15.1 EQUATION DE KLEIN-GORDON
15.1. Montrer que si ^ W f r , ^ ) est lin paquet d'ondes composé de solutions parti-culières de l'équation de Klein-Gordon correspondant à l'énergie (ou à la pulsation) de signe déterminé (soit e ^ me2, soit e < —me-') ; alors, indépendamment, de la forme concrète de cette superposition, la valeur de la grandeur
^--/^-•--^/{^•^-^ w } dv
a un signe déterminé et est constante au cours du temps.
15.2. Montrer que l'équation de Klein-Gordon d'une particule libre est invariante par rapport à la transformation ntitilinéaire suivante
1' -^'S>c(r,t) =(''"îi(r,t) = ^(r,t).
La transformation C est la conjugaison de charge. Elle permet, de passer à des solutions ^ ^ ( r , / ) de l'équation ne présentant pas de sens physique direct ( ^ " ^ ( r , () étant une superposition de solutions particulières correspondant formellement aux énergies négatives) aux fonctions ^c = C ' S f '1 qui correspondent aux énergies posi-tives et q u i s'interprètent comme des fonctions d'onde de l'antiparticule.
Montrer que si la fonction 'F est une fonction propre d'un quelconque des opérateurs
? = î^i- p, l ? , l2, la fonction conjuguée de charge ^c l'est également. Comment sont liées les valeurs propres des opérateurs associés à de telles fonctions ?
15.3.
a) Quelle forme prend l'équation de Klein-Gordon pour une p a r t i c u l e chargée de spin nul dans un champ électromagnétique extérieur avec la transformation suivante
^ -^^c(r,t) = C''î'(r,t) = ^*(r,t) ?
58 P R O B L È M E S DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
b) Quelle t r a n s f o r m a t i o n du champ électromagnétique doit-on effectuer simultané-ment à- la transformation simultané-mentionnée de la fonction ^(r^,) pour que l'équation obtenue ait la même forme qu'initialement ?
c) Sur la base des résultats obtenus, interpréter la transformation C comme une transformation de conjugaison de charge réalisant la transition de la particule à l'antiparticule (comparer avec 15.2).
15.4. Montrer q u ' u n champ scalaire (par rapport à la trans(ori)iat,iou de Lorcnty.) exerce la mémo action sur une particule sans spin et sur l'antiparticule cpi lui cor-respond. Comparer avec le cas d'une particule dans un champ électromagnétique e x t é r i e u r ( v o i r 15.?)).
Conseil. L'équation décrivant la particule sans spin dans un champ scalaire extérieur U (r, / ) a la forme
{(•-'p- + m-'r-4 + ïmc-U}^ = -h2——^.
Il ne faut pas confondre le champ scalaire avec le champ électrostatique (ce dernier représente la composante temporelle d'un quadrivecteur). Dans la limite non rela-tiviste, U ( r , t ) prend le sens de l'énergie potentielle ordinaire.
15.5. Montrer que les parités intrinsèques d'une p a r t i c u l e sans spin et de 1 antiparti-cule correspondante sont les mômes.
15.6. En se basant sur la constance de la grandeur Q (voir 15.1), discuter le problème d'orthogonalité et de normalisation des fonctions ' I ' p ^ ( r , ^ ) constituant des solutions de l ' é q u a t i o n de Klein-Gordon qui correspondent à des v a l e u r s déterminées de l'énergie (des deux signes) et de l ' i m p u l s i o n .
15.7. Montrer que pour une particule sans spin on peut conserver, dans le cas relativiste, l'interprétation o r d i n a i r e de la fonction d'onde en représentation p comme celle de l'amplitude de probabilité de l'impulsion (à la différence de la représentation en coordonnées, voir 15.1). Quelle est, la, relation des fonctions d'onde de la particule et de l'antiparticule en représentation p avec les solutions ^ ^ ( r , / ) de l'équation de Klein-Gordon ? Comparer au cas non relativiste.
15.8. Obtenir l'expression de la valeur moyenne de l'énergie d'une particule libre sans spin dans un état décrit par la solution ^^'(r.t) de l'équation de Klein-Gordon.
15.9. Même question que dans le problème précédent, mais pour la valeur moyenne de l'impulsion de la particule.
15.10. Même question que dans les deux problèmes précédents, mais pour la valeur moyenne du moment de la particule.
XV - EQUATIONS D ' O N D E RELATIVISTES 59
15.11. C h e r c h e r , dans le cas relativiste, le spectre d'énergie d'une particule chargée sans spin placée dans un champ magnétique homogène.
Comparer au cas non relativiste.
15.12. Chercher les niveaux d'énergie des états s d'une particule sans spin placée dans le potentiel (voir 15.4)
T T I \ \ —Un, r < a,
u(r)=[ 0, r ^ a .
Quel est le spectre d'énergie de l'antiparticule dans un tel potentiel ?
Discuter les difficultés de l'interprétation du spectre d'énergie dans le cas d'un appro-fondissement important du puits.
15.13. Chercher les niveaux d'énergie du spectre discret, d'une particule de charge
—r sans spin placée dans le champ coulombien d'un noyau de charge Zt (le noyau est supposé ponctuel et de masse infinie).
Dans le cas Zcc <^. 1 (cr = e ^ / h c w 1/137), comparer le résultat obtenu à l'expression correspondante de la théorie non relativiste.
Souligner les difficultés surgissant dans l'interprétation du spectre d'énergie p o u r des valeurs suffisamment grandes de la charge du noyau et eu e x p l i q u e r la raison.
15.14. Obtenir directement à partir de l'équation de Klein-Gordon pour une parti-cule libre
a) l'équation de Schrôdinger pour la limite non relativiste ; b) la première correction relativiste à l'équation obtenue.
15.15. Obtenir directement à partir de l'équation stationnaire de Klein-Gordon pour une particule chargée sans spin placée dans u n champ électromagnétique constant : a) l'équation de Schrôdinger pour la. limite non relativiste ;
I)) la première correction relativiste à l'équation obtenue.
15.16. Montrer que clans un champ électrostatique suffisamment intense la particule chargée sans spin subit u n e a t t r a c t i o n (au sens de la mécanique quantique) indépen-damment du signe de sa charge.
15.17. Chercher, dans l'approximation de H o r n , l ' a m p l i t u d e et. la sert.ion efficace différentielle de diffusion d'une particule chargée (de charge e i ) relativiste sans spin placée dans le champ coulombien du noyau de charge Ze (le noyau est supposé infi-n i m e infi-n t l o u r d ) .
Comparer an cas d ' u n e particule non relativiste.
Indiquer les conditions de validité des résultats obtenus.
60 PROBLEMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
15.18. Chercher, dans l'approximation de Born, la, dépendance en énergie de la section efficace de diffusion crÇs) d'une particule chargée sans spin placée dans le champ électrostatique extérieur y ( r ) quand s —>• x;i. Indiquer les conditions de validité du résultat obtenu et, le comparer au résultat de la théorie non relativiste.
15.19. Chercher, dans l'approximation de Born, la dépendance en énergie de la section efficace de diffusion cr(e) d'une particule sans spin placée dans un potentiel U(r) (voir conseil dans 15.4) quand £ —>• oo. I n d i q u e r les conditions de validité du résultat obtenu : le comparer au résultat, de la théorie non relativiste et à celui du problème précédent.
15.2 EQUATION DE DIRAC
Dans les problèmes de ce paragraphe, ou utilise la représentation suivante des matrices d'ordre quatre de Dirac :
( ° (T \ v ( <T ° ^ < ( \ ° ^
— ( . o ) ' ^ ( o J- ^"-(o -J 1
. , / 0 i<T \ ( 0 1 "\
^="^={-^ Q ) ' ^ = ^ W 1 = - ^ 1 Q ) ,
où (T, 1, 0 sont des matrices d'ordre deux : celles de Pauli, la matrice u n i t é et, la matrice xéro' .
15.20. Parmi les opérateurs mentionnés plus lias, établir lesquels commutent avec l'hamiltonien d'une particule relativiste libre de spin s = 1/2 (et, constituent, donc des constantes du mouvement) :
1) p = -JhV :
2 ) î = ^ [ r A p ] = - î [ r A V ] :
? > ) î2; 4 ) s = ^ S : 5) s2: 6) j = 1 + s ; 7) J2;
8) À = p • S ;
9) U où CT(r) = 'P(-r) ; 10) P = P R ;
11)7r,.
Comparer a,u cas d'une particule libre non relativiste.
1 Dans les problèmes e t les solutions de ce paragraphe, le symbole de l'opérateur sur les matrices a, i3, 'y, S, 1. (J est omis.
XV - EQUATIONS D ' O N D E RELATIVISTES 61
15.21. Chercher la solution de l'équation de Dirac décrivant une particule libre d'impulsion et d'énergie déterminées.
Pour définir l'état de spin de la particule, utiliser la commutativité de l'opérateur A = p • S avec les opérateurs p et H (voir de même 15.26).
15.22. Chercher les composantes du quadrivecteur densité de courant d'une particule de Dirac libre dans l'état caractérisé par une valeur déterminée de son impulsion.
Comparer aux expressions correspondantes de la théorie non relativiste.
15.23. Chercher la valeur moyenne du vecteur de spin d'une particule de Dirac d'impulsion déterminée (dans ce cas l'état de spin de la particule est arbitraire).
Supposer, pour simplifier, que l'impulsion est dirigée. le long de l'axe z . Comparer au résultat de la théorie non relativiste.
15.24. Etudier la transformation unitaire des bispineurs définie par l'opérateur uni-taire (la matrice)
V - ^ (\ 1 ^
^\\ -\ ) '
Quelle forme prend, dans la nouvelle représentation, l'opérateur spin de la particule et l'équation de Dirac pour les spineurs à deux éléments
(^ =U^!=(^\\ •?
15.25. On suppose connu l'état de spin d'une particule dans le système du repos, chercher le bispineur u(p) dans le système de coordonnées dans lequel la particule a l'impulsion p.
En utilisant le résultat obtenu, chercher la relation entre les valeurs moyennes du vecteur de spin de la particule dans les systèmes de coordonnées indiqués.
15.26. Comme on le sait (voir 15.21), pour une particule de spin s = 1/2, la fonction d'onde de l'état ayant, une impulsion p et une énergie e = V p2^ + m'^c4 a la. forme
/ v
»l/p = n{p)e~K{•p•r~£<l i((p) = rrr p
\ e + m c2^
(.'et état est, doublement dégénéré, c'est-à-dire il y a deux façon de choisir le spineiir y. Ce fait est lié à l'existence du spin. Etudier ces deux états indépendants ayant la forme y\ où
(o- • n)y\ = \y\
(il est un vecteur unitaire arbitraire, A = ±1, voir 5.12 du Tome 1).
62 PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
Montrer l'orthogonalité des états de spin do la particule relativiste correspondant aux différentes valeurs de A.
Compte tenu du résultat obtenu dans le problème procèdent, établir le sens physique d u vecteur n et- des valeurs propres correspondantes de À.
Quelle est la signification du vecteur ^y*cr^ avec la norme y*\p = 1 ?
15.27. Chercher la forme explicite de la fonction d'onde de l'état d ' u n e antiparticule correspondant à la solution de l ' é q u a t i o n de Dirac ayant une impulsion déterminée p et une énergie négative e = —vP""^"' + ii^c4 de la particule. Comparer a la fonction d'onde de l'état physique de la particule (d'énergie ? ^> )«c-' et d'impulsion déter-minée).
De quels nombres quantiques (impulsion, énergie et hélicité) est douée l ' a n t i p a r t i c u l e dans l'état correspondant à la solution \ïlp^\ de l'équation de Dirac ayant une énergie négative de la particule ?
15.28. Montrer que, pour u n e p a r t i c u l e de Dirac de masse ni = 0, l'opérateur ( m a t r i c e ) •).r, commute avec l'hamiltonien de la p a r t i c u l e l i b r e .
Chercher les valeurs propres de 1 opérateur considéré et d o n n e r leur sens physique.
15.29. Montrer que les opérateurs (matrices) /'± = 1/2(1 dr'ya) sont des projecteurs.
Pour une particule de Dirac de niasse ni =- 0, ces opérateurs commutent avec l'hamil-tonien. Sur quels états de la particule et de l'antiparticule, les opérateurs mentionnés /•'^ projettent-ils ?
15.30. La description q u a n t i q u e du photon peut se réaliser a i l moyen de deux vecteurs E(r, t ) et H(r, t ) satisfaisant- aux mêmes équations que l'équation de Maxwell de l'électrodynamique classique d ' u n champ électromagnétique libre E ( r , / , ) , H ( r , / ) (c'est-à-dire d'ondes électromagnétiques dans le v i d e ) .
Montrer que ces équations peuvent être représentées sous une forme analogue a u x équations de Dirac de spineurs à deux éléments ( i l f a u t poser que la masse du photon 111 = 0 et son spm .s = f ) .
15.31. Chercher la limite non relativiste (aux termes d'ordre "1/c" compris prés) des expressions de la densité de charge et. de courant d'une particule de Dirac plongée dans un champ électromagnétique extérieur.
15.32. L'hamiltonien d'une particule de spin .s = f / 2 située dans un champ électro-magnétique extérieur est de la forme
A /^ •) t K
I I = c(o: • p) + nie- f t + — F,,, //?-),,-,,.,,
où /,•, est u n certain paramètre c a r a c t é r i s a n t la particule et. /•^y le t e n s e u r d u c h a m p électromagnétique.
XV — E Q U A T I O N S U ' O N D I ' ; K . E L A T I V T S T E S 63
Après l'étude de la limite non relativiste (aux termes d'ordre "1/c" compris près) de l'équation d'onde2
ib0--^ = H^.
m
établir le sens physique' du paramétre K, c'est-à-dire obtenir la relation qui le lie aux caractéristiques électromagnétiques de la particule. Comparer an cas de particules chargées de Dirac, de l'électron et du muon, dont l'hamiltonien est de la forme
H = ça. • (p — - A ) + rnc1' i3 + eAo.
\ c /
15.33. Chercher le spectre d'énergie d une particule chargée de Dirac plongée dans un champ magnétique homogène.
15.34. Chercher, au premier ordre du calcul des perturbations, la section eflicace différentielle de diffusion d ' u n e particule de Dirac dans le champ coulombien d'un noyau de charge 2'e, supposé infiniment lourd.
Conseil. IHiliser le calcul des perturbations pour les transitions au sein d'un spectre continu sous l'effet d'une perturbation stationnaire ; voir de même 15.37.
15.35. Chercher, au premier ordre du calcul clés perturbations, la dépendance en énergie de la section efficace de diffusion o-(?) d'une particule chargée de Dirac dans un champ électrostatique extérieur A o ( r ) quand ; — oo.
Comparer au résultat obtenu dans f 5 . f 8 .
15.36. Chercher les fonctions de Creen Cr' . g(i',r') de l'équation stationnaire de Dirac pour une particule libre d'énergie £ ^ me2, satisfaisant à l'équation
( f l - 5)C/, E: (-i.hctï • V + n i ^ j î - s)G', = 6(r - r'}
et qui prend, pour ;• —>• oo, la. forme asymptolique
1 / ^ ^ ^ T
/,(±) .„ l^i/,.,. /.-,/i__2"^
<-7 l x/ ' ^ - V /,2,2 •
Chercher également la fonction de Creen /} de l'équation de Dirac écrite sous la forme symétrique :
(icp + mc')^^ = 0 , p = ih~f • V + —^4.
c
2 Cet te ("•quation peut être écrite sous une forme explicitement relativiste et, invariante:
/ -. "> ^ / ^ ::! \
[ f p + —r'i^-^^n- + '"'" l 1' •= 0. \ P = P p - i p = P • -Y - -'-..I — l •
64 PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E QUANTIQUE
15.37. Chercher, clans l'approximation de Born, l'amplitude de diffusion d'une par-ticule de Dirac dans un champ électromagnétique extérieur constant,
A p p l i q u e r le résultat obtenu au cas d ' u n champ électrostatique A[) = Z c / r et le comparer avec 15.34.