13.1 L'APPROXIMATION DE BORN
13.1. Montrer que l'amplitude de diffusion d ' u n e particule dans un potentiel extérieur quelconque ?7(r), peut s'écrire sous la forme de l'intégrale suivante étendue au domaine d'action du potentiel :
où ko, k sont les vecteurs d'onde de la particule avant et après la diffusion et où ^^
est la fonction d'onde ayant, pour r — oo, le comportement asymptotique suivant :
rt/+) !„} ~ p î k o - r , /(^•k) ,kr
" k o ^l ~ " ' ,. • - •
13.2. De quelle façon le potentiel d'interaction doit-il décroître à grande distance pour que le comportement asymptotique de la fonction d'onde 'S' prenne, pour r —>• oc', la forme indiquée dans le problème précédent ? Se limiter aux potentiels de la forme U (r) oc r~", pour r —>• oo.
13.3. Etablir à quelles distances du centre de diffusion la fonction d'onde ^^ (r) peut être représentée sous la forme asymptotique donnée dans 13.1. On suppose (nie, pour r ^ R, le potentiel est négligeable (R est ici le "rayon d'action" du potentiel).
13.4. Chercher, dans l'approximation de Born, l'amplitude de diffusion et la section totale de diffusion des particules dans les potentiels U(r} suivants :
a) U(r) = aS(r - R) : b) U(r) = Uoc-''^1 : c) U(r) = ^-rlR ; d) U(r) = air1 ;
^={'0; ^R\
f) U ( r ) = U o e -r•!/R 2.
44 PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
Etudier les cas limites des particules de faible et de grande énergie. Indiquer les conditions de validité de l'étude.
13.5. Pour les potentiels U(r) étudiés dans le problème précédent ( 1 3 . 4 , a), b ) ) chercher la valeur ' ^ ( O ) au premier ordre du calcul des perturbations (^ (r) est la fonction d'onde décrivant le processus de diffusion des particules d'impulsion /)k).
13.6. Montrer que, dans les conditions de validité de l'approximation de Born, la section efficace totale de diffusion des particules o'(E), au sein d ' u i ) potentiel ccniral quelconque U ( r ) , satisfait à l'inégalité
^(^0,
c'est-à-dire que Eo-(E) est une fonction croissante de l'énergie E.
13.7. Montrer que lors de la diffusion des particules par un potentiel attractif (c'est-à-dire pour ^(r) < 0) ou par un potentiel répulsif [V (r) > 0) dans les conditions de validité de l'approximation de Born. la valeur maximale de la section elhcace de diffusion o'(-E') correspond aux particules d'énergie E = 0.
13.8. Obtenir l'expression de l'amplitude de diffusion des particules dans l'approxima-tion de Born pour un potentiel d'échange, c'est-à-dire pour ?',•,chan\IJr(r) = l f ( r ) ^ ( — ï . ' ) . Comment l'amplitude de diffusion est-elle liée d a n s ce cas à l ' a m p l i t u d e de diffusion par le potentiel ordinaire {•'(»•) ? Quelle différence observe-t-on dans la diiï'usioli des particules rapides entre les des potentiels "ordinaire" et "d'échange"?
13.9. Montrer que, pour des particules de grandes énergies kli ^ 1 ( I { étant le rayon d'interaction), la section efficace totale de diffusion dans un potentiel U ( r ) = U ( p , z ) peut, dans l'approximation de Born, être représentée sous la forme
Avant la diffusion, l'impulsion des particules est dirigée le long de l'axe ; : p est le rayon vecteur situé dans le plan perpendiculaire à l'axe z .
Appliquer la formule donnée pour le potentiel {/(r) = ('De"' / /' et comparer au résultat obtenu dans le problème 13.4, f ) .
13.10. Dans l'approximation de Born, l'amplitude de diffusion vers l'avant des par-ticules (d'angle 0 — 0) est réelle ( l n i f ( 0 ~= 0) = 0). Le théorème optique d'après lequel a ( E ) = 47rlm/((? = 0 ) / k n'est donc pas vérifié.
Expliquer pourquoi ce résultat est naturel et pourquoi la violation du théorème optique ne contredit pas la description correcte des sections efficaces différentielle
X I I I - THÉORIE DE LA DIFFUSION 45
et totale de diffusion dans le cadre de l'approximation de Born (naturellement dans les conditions de sa validité ; voir de même le problème suivant).
13.11. Trouver l'expression de l'amplitude de diffusion au second ordre du calcul des perturbations. Chercher Im/^(0 = 0) et expliquer le résultat obtenu.
13.12. Une caractéristique importante du processus dans l'étude des amplitudes de diffusion des particules est la grandeur
, l [ E ) = Ref(h\ 0 = 0 ) / î m f ( K , 0=0),
rapport de la partie réelle et de la partie imaginaire de l'amplitude de diffusion vers l'avant.
Exprimer | »/(£') | au moyen de la section efficace totale de diffusion et de la section efficace différentielle de diffusion frontale des particules. Comment se comporte »/(A7) dans les conditions de validité de l'approximation de Born ?
13.13. Exprimer, dans le cadre de l'approximation de Born, l'amplitude de diffusion sur d e u x centres de forces identiques éloignés l ' u n de l'autre de a, c'est-à-dire que
^(r) = ?/o(r) + r''o(r — a), au moyen de l'amplitude de diffusion /(B sur un centre unique U(}{v).
Chercher le rapport entre les sections efficaces de diffusion s u r deux et sur u n centre pour les cas :
a) k<i <C i (avec une grandeur kR arbitraire, R étant le rayon d'action du potentiel
(W) ;
b) kR ~ 1 et a ^> R (la distance séparant les centres est beaucoup plus grande que le rayon d'action du potentiel).
13.14. Obtenir, dans l'approximation de Born, l'expression de l'amplitude de diffu-sion par un système de N centres identiques disposés aux points a,,, n = 1, 2, . . . , A', c'est.-à-dire par un potentiel (/(r) = ^ f/o(|r — a.,J)
u
Appliquer le résultat obtenu à l'analyse de la distribution angulaire des particules diffusées pour des centres alignés sur u n e droite parallèle à la direction des particules incidentes, l'écartement entre les centres voisins étant constant et. égal à b. Disculer, en particulier, le cas de N 3> f .
Dans le cas où R ^ b {R étant le rayon d'action du potentiel ^(r)), bk <^, 1 mais
;V bk ~^> 1, chercher la section efficace de diffusion totale des particules.
13.15. ( 'hercher, au second ordre du calcul des perturbations, l'amplitude de dif-fusion des particules dans le potentiel U (r) = U Q C ~r~ IR~ pour de grands transferts d'impulsion qR ~S> t. Comparer à. l'amplitude obtenue dans l'approximation de Born.
46 P R O B L È M E S l ) h ; M E C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
13.16. Comparer, pour des particules (.l'énergie E = 0. les valeurs de l ' a m p l i t u d e de diffusion exacte f ' " ' ( J ' J =^ 0) dans le potentiel / / ( r ) à l'amplitude de diffusion dans l'approximation de Born /"(O), dans le même potentiel p o u r
a) un potentiel répulsif U (r) > 0 :
b) un potentiel attractif U(r) <^ 0, suffisamment peu profond pour q u ' i l admette pas d'état lié.
Montrer que, dans a), la valeur de la section efficace de diffusion de Born est supérieure à la, section efficace de diffusion exacte, tandis que, dans b ) , c'est le contraire.
13.2 CALCUL DES DÉPHASAGES. DIFFUSION DE PARTICULES LENTES. DIFFUSION RÉSONNANTE
13.17. Obtenir l'expression des déphasages S i ( k ) , dans le cadre de l'approximation de Born, en utilisant directement la décomposition en ondes partielles de l'amplitude de d i f f u s i o n d a n s un champ central.
Indication, miliser la relation de la théorie des fonctions de Bessel (.c,.;/ > 0) [12] : sm \ / , vî 4- v2 — 2a"ucostf' TT v-^
v. ————- = ^-,^l+ ' ) ^ ' / - ( - ' - ) ^ l / 2 ( î / ) ^ ( œ s ^ ) .
^.r- + y- - 2xyms y 2^/xy ^
13.18. Obtenir l'expression des déphasages dans l'approximation de Born pour un potentiel d'échange (voir 13.8).
13.19. Dans le cadre de l'approximation de Born, chercher le comportement des déphasages avec l'énergie de la particule quand E —> 0. Se limiter aux potentiels / / ( » • ) décroissant, pour r — oo, plus v i t e q u e toute puissance de r ( p a r exemple,
^ o c e - ' - / ^ ) .
13.20. Chercher le comportement des déphasages de Born S f ( k } pour une valeur fixée de / et pour k —7- oc. Se l i m i t e r à des potentiels dont le comportement pour r —> 0 satisfait à la condition »•[/((•) —> 0.
13.21. tCn se servant de l'expression quasi classique des déphasages, chercher leur comportement p o u r une valeur fixée de / et /-.,' —s- oc. Comparer au résultat o b t e n u dans le problème précédent.
13.22. Chercher dans l'approximation de Born les déphasages des ondes .s (/ = 0) dans les potentiels :
a) U[r) =UoR6(r- Iî) ; b) < / ( r ) = f/ne-'-/^.
En utilisant les résultats obtenus, chercher, pour ces potentiels, la section efficace de diffusion des particules lentes. Indiquer les conditions de validité des résultats et comparer les aux résultats obtenus dans f3.4, a) et b).
X I I I - THÉORIE DE LA D I F F U S I O N 47
13.23. Donner l'expression dn potentiel d'interaction U(r) en fonction de déphasage So(k) (l = 0), supposé connu pour toutes les énergies de la particule et avec l'hypothèse que \6o(k)\ < 1.
Pour illustrer ce résultat, étudier les cas où So(k') est de la forme : a) 6o(k) = cte ;
b) ^•) =TÏW
Pour le cas b) comparer au résultat do 13.22, b).
13.24. Chercher les valeurs exactes des déphasages des ondes ,s dans les potentiels :
""M^; ;'^';
•"'"••'-{-"o: :^';
c) U(r) = -(Voe-'-/-".
Eu utilisant les résultats obtenus, chercher, pour ces potentiels, les sections efficaces de diffusion des particules lentes. Indiquer les conditions de validité des expressions obtenues.
13.25. Chercher la longueur de diffusion et la section efficace de diffusion des par-ticules lentes dans le potentiel (7(r) = cr/r4, rr > 0.
13.26. Chercher la longueur de diffusion et la section efficace de diffusion des par-ticules d'énergie E = 0 dans le potentiel
.r2 + y2 ^
' -7< 1, c>^
^•)= ^ f2
l "- -^ÎL^>l•
Discuter, en particulier, les cas limites c w h et c ~^> b.
13.27. Chercher la dépendance en énergie de la section efficace de diffusion o"(^?),pour des particules d'énergie E —^ 0, dans un potentiel décroissant à grande distance suivant la loi
U ^ w a / r " ' , r-^co, 2 < n < 3,
13.28. Même question que dans le problême précédent, niais, pour un potentiel, ayant à grande distance le comportement U(r) w o/r3.
13.29. Chercher les déphasages 6 f ( k ) dans le potentiel U(r) = a/r2, o > 0.
Effectuer la sommation de la série constituant le développement, de l'amplitude eu ondes partielles pour :
48 P R O B L È M E S DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
a) ma/h2 <^. 1 pour des angles de diffusion quelconques ; b) ma/h2 ^ f pour des angles de diffusion suffisamment petits ; c) ma //r' 3> f pour des particules diffusées vers l'arriére [6 = n).
Chercher, pour tous ces cas, la section efficace de diffusion différentielle des particules et la comparer aux résultats des calculs dans l'approximation de Born, ainsi qu'aux résultats de la mécanique classique.
13.30. Calculer la section efficace de diffusion totale de particules rapides kR ^ f sur une sphère dure (impénétrable) de rayon R. Se servir de l'expression quasi classique des déphasages et du théorème optique.
13.31. Dans les mômes conditions que dans le problème précédent, chercher l'ampli-tude et la section efficace différentielle de diffusion pour des petits angles de diffusion1 kR0< f .r^f
13.32. Même question que dans le problème précédent, mais p o u r des angles de diffusion 0 ;§> (/.-/î)"1. Comparer au résultat de la mécanique classique.
13.33. Chercher la longueur de diffusion dans les potentiels attractifs :
\ T J t \ \ -^0' r < R' a)u^=[ 0, r > R ; ;
b) U(r) = - l ' u R S ( r - R)
en fonction des paramètres du potentiel ?/o Gt
H-Quels sont les valeurs des paramètres du potentiel pour lesquelles la longueur de diffusion tend vers l'infini ?
13.34. Calculer la section efficace de diffusion des particules lentes dans le potentiel U(r) = —aS(r — R) dans les conditions de résonance de l'onde A'.
13.35. Même question que dans le problème précédent, mais pour un puits de potentiel sphérique de profondeur f''u ci. de rayon R.
13.36. Chercher l'amplitude de diffusion partielle dans l'onde s (/ = 0) dans le potentiel I J ( r ) = aS(r — R). Pour aR ^> h2 /'»;,, déterminer la position Ey et la, largeur T des niveaux inférieurs quasidiscrets (£'0 ~ h^/mR2).
Comparer les sections efficaces de diffusion des particules d'énergie E ~ h2 /mR2 sur ce potentiel à celles obtenues pour une sphère dure de ra.you identique R. Quelle est la valeur de la différence entre ces sections efficaces pour des énergies des particules proches de l'énergie du niveau s quasi discret. ?
1 La diffusion sous de p e t i t s angles dans les conditions de ce problème est, appelée diffractive, car elle est analogue à la diffraction d'un faisceau de lumière parallèle sur un écran (réfléchissant ou absorbant) (diffraction de Fraunhofer, voir [6] et également 13.56).
X 1 J J - T H É O R I E DE LA DIFFUSION 49