12.1 NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES FORCES NUCLÉAIRES. DEUTÉRON
12.1. Comme on le sait, les forces nucléaires se caractérisent par un petit rayon d'action et une grande intensité. C'est ainsi que les manifestations qualitatives de l'interaction nucléon-nucléon de basse énergie ne peuvent s'expliquer qu'en admet-tant que le potentiel nucléaire a u n rayon d'action 7?o w 2 • lO"1 3 cm (à de plus grandes distances les forces nucléaires décroissent très rapidement) et une grandeur caractéristique L'o w 40 MeV.
Clierclier les valeurs caractéristiques des potentiels d'interaction coulombienne de deux protons et d'interaction magnétique des moments magnétiques de spin de deux nu-cléons à la distance RQ indiquée et les comparer à la grandeur Uo.
12.2. Quel serait le moment magnétique du deutéron si ce dernier se trouvait dans l'état' :
a) '.Su ; b) 3^ : '•) ^l ; cl) '^o ; e) SP, : f ) -^i ?
Rappelons que les moments magnétiques du proton et du neutron libres (en unités de magnétons nucléaires) sont : ^(p = 2, 79 : /.<„ = — 1 , 91 ; la valeur expérimentale du moment magnétique du deutéron est p., = 0, 85 et son spin vaut J^ = 1.
Com-seil. Utiliser le résultat obtenu dans le problème 3.54 du Tome I.
1 Puisque les nombres q u a n t i q u e s du deutéron sont rigoureusement établis, il peut sembler que les problèmes du genre de ceux où sont étudiés les états hypothétiques du d e u t é r o n aient une nature a r t i f i c i e l l e . Or. il faut savoir, que c'est justement la comparaison avec les données expérimentales des caractéristiques physiques du deutéron calculées à partir de différentes hypothèses sur ses nombres quantiques, qui a permis d ' i d e n t i f i e r l'état réel du deutéron.
36 PROBLEMES UE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
12.3. Estimer la valeur moyenne r^ (r = i-p — r,,) du deutéron eu supposant que la liaison entre le proton et le neutron est faible et en se rappelant que, dans la grande majorité des cas, le deutéron se trouve dans l'état 3S .
12.4. Quel serait le moment quadrupolaire du deutéron si ce dernier se trouvait dans l'état:
a) ' ,S'u ; b) ^i ; c) \f\ ; d) ^n ?
Exprimer le m o m e n t quadrupolaire du deutéron eu termes de la distance quadratique moyenne r'2 ; comparer au résultat obtenu dans le problême suivant.
12.5. Même question que dans le problème précédent, mais dans l'hypothèse où l'état du deutéron est ' ^ P I .
Donner une estimation numérique de Qo : comparer au r é s u l t a t du problème précédent et à la valeur expérimentale du moment quadrupolaire du deutéron Q^ = 2 , 8 2 • 10-27 cm2.
12.6. Quelles sont les fonctions propres et les valeurs propres de l'isospin (grandeur 7' et projection 7^) pour un système composé de deux nucléons ?
12.7. Quelle est- la valeur de l'isospin d'un système composé d'un proton et d'un neutron dans un état avec des valeurs déterminées du spin total À' et du moment, d u mouvement relatif IJ des nucléons ?
Indiquer la partie isotopique de la fonction d'onde du deutéron.
12.8. Indiquer la forme la plus générale de l'opérateur interaction entre deux nucléons qui soit invariante d'isospin.
Exprimer l'opérateur obtenu U au moyen des valeurs prises par cet opérateur dans des états à valeur déterminée de l'isospin llT=o l
-12.9. Pour un système à deux nucléons, indiquer la structure isotopique de l'opérateur interaction coulombicnne des nucléons.
12.10. En s'appuyant sur l'invariance d'isospin des forces nucléaires et le fait expéri-mental qu'il existe un état lié unique dans le système "proton |- neutron" (deutéron).
montrer qu'il ne doit pas exister d'états liés pour un système de deux protons ou de deux n e u t r o n s .
Tenir compte des valeurs des nombres quantiques du deutéron : spin J^ = 1, p a r i t é
^ = + 1 .
X I I - LE NOYAU ATOMIQUE 37
12.11. De quelles propriétés d'invariance des forces nucléaires réelles aurait-il fallu se priver, si l'état du deutéron avait été une superposition lPl +3?! (et non pas ^.S'i -l-^Ui comme pour un deutéron réel) ?
Indiquer une forme possible d'interaction pouvant aboutir à l'état mentionné.
12.12. Supposons que l'interaction de deux nucléons possède la structure isotopique suivante :
U=V^V^r^\
où Vi,2 sont des opérateurs ne dépendant pas des variables d'isospin (ce sont, des opérateurs dans l'espace des coordonnées et des spins, symétriques par rapport à la permutation des nucléons) ; chercher, dans ce cas, la forme de l'interaction dans le système composé :
a) de deux protous ; 11) de deux neutrons ; c) du proton et du neutron.
Est-ce que l'interaction étudiée s'accorde avec : 1) l'invariance isotopique ;
2) l'indépendance de charge des forces nucléaires réelles ?
12.13. Quelle propriété du deutéron montre que l'interaction proton-neutron dépend des spins des nucléons ?
Après avoir é t u d i é les potentiels dépendant du spin suivants : a) U = V ( r ) c r , - a ^ = l-'(r)(2S2 - 3) ;
I)) /•' = \ "('r)S • L (interaction spin-orbite) ; c) (.' = l ' ( f ) ( 6 ( S • n)2 - 2S2) (forces tensorielles)
(n = r/r, r = i-p — r, et S = -(o-p + <Tn) est l'opérateur spin total des nucléons), établir lesquels permettent d'expliquer les propriétés du deutéron étudiées plus haut.
Indiquer les constantes du mouvement dans ces potentiels.
12.14. Montrer que le potentiel des forces tensorielles
^ = V ( r ) [ 6 ( S . n ) 2 - 2 S2]
(S = ^(0-1 4- 0-2 ) est l'opérateur spin total des nucléons), assimilé à une perturbation du potentiel central Uo(r), n'engendre un déplacement du niveau S qu'au second ordre du calcul des perturbations.
12.15. Montrer qu'avec la prise en compte des forces tensorielles, c'est-à-dire avec Ù = Uo(r) + U f , ou Ht = V(r)S^ et 5'i2 = 6(S • n)2 - 2S2, la fonction d'onde du deutéron, constituée par la superposition '^.S'i ^D^, peut être écrite sous la forme
*=[/u(r)+/i(r),5'i2]Y.
38 PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
S = s,, + s,, est, ici l'opérateur spin total des nucléons,
est la fonction générale de spin S = 1 en représentation S:., (l'opérateur S et la fonction d'onde ^ correspondant au spin total S = 1 des nucléons sont aussi donnés en représentation ,9;).
Pour quel choix de la fonction de spin \ la fonction d'onde considérée 'I' décrit-elle un état d u deutéron ayant u n e valeur déterminée ,/, ?
Chercher (J) dans l'état étudié.
12.16. Comme on le sait, le moment magnétique du deutéron, dont. l'état est la superposition ^S'i +:ÏD^, vaut
/^ = (1 - •«•)/((•'' A'i) + w^D^} w 0,cS5 magn. nucl.
où /((^,5i) et ^(^Di) sont les moments magnétiques du système "proton | neutron"
dans les états ''.S'i ^DI (voir 12.2), ir w 0, 04 est la probabilité de présence du deutérou dans l'état ^Di.
Expliquer pourquoi, pour le moment quadrupolaire du deutéron, il n'y a lias î l e relation analogue à. celle donnée plus haut pour le moment magnétique. A ce propos, signalons que le moment quadrupolaire de l'état ^.S'i est n u l , et que celui de l'éta-t
3D\ est négatif, Q^D}} < 0, tandis que la valeur expérimentale pour le dentéron est Q, % 2 , 8 2 - 10-27 cm2 > 0.
12.17. Estimer les dimensions des deux noyaux "miroirs" tritium '^H et- hélium ^He à partir du fait que dans la désintégration /3, 3îî —S-3 Ile 4- e + v, l'énergie cinétique maximale de l'électron est ?o = 17 keV. 11 faut prendre eu compte l'invariance iso-topique des forces nucléaires et, l'absence d'états excités pour ces noyaux. Rappelons les valeurs numériques suivantes : (.-V,i — A7p)c2 w 1,29 MeV, l•n,,c~! w 0,51 MeV.
12.18. Comme on le sait, les dimensions des noyaux sont données par la relation R = f-oA1 7 3, où .'1 est le nombre de nucléons dans le noyau.
Estimer la valeur de ï'o à p a r t i r des données sur la désintégration ^+ d ' u n noyau comportant Z + 1 protons et- // neutrons (de sorte que -4 = ÏZ + 1) en l'exprimant on fonction de la valeur maximale de l'énergie £o (^s positrons de désintégration.
Supposer que le noyau q u i se désintègre et q u e le noyau produit par la fission (consti-tuant des noyaux "miroirs") se trouvent dans les mêmes états (c'est-à-dire possèdent des nombres quant, iques identiques, exception faite pour les valeurs des composantes 7y de l'isospin). L'énergie d'interaction coulombienne des protons au sein du noyau est supposée égale à l'énergie électrostatique d'une sphère régulièrement chargée dont la charge et le rayon sont ceux du noyau.
Obtenir une estimation numérique de i-o à partir de la réaction de désintégration Ï'.^Si -^]; Al + e+ + ;/, où £o = 3, •'1<S MeV.
X I I - LE NOYAU ATOMIQUE 39
12.19. Même question que dans le problèiiic; précédent., mais pour la désintégration
^Cl -^l S + e+ + v, où £o = 5, 52 MeV.
12.2 LE MODÈLE EN COUCHES
12.20. Dans le modèle en couches chaque nucléon du noyau est supposé se mouvoir dans un certain champ moyen (self-consistant) engendré par les autres nucléons du noyau et présentant une symétrie sphérique.
En supposant que le potentiel self-consistant puisse être approximé par le potentiel U(r) = -(7n + ^kr'2,
^
chercher les niveaux d'énergie individuels des nucléons.
A quelles valeurs des nombres magiques aboutit un tel modèle de potentiel self-consistant ?
Quelles variations qualitatives obscrvc-t-on dans la représentation des niveaux individuels pour une petite perturbation S U ( r ) (de symétrie sphérique) du potentiel considéré ?
Quelles prévisions peut-on déduire du modèle en ce qui concerne les moments et les parités des états fondamentaux des noyaux ?
12.21. Comme on le sait, une interprétation des propriétés des états les plus bas des noyaux, en s'appuyant sur le modèle en couches, ne peut être obtenue qu'avec l'introduction, en plus du potentiel self-consistant central U(r), du potentiel d'inter-action spin-orbite
i'is-Dans le cadre de ce modèle, où
U(r) = -Uo + ^kr2, Ùis = -cri • o- (o > 0)
(comparer au problème précédent), chercher le spectre d'énergie des nucléons i n d i -viduels. Pour cr ?» /tc<;/10 (cJ = ^ / k / M ) représenter les niveaux individuels du bas d u spectre (ce modèle traduit exactement- l'ordre des niveaux individuels, ce qui est essentiel pour la description des propriétés des noyaux pas trop lourds).
Dans le cadre de ce modèle, chercher les moments (les spins) et les parités des états fondamentaux des noyaux: ^e, ^i, 'g'B, ^C, "G, ^N, ^C, ^0, 'g^O, ^ A l , ^Ca.
12.22. C'hercher les niveaux individuels les plus bas du potentiel d'un oscillateur en présence d ' u n e interaction spin-orbite de la. forme
(};, = -OT2! • cr.
Discuter la nature de la décomposition des niveaux de l'hamiltoiiien non perturbé.
Comparer au résultat obtenu dans le problème précédent.
40 P R O B L E M E S DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
12.23. Dans le cadre du modèle en couches, chercher la partie spin-isospin des fonc-tions d'ondes des états fondamentaux des noyaux du tritium 3!! et de l'hélium ^ïïe.
12.24. Indiquer les valeurs possibles du moment total J et du spin isotopique 7' des noyaux comprenant, en plus des couches pleines, deux nucléons dans l'état pi/2 (de même ri). Les noyaux possédant cette configuration sont ^C, ^N, '^0 (deux nucléons en plus des couches pleines ( l s i / 2 )4 (Ips/i)").
12.25. Même question que pour le problème précédent, mais pour deux nucléons dans l'état
pa/2-12.26. Dans le modèle en couches, chercher le moment magnétique et le facteur gyromagnétique d'un noyau ne comportant en plus des couches pleines c^u'un seul nucléon (ou possédant une vacance sur une couche pleine).
Appliquer le résultat obtenu aux états fondamentaux des noyaux suivants'1 : 3H (J = 1/2 ;/( = 2,91) ; 3He (1/2 ; -2, 13) ; ^B (3/2 : 2,69) ; '^C (1/2 ; 0,70) :
^N (1/2 ; -0,28) ; ^0 (5/2 ; -1,89) ; 'f^Si (1/2 ; -0,55).
Pour résoudre le problème, utiliser le schéma des niveaux individuels établi dans 12.21.
12.27. Même question que dans le problème précédent, niais pour un noyau compor-tant, en plus des couches pleines, un proton et un neutron (ou possédant une vacance protonique et une vacance neutronique sur une couche pleine) dans les états identiques (c'est-à-dire avec les mêmes valeurs de n , l , j ) .
Faire le calcul pour les différentes valeurs du spin du noyau possibles pour la con-figuration nucléique donnée. Comparer aux données expérimentales des noyaux2 2R (J = 1 ;;u = 0,85) ; |Li (1 ; 0,82) ; ^B (3 ; 1,80) ; ^N ( 1: 0,40).
12.28. Calculer le moment magnétique d'un noyau comportant, en plus des couches pleines, un proton et un neutron (ou possédant une vacance protonique et une vacance neutronique sur une couche pleine) dans des états identiques avec le schéma de couplage LS (les niveaux individuels sont caractérisés par les nombres quantiques n, I , et non pas n, l, J comme dans le schéma de couplage j j ) .
Appliquer le résultat obtenu à l'état fondamental du noyau *'Li qui a un spm ./ = 1.
Chercher // pour les différentes valeurs possibles de IJ et de S et comparer à la valeur expérimentale /^,p = 0,82 et au résultat du problème précédent. Les nucléons, en plus de la couche pleine (I.1'')4, se trouvent dans l'état [p (c'est-à-dire oui u n / = 1).
Quel est le spin isotopiquc des différents états concernés du noyau ^i ?
12.29. Chercher, dans le schéma du couplage J J , le moment magnétique d ' u n noyau possédant le même nombre de protons et de neutrons en dehors des couches pleines
2 On a indiqué entre parenthèses les valeurs expérimentales du s p i n J et du moment magnétique (i du noyau.
X I I - LE NOYAU A T O M I Q U E 41
dans des états identiques n l j . Appliquer le résultat obtenu au noyau ^Na de spin J = 3 et de moment magnétique /^xp = 1, 75.
12.30. Même question que dans le problème précédent mais dans les conditions du couplage LS (voir 12.28).
12.31. Dans le cadre du modèle en couches, chercher le rapport entre les moments magnétiques des états fondamentaux de noyaux "miroirs". Se limiter à l'étude des noyaux dont tous les nucléons (des deux états de charge), en plus des couches pleines, se trouvent dans les mêmes états n j l .
Appliquer le résultat obtenu aux noyaux 3îî et ^e et comparer aux données expéri-mentales : ^^îi) = 2 , 9 1 ; /^^He) = -2,13.
12.32. Chercher le moment quadrupolaire d ' u n noyau ne possédant en plus des couches pleines qu'un proton dans l'état :
a) si/a ; b) p3/2 ;
c) r f s / 2
-Exprimer Qo en fonction de r2. Quelle est la valeur du moment, quadrupolaire d'un noyau ne possédant qu'une vacance protonique sur les couches indiquées ?
12.33. Généraliser le résultat obtenu dans le problème précédent au cas d'un proton dans un état à valeur arbitraire de / et à j = l + 1/2.
12.34. Chercher le moment quadrupolaire d'un noyau ne possédant, en plus des couches pleines, qu'un proton dans un état avec une valeur arbitraire de / et j = / — 1 / 2 . Comparer aux résultats obtenus dans les deux problèmes précédents.
12.35. Chercher le moment quadrupolaire d'un noyau ne possédant, en plus des couches pleines, qu'un neutron dans un état de moment orbital / et de moment total J = l ± 1/2.
Conseil. Assimiler le noyau à un système composé de deux sous-systèmes : d'un neutron en plus des couches pleines et des nucléons des couches pleines (pris dans leur ensemble) se mouvant par rapport au centre de masse du noyau3.
12.36. Comme on le sait, le modèle en couches avec un potentiel self-consistant ayant la forme d'un oscillateur harmonique
U(r) = -Uo + ^kr2,
^
3 L'étude des difficultés du modèle en couches liées au caractère fixe du centre de niasse du noyau, assimilé à un système de particules indépendantes, est exposée dans la référence [1].
42 PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
permet de comprendre et d'expliquer (compte tenu du couplage spin-orbite) de nom-breuses propriétés de noyaux pas trop lourds.
En admettant que la nature oscillatoire du potentiel self-consistant se conserve égale-ment pour les noyaux lourds .4 ^> 1, déterminer, sur la base de considérations quasi classiques, l'expression de la densité de nucléons au sein de ces noyaux. En résolvant le problème, on peut négliger l'interaction coulombiennc des protons of considérer les noyaux comme possédant, le même nombre de protons et de neutrons.
Est-ce que l'expression obtenue s'accorde avec les données expérimentales ?
12.37. Même question que dans le problème précédent, mais pour un potentiel self-consistant de la forme
"^-{Ï ;;^:
Une fois choisi, en accord avec les données expérimentales, le paramètre I I du modèle sons la forme R = f'oA1/3 (R est le rayon du noyau, ro = 1,2 • lO"13 cm), chercher l'impulsion limite p p des nucléons au sein du noyau. Quelle est dans ce cas la vitesse maximale des nucléons ?