Théorie

Depuis la découverte des rayons X (RX) par le physicien allemands Wilhelm Röntgen en 1895, leur utilisation a dévié du domaine médical initial pour se retrouver plus largement exploité en science des matériaux. Les RX sont produits par un métal bombardé par des électrons accélérés entre une anode et une cathode. La forme du spectre d‟émission sera donc fortement dépendante de la cible bombardée par les électrons. Et sa capacité à pénétrer en profondeur dans un matériau dépendra à la fois de l‟intensité des RX et de leur niveau d‟énergie. Au plus ces

valeurs sont importantes, au plus les RX pénètrent en profondeur. Le tungstène correspond bien à ces critères, d‟autant plus qu‟il possède aussi une température de fusion élevée lui permettant de fonctionner sous des courant importants. Cependant d‟autres éléments sont aussi utilisés, comme le LaB6.

Le mot tomographie vient du grec ‘tomos’, coupe ou section, et ‘graphein’ écrire pour une image ou une représentation. Lors du passage des RX au sein d‟un échantillon, ceux-ci sont atténués en fonction de la densité et de l‟homogénéité des milieux qu‟ils traversent, conduisant à l‟obtention d‟une image 2D projetée en section de l‟atténuation des RX par l‟objet. Cependant, dans le domaine de la science des matériaux, le système a évolué depuis l‟imagerie médicale en section, et s‟attache désormais à reconstruire un volume en 3D de l‟échantillon à partir de plusieurs images en section. Ce volume est appelé ‘tomogramme’ par la suite et est obtenu le plus souvent à partir de centaines, voire milliers d‟image 2D en section, qui sont communément appelées ‘radiographies’ ou „projections’. Depuis les débuts de l‟imagerie en tomographie RX le concept sous-jacent reste similaire, à savoir l‟échantillon à scanner est placé sur une platine de rotation (cf. Fig. I.34.a) et N projections, correspondant à N positions angulaires (cf. Fig. I.34.b), sont acquises sur un détecteur, une caméra CCD ou CMOS par exemple, placée après un scintillateur qui convertit les RX en lumière visible par fluorescence X [191]. Lorsque le faisceau de RX est parallèle, une mesure sur une rotation de 180° est suffisante, dans le cas contraire une rotation complète de 360° doit être réalisée.

Figure I.34: (a) Vue schématique d’un échantillon exposé à un faisceau de RX et (b) les projections et coupes correspondantes après imagerie par tomographie RX [192]

Lorsqu‟un faisceau de RX se propageant dans le plan (x,y) rencontre un objet, son intensité va décroître exponentiellement suivant la loi de Beer-Lambert et en fonction de la distribution du coefficient d‟atténuation massique μ(x,y) de l‟échantillon qu‟il traverse et de sa répartition de masse. Pour un angle d‟incidence θ cela se traduit par l‟équation suivante [193]:

Les projections sont obtenues directement d‟après cette même loi, et servent à calculer la distribution en 3D du coefficient moyen d'atténuation μ(x,y) du matériau, par le biais d‟un algorithme de reconstruction [193]:

Les paramètres x et y, peuvent être exprimés réciproquement dans l‟espace réel en fonction des

variables s, z et θ, comme et (cf. Fig. I.35),

afin de passer dans l‟espace de Fourier. Et il s‟agit d‟évaluer la quantité indiquant la projection sur une ligne de μ(x,y).

Figure I.35: Illustration de la pénétration d’un faisceau RX dans un échantillon de distribution de coefficient d’atténuation (en rouge) dans l’espace réel, avec la projection correspondante, vue à l’angle θ (au milieu), et la transformée de Fourier 2D

de , et 1D de (à droite) [192]

Le théorème de projection de Fourier stipule que la transformation de Fourier 1D d‟une projection est égale à la transformation 2D de la distribution du coefficient d'atténuation mesuré suivant la projection perpendiculaire à la direction de propagation du faisceau RX (cf. Fig. I.35). Donc pour tous les points de coordonnées dans l‟espace de Fourier, il existe un angle 0 < θ < (θmax = π or 2π) tel que la projection définie par passe par ce point. L‟ensemble des transformées de Fourier des projections acquises constitue ce qui est communément appelé le ‘sinogramme’, et est nécessaire et suffisant pour la reconstruction de la distribution car la fonction de Fourier est une fonction bijective [193]. En pratique, la reconstruction est obtenue à partir d‟un ensemble de données discret, car seulement un certain nombre fini de positions angulaires sont parcourus. Le tomogramme final obtenu est composé d‟un nombre fini de coupes 2D, elles-mêmes composées de pixel en 3D, appelés des voxels (cf. Fig. I.36). La résolution (Δx) de l‟image 3D finale peut être approximée à partir de la taille de voxel (vs), Δx ~2×vs d‟après

[194]. Cette taille de voxel dépend du grandissement de l‟image (G), et de la distance inter-pixel du détecteur l, dépendant de sa taille D et du nombre de pixel (l = ), avec:

Figure I.36: Schéma d’un tomogramme 3D, composé de coupe 2D et de voxels 3D [195] Le temps total d'acquisition est proportionnel au nombre de positions angulaires et au temps d‟exposition de l‟échantillon pour chacune des positions. Il est donc intéressant de chercher à minimiser ce nombre, en évitant toutefois de faire naître des artefacts lors de la reconstruction, comme le « view aliasing » [196]. Pour éviter cela, il convient de choisir correctement ce nombre et une règle simple revient à faire en sorte que la largeur de l‟image en pixel multipliée par π/2 soit pratiquement égale au nombre de projections [197]. Une fois ces paramètres bien ajustés et le scan accompli, la reconstruction se fait le plus souvent en utilisant un algorithme de rétroprojection filtré. Pour plus de détails, se référer à l‟ouvrage de Kak et Slaney [198]. Dans le cas d‟un faisceau de type conique, un ajustement de l‟algorithme doit être effectué afin de prendre en compte l‟impact de la forme du faisceau [198].