, k||) en fonction des deux composantes du vecteur d’onde, k⊥ orthogonale `a l’axe de rotation et k|| parall`ele `a l’axe de rotation, pour deux taux de rotation Ω. Extrait de Clark di Leoni et al. [31].
ment majeur puisque l’on sait que contrairement `a la turbulence 3D isotrope, la turbulence 2D donne naissance `a une cascade inverse d’´energie [44, 46, 57] dirig´ee vers les grandes ´echelles, plu-tˆot qu’une cascade directe d’´energie, c’est-`a-dire dirig´ee vers les petites ´echelles (cf. partie 1.5.1). Pour la turbulence en rotation, se pose alors naturellement la question de la direction des flux d’´energie dans le plan perpendiculaire `a l’axe de rotation.
Dans les exp´eriences pionni`eres de Hopfinger, Browand et Gagne [32] de 1982 dans laquelle une grille horizontale est oscill´ee verticalement dans un cylindre en rotation et qui ont d´ej`a ´et´e introduites dans la partie pr´ec´edente, les auteurs constatent une augmentation des ´echelles caract´eristiques des tourbillons dans le plan horizontal en pr´esence de la rotation (cf. figure 1.13). Cette observation ne constitue pas une preuve formelle de la pr´esence d’une cascade inverse emmenant l’´energie vers des grandes ´echelles mais illustre bien ses effets.
L’´emergence d’une cascade inverse dans les ´ecoulements turbulents en rotation a plus tard ´et´e mise en ´evidence dans plusieurs ´etudes exp´erimentales `a commencer par le travail de Yarom et Sharon [38] en 2013. Ils ont ainsi ´etudi´e l’´evolution temporelle du spectre spatial de l’´energie dans le plan horizontal pendant la phase transitoire d’une turbulence en rotation forc´ee par un r´eseau de jets. Il s’agit en fait d’une analyse similaire `a celle de Paret et al. [46] pr´esent´ee `a la partie 1.5.1 mettant en ´evidence la cascade inverse de la turbulence 2D (cf. figure 1.7). Yarom et Sharon mettent ainsi en ´evidence une propagation progressive, pendant le r´egime transitoire, de l’´energie vers des ´echelles de plus en plus grandes (cf. figure 1.14). On remarque toutefois dans les spectres spatiaux de l’´energie de Yarom et Sharon le peuplement progressif en ´energie de nombres d’ondes horizontaux plus grands que le nombre d’ondes de for¸cage, traduisant la pr´esence de flux d’´energie directs, i.e. vers les petites ´echelles, en parall`ele de la cascade inverse d’´energie.
(a) (b)
Ω
Figure1.13 – Photographies d’un plan perpendiculaire `a l’axe de rotation d’un ´ecoulement en rotation dans une exp´erience o`u une grille horizontale (en bas de la cuve) oscille verticalement. La photographie (a) est prise sans rotation, et la photographie (b) avec. Extrait de Hopfinger et al. [32].
Figure 1.14 – ´Evolution temporelle du spectre spatial de l’´energie du champ de vitesse hori-zontal dans un plan horihori-zontal d’une exp´erience de turbulence en rotation forc´ee par un r´eseau de jets. L’´echelle de for¸cage est indiqu´ee par kf. Extrait de Yarom et al. [38].
1.5. TURBULENCE EN ROTATION (Ro . 1, Re ≫ 1)
(a) (b)
Figure 1.15 – (a) Flux d’´energie Π (Π > 0 indique un flux dans le sens direct) en fonction du nombre d’onde k dans des simulations num´eriques de turbulence en rotation. La fl`eche indique les taux de rotation R croissants. Extrait de Deusebio et al. [41]. (b) Moyenne azimutale du flux d’´energie horizontal hΠ⊥iϕ (Π > 0 indique un flux dans le sens inverse) en fonction de la longueur horizontale de s´eparation r⊥ pour diff´erents taux de rotation Ω dans une exp´erience de turbulence en rotation forc´ee par une ar`ene de g´en´erateurs de dipˆole de tourbillons. Extrait de Campagne et al. [37].
Campagne et al. [37] et Deusebio et al. [41] se sont aussi int´eress´es en 2014 `a la question de la direction des flux d’´energie respectivement dans une exp´erience de turbulence en rotation forc´ee par une ar`ene de g´en´erateurs de dipˆole de tourbillons et des simulations num´eriques. Ces deux ´equipes ont mesur´e directement les flux d’´energie entre ´echelles Π dans l’espace spectral pour Deusebio et al. et dans l’espace r´eel pour Campagne et al. (cf. figure 1.15). Ces deux ´etudes ont ainsi mis en ´evidence l’´emergence d’une cascade inverse d’´energie lorsque le taux de rotation augmente. Elles montrent aussi que cette cascade cohabite avec une cascade directe vers les petites ´echelles qui est de plus en plus inhib´ee avec l’augmentation du taux de rotation. On note toutefois une diff´erence entre ces travaux qui est que l’´echelle d’inversion de la cascade d’´energie est naturellement l’´echelle de for¸cage pour les simulations num´eriques alors qu’elle d´epend du taux de rotation dans les exp´eriences. Finalement, Deusebio et al. ont montr´e en changeant les dimensions de leur boite de simulation num´erique que le seuil d’apparition de la cascade inverse ´etait ´evidemment d´ependant du taux de rotation mais aussi naturellement du rapport d’aspect de l’´ecoulement.
On note ici que cette coexistence d’une cascade d’´energie inverse et une cascade directe dont les propri´et´es varient avec le taux de rotation Ω illustre toute la complexit´e que peuvent d´evelopper les r´egimes de turbulence en rotation. Mˆeme si nous ne l’avons pas directement montr´e, la nature du for¸cage va elle aussi fortement influencer la turbulence produite et il serait trop long de d´etailler toutes les ´etudes qui mettent en valeurs les diff´erents facteurs influen¸cant la nature de la turbulence en rotation.
(a) (b) ωz
ωz
ωz
Figure 1.16 – Carte du champ de la composante verticale de la vorticit´e ωz dans un plan horizontal dans des simulations num´eriques de turbulence homog`ene, (a) sans rotation et (b) avec rotation. Extrait de Deusebio et al. [41].