c Extensions du mod`ele de Grisouard et Staquet

s + ^La γ3− 1 −1/3 e⁻ ℓ2La(2π)3 λ3 f(1−γ3)−1 3 (3.9)

qui r´ev`ele aussi une loi de puissance de l’amplitude en vitesse en ξ−1/3. On peut noter que cette approche nous fourni une relation entre la vitesse caract´eristique de l’attracteur et les caract´eristiques du for¸cage (i.e. la vitesse de for¸cage U<sub>0</sub> et la longueur d’onde λ<sub>f</sub>) coupl´ee avec les caract´eristiques du syst`eme (i.e. la longueur visqueuse ℓ, la longueur de l’attracteur L_a, le coefficient de focalisation γ).

3.1.2.c Extensions du mod`ele de Grisouard et Staquet

Pour que le faisceau auto-similaire du mod`ele de Grisouard et Staquet puisse s’auto-alimenter lors de la r´eflexion focalisante, il est n´ecessaire de supposer `a l’´equation (3.7) que le faisceau r´efl´echi en ξ = L₀ + L_a co¨ıncide avec le faisceau auto-similaire issu de la source ponctuelle virtuelle en ξ = L0. Cette hypoth`ese est qualitativement v´erifi´ee lorsque la distance entre la source virtuelle et la r´eflexion focalisante L<sub>0</sub> est plus grande que la largeur du faisceau avant la r´eflexion focalisante κ(L<sub>0</sub>+ L<sub>a</sub>) o`u κ(ξ) est ici la largeur `a mi-hauteur du faisceau de Moore et Saffman issu d’une source monopolaire (cf. partie 1.3.2). Cette limitation n’a pas ´et´e ´evoqu´ee par Grisouard et Staquet mais elle impose la condition

L_a

On peut facilement se convaincre de la pertinence de ce crit`ere en regardant la figure 3.8 o`u il est ´evalu´e pour deux cavit´es ayant un facteur de focalisation γ diff´erent ainsi que diff´erentes valeurs du rapport La/ℓ pour chacune des cavit´es.

γ² = 3 γ¹ = 6 f (γ 2 ) = 12 00 f (γ¹ ) = 28 60 0 (a) La/ℓ = 600 (b) La/ℓ = 600 (c) La/ℓ = 5000 (d) L_a/ℓ = 5.106 La/ℓ ≪ f (γ1) La/ℓ < f (γ1) La/ℓ ≫ f (γ1) La/ℓ < f (γ2) La/ℓ > f (γ2) La/ℓ ≫ f (γ2)

Figure3.8 – (a) Sch´ema du mod`ele de Grisouard et Staquet avec l’attracteur inviscide en trait noir tiret´e et la largeur `a mi-hauteur κ d’un faisceau de Moore et Saffman issu d’une source monopolaire en trait plein bleu au sein de deux cavit´es ayant un facteur γ₁ = 6 pour la cavit´e du haut et γ₂ = 3 pour celle du bas. (b), (c) et (d) zooms de (a) pour les deux cavit´es et diff´erentes valeurs de L_a/ℓ. Il est indiqu´e en dessous de chaque zoom la comparaison entre L_a/ℓ et f (γ) = 2π3^1/3γ^3/2(γ³− 1) discut´ee dans le texte juste avant l’´equation (3.10).

Par ailleurs, des extensions des mod`eles pr´esent´es pr´ec´edemment peuvent ˆetre propos´ees : si les mod`eles de Hazewinkel et al. et de Grisouard et Staquet ont ´et´e introduits pour prendre en compte la dissipation visqueuse pendant la propagation des ondes internes, ils n´egligent la dissipation visqueuse lors des r´eflexions du faisceau sur les parois. Beckebanze et al. [87] ont ´etudi´e ce probl`eme en 2018 et montr´es que le facteur d’att´enuation visqueuse de la vitesse ǫ lors de la r´eflexion d’une onde plane interne de gravit´e de longueur d’onde λ_f sur une paroi inclin´ee d’un angle α s’´ecrit :

ǫ = e⁻ 2πRαℓ

λf^√tan θ, (3.11)

avec R_α = sin θ sin(2θ)/^sin(α − θ)p| sin2α − sin²θ |^. En prenant en compte la dissipation visqueuse subie par l’onde lors de ses quatre r´eflexions pendant un tour d’attracteur (1,1), ce facteur s’´ecrit :

ǫ = e⁻ 2πRℓ

λf^√tan θ, (3.12)

3.1. LES ATTRACTEURS D’ONDES INTERNES

mod`ele d´evelopp´e `a la partie 3.1.2.a mais en consid´erant cette fois que l’onde plane n’est amortie que par ses r´eflexions sur les parois. On peut alors montrer par r´ecurrence que l’amplitude en vitesse Un de l’onde apr`es n tours d’attracteur est

U_n= U₀γⁿe^−2πRℓ

(γn −1)

(γ−1)λf^√tan θ . (3.13)

Comme pour le mod`ele d´evelopp´e `a la partie 3.1.2.a, en cherchant le maximum de U_npar rapport `

a n et en l’injectant dans l’´equation (3.2), on peut montrer que la longueur d’onde dominante λ_ref est alors

λ_ref = ^2πRℓ

(γ − 1)^√tan θ^{. (3.14)}

Cette longueur d’onde peut-ˆetre compar´ee avec celle obtenue `a la partie 3.1.2.a en ne consid´e-rant que les effets de dissipation visqueuse en volume lors de la propagation du faisceau que l’on nommera λ<sub>prop</sub>(s). Les mod`eles d´ecrits pr´ec´edemment, prenant en compte uniquement la dissipation volumique des ondes dans le cas d’un ´ecoulement 2D, seront en pratique pertinents lorsque λ_prop(s = 0) ≫ λref, c’est `a dire lorsque (cf. ´equations (3.5) et (3.14))

L_a

ℓ ≫ ^R

3(γ3− 1)

3(tan θ)3/2(γ − 1)3. (3.15)

Cette in´egalit´e montre en fait que le mod`ele est valide tant que la longueur de l’attracteur L<sub>a</sub> est plus grande que celle de la dissipation visqueuse ℓ, que la focalisation γ n’est pas trop faible et que l’angle de la pente α est assez ´eloign´e de celui des ondes θ. Dans les exp´eriences de Brouzet et al. [78] utilisant deux cavit´es diff´erentes, L<sub>a</sub>/ℓ > 1500 alors que l’autre membre de l’in´egalit´e (3.15) est toujours inf´erieur `a 1.45, la dissipation li´ee aux couches limites sur les parois r´efl´echissantes ´etant donc ici compl`etement n´egligeable. Il est `a noter que l’expression (3.11) a ´et´e d´eriv´ee pour la r´eflexion des ondes internes de gravit´e. Mˆeme si l’on s’attend `a une loi similaire pour les ondes d’inertie, l’existence d’une composante de vitesse additionnelle dans la direction y pour les ondes d’inertie modifiera probablement les pr´efacteurs num´eriques intervenants dans cette loi.

Par ailleurs, les mod`eles de Hazewinkel et al. et de Grisouard et Staquet sont des mod`eles 2D invariant selon l’axe y. Les effets 3D qu’il est important d’envisager sont ceux li´es `a la pr´esence de parois verticales, parall`eles `a la vitesse de groupe des ondes, en y = 0 et y = L<sub>y</sub> dans une cavit´e tri-dimensionnelle r´ealiste. D’apr`es Beckebanze et al. [87], pour une onde interne de gravit´e plane effectuant un tour d’attracteur de longueur L_a, ces parois induiront une dissipation visqueuse additionnelle :

ǫ^′ = e⁻

2πLaℓψ

λf^√tan θLy, (3.16)

avec ψ = Re[2√

pr´ec´edent, on peut pr´edire la longueur d’onde caract´eristique de l’attracteur (juste apr`es la r´eflexion sur la paroi inclin´ee) dans le cas o`u seule la dissipation li´ee aux parois verticales en y = 0 et y = Ly est `a l’œuvre :

λ_par = ^La Ly

2πψℓ

(γ − 1)^√tan θ^{. (3.17)}

Les mod`eles 2D, o`u seule la dissipation volumique est `a l’œuvre, seront ainsi pertinents lorsque λ<sub>prop</sub>(s = 0) ≫ λpar, c’est `a dire lorsque (cf. ´equations (3.5) et (3.17))

L_y

ℓ ≫^{ L}_ℓ^a

2/3 ψ(γ3− 1)1/3

31/3(γ − 1)^√tan θ^{. (3.18)}

Cette in´egalit´e montre que les effets des parois lat´erales domineront lorsque la cavit´e est tr`es fine dans la direction y, lorsque la viscosit´e est forte ou lorsque γ est proche de 1. Dans le grand aquarium des exp´eriences de Brouzet et al. [78], L_y/ℓ vaut 1.4 fois le terme de droite de l’in´egalit´e (3.18), montrant que les effets de la dissipation visqueuse en volume et de celle sur les parois lat´erales sont du mˆeme ordre de grandeur et que les deux doivent ˆetre pris en compte pour correctement pr´edire le champ de vitesse de l’attracteur, comme illustr´e dans l’article de Beckebanze et al. [87].

Il est important d’insister ici sur le fait que la pr´ediction (3.17), d´ecrivant les effets de la dissipation visqueuse des ondes sur les parois lat´erales y = 0 et y = Ly, a ´et´e r´ealis´ee par Beckebanze et al. [87] dans le cas des ondes internes de gravit´e dans les fluides lin´eairement stratifi´es. Il est probable que ces lois soient diff´erentes dans le cas des ondes d’inertie dans les fluides en rotation. Les ondes internes de gravit´e sont en effet associ´ees `a un mouvement de translation lin´eaire dans le plan de propagation de l’onde (ici, le plan (x, z)). Un attracteur d’ondes 2D invariant selon la direction y est donc compatible avec des conditions aux limites inviscides dans le cas o`u des parois sont introduites en y = 0 et y = L_y. Les choses sont profond´ement diff´erentes pour les ondes d’inertie o`u l’attracteur 2D n’est pas compatible avec la pr´esence de parois lat´erales dans le cas de conditions aux limites inviscides, puisque le mouvement des particules fluides consiste en une translation circulaire dans le plan inclin´e de l’angle θ (cf. partie 1.3) incluant donc des oscillations dans la direction y incompatibles avec la non-p´en´etration des parois lat´erales. La description des couches limites visqueuses sur les parois lat´erales d´evelopp´ee par Beckebanze et al. [87] dans le cas des fluides stratifi´es ne peut donc a priori pas se transposer aux cas des fluides en rotation. Ce probl`eme reste donc ouvert mˆeme si l’on ne s’interdira pas de constater ce que pr´edirait le mod`ele d´eriv´e pour les ondes de gravit´e dans le cas de nos exp´eriences en rotation, comme si celui-ci ´etait valide.