Dispositif exp´erimental

Dans nos exp´eriences, l’attracteur est g´en´er´e dans un aquarium parall´el´epip´edique de base 105 × 105 cm² et de hauteur 75 cm rempli par 63 cm d’eau. Une plaque introduite dans cet aquarium est inclin´ee d’un angle α = 58.3^o par rapport `a l’horizontale pour obtenir un volume trap´ezo¨ıdal de hauteur H = 56.7 cm, de longueur Lx = 104 cm et de largeur L<sub>y</sub> = 105 cm (cf. figure 3.16). Pour forcer une onde `a grande ´echelle, le “plafond” de la cavit´e est constitu´e d’une s´erie de 23 barres horizontales de 86 cm de long centr´ees dans l’aquarium dans la direction y. Les barres ont une section carr´ee de 40 mm de cot´e dans le plan (x, z) et sont espac´ees de 5 mm dans la direction x. Chaque barre est reli´ee `a un moteur lin´eaire permettant son mouvement dans la direction verticale. Ce syst`eme impose finalement `a la fronti`ere sup´erieure de la cavit´e

H = 56 .7 cm Lx= 104 cm 105 cm 75 cm Ω α = 58.3◦ ex ez ey θ λ^f c_ϕ cg

Figure3.16 – Sch´ema de l’aquarium (en bleu) avec la cavit´e trap´ezo¨ıdale (en rouge). Le plafond de la cavit´e est constitu´e de 23 barres horizontales de section carr´ee, chacune connect´ee `a un moteur lin´eaire permettant son mouvement dans la direction verticale. La zone d´elimit´ee par des pointill´es montre la r´egion sur laquelle la moyenne de l’amplitude en vitesse de la figure 3.18 est calcul´ee.

un mouvement ondulatoire harmonique approximant la fonction :

Z(x, t) = H + A [cos (σ₀t + k₀x) − 1] , (3.19)

o`u k0 = 2π/λ0 et deux valeurs de longueur d’onde ont ´et´e utilis´ees : λ0 = 11 × 4.5 cm = 49.5 cm et λ₀ = 22 × 4.5 cm = 99 cm (4.5 cm ´etant la taille d’une barre oscillante plus l’intervalle entre deux barres).

Notre for¸cage est donc invariant selon la direction horizontale y et se distingue ainsi de celui de Manders et Maas [79, 80] (d´ecrit dans la partie 3.2.1) qui produisait un ´ecoulement o`u les demi-espaces y > L<sub>y</sub>/2 et y < L<sub>y</sub>/2 ´etaient en opposition de phase (y = 0 ´etant la face avant de l’aquarium). Notre for¸cage est par ailleurs inertiel (alors que celui de Manders et Maas ´etait visqueux) et est tr`es similaire `a celui des exp´eriences d’attracteurs d’ondes internes de gravit´e de Brouzet et al. [77, 78].

Pendant cette ´etude, nous avons vari´e l’amplitude A du mouvement des barres Z(x, t) de 0.09 mm `a 18 mm. L’ensemble du syst`eme est embarqu´e sur la plateforme tournante d´ecrite dans la partie 2.1 et tourne `a une vitesse constante de Ω = 3 ou 18 tr/min autour de l’axe vertical z. La plateforme est mise en rotation au moins 30 min avant le d´emarrage du g´en´erateur d’ondes de sorte que la mise en rotation solide du fluide soit termin´ee. La pulsation du g´en´erateur d’ondes est r´egl´ee `a σ₀ = 0.85 × 2Ω ce qui correspond `a des ondes se propageant selon un angle θ = arccos(0.85) = 32.0o. Pour nos exp´eriences, les param`etres (d, τ ) de Maas et al. [82] valent d = 1 −_{L tan α}^2H ≃ 0.33 et τ = _{L tan θ}^2H ≃ 1.74. `A la figure 3.17, nous avons report´e le point correspondant dans le diagramme de convergence des rayons d’ondes dans une cavit´e trap´ezo¨ıdale

3.3. UNE EXP´ERIENCE D’ATTRACTEUR D’ONDES D’INERTIE

de Maas et al. d´ej`a pr´esent´e `a la figure 3.3(a) dans la partie 3.1.1. Comme l’avait montr´e Maas et al., notre configuration exp´erimentale doit conduire `a un attracteur (1,1) (soit un cycle limite se r´efl´echissant une fois sur la paroi inclin´ee et une fois sur le plafond de la cavit´e). Ces param`etres

log₁₀(−Λ)

Figure 3.17 – Exposant de Lyapunov Λ associ´e `a la convergence des rayons d’ondes internes dans une cavit´e trap´ezo¨ıdale en fonction des param`etres (d, τ ). Il s’agit de la figure 3.3(a) pr´esen-t´ee dans la partie 3.1.1 avec une ´etoile rouge qui positionne nos exp´eriences dans le diagramme. Extrait de Maas et al. [81].

correspondent `a un attracteur th´eorique inviscide de longueur L<sub>a</sub> ≃ 214.2 cm avec un facteur de focalisation γ ≃ 2.25. La source virtuelle des mod`eles pr´esent´es dans la partie 3.1.2 est alors situ´ee `a une distance L₀ = L_a/(γ³ − 1) ≃ 20.5 cm en amont de la r´eflexion focalisante. La longueur visqueuse ℓ =^ν/p4Ω2− σ2

0

1/2

vaut 0.71 mm lorsque le taux de rotation Ω est ´egal `

a 18 tr/min et 1.74 mm lorsque Ω = 3 tr/min.

Dans nos exp´eriences, le membre de droite de l’in´egalit´e (3.10) est, au minimum, 4 fois plus ´elev´e que celui de gauche montrant ainsi qu’un faisceau auto-similaire d’ondes peut se “boucler” correctement lors de la r´eflexion focalisante et ce pour les deux taux de rotation Ω ´etudi´es. Le terme de gauche de l’in´egalit´e (3.15) est lui 30 (respectivement 75) fois plus faible que celui de droite pour Ω = 3 tr/min (respectivement Ω = 18 tr/min). En supposant que les lois d´eriv´ees par Beckebanze et al. pour la dissipation dans les couches limites lors des r´eflexions des ondes internes de gravit´e restent pertinentes en ordre de grandeur pour les ondes d’inertie, ces valeurs impliquent que la dissipation lors des r´eflexions du faisceau sera n´egligeable devant celle li´ee `a la propagation du faisceau. Enfin le membre de droite de l’in´egalit´e (3.18) est, au minimum, 10 fois plus ´elev´e que celui de gauche. Cela montre que la dissipation du faisceau sur les parois verticales en y = 0 et y = L_y serait n´egligeable si la loi d´eriv´ee pour les ondes de gravit´e ´etait aussi valide pour les ondes d’inertie.

Nous mesurons les deux composantes (u_x, u_z) du champ de vitesse dans le plan vertical y = y₀ = L_y/3 (y = 0 est la face avant de l’aquarium) grˆace au syst`eme de PIV embarqu´e dans le r´ef´erentiel tournant d´ecrit dans la partie 2.2. Chacune des deux cam´eras filme une moiti´e diff´erente de la cavit´e et c’est au moyen d’une calibration spatiale que l’on peut fusionner chaque

paire d’images en une seule recouvrant l’int´egralit´e de la cavit´e trap´ezo¨ıdale. Pour les amplitudes du g´en´erateur d’ondes A ≤ 1.50 mm, les acquisitions ont consist´e en une s´erie de 1440 `a 5760 paires d’images enregistr´ees en configuration “singleframe” (cf. partie 2.2). La fr´equence est alors comprise entre 1.5 et 24.4 Hz : elle est adapt´ee aux vitesses caract´eristiques de l’´ecoulement pour que le d´eplacement typique du fluide entre deux images successives permette une mesure pr´ecise par corr´elation d’images. Ces acquisitions correspondent en pratique `a 120 p´eriodes du g´en´erateur d’ondes avec une r´esolution temporelle comprise entre 12 et 48 paires d’images par p´eriode de for¸cage. Pour les amplitudes du g´en´erateur d’ondes A plus grandes que 1.5 mm, les acquisitions sont r´ealis´ees en configuration “doubleframe” (cf. partie 2.2) et les doublets d’images sont s´epar´es d’un intervalle de temps dt ∈ [9 ms, 29 ms]. Cette configuration est rendue n´ecessaire par les plus grandes valeurs de la vitesse du fluide. Pour ces grandes valeurs de A, 120 `a 360 p´eriodes du g´en´erateur d’ondes ont ´et´e enregistr´ees avec une r´esolution en temps de 12 doublets de paires d’images par p´eriode du g´en´erateur. Ind´ependamment du mode d’acquisition, avec un recouvrement de 50% des fenˆetres d’interrogation de 32 × 32 pixels, le calcul PIV produit finalement des champs de vitesse avec une r´esolution spatiale de 4.17 mm compos´es de 130 lignes et de 164 (au fond) `a 244 (au plafond) colonnes de vecteurs couvrant presque enti`erement la cavit´e trap´ezo¨ıdale.