11.52. Gomme on le sait, la polarisabilité /^n de l'état fondamental d ' u n atome se définit par l'expression (ou suppose que ./ ^ 0)
.,^|(fc|d.no|0)|2
^^.L—loy—ïur-
(1) fc^ri ' - k "ooù d, = — f • y Xai est l'opérateur moment dipolaire de l'atome (la somme est
effec-a
tuée sur tous les électrons); HQ - u n vecteur unitaire quelconque ; dans l'expression ( 1 ) la somme est prise sur tous les états excités d u système (mais si les états \k) correspondent au spectre continu, il faut assimiler la somme à u n e i n t é g r a l e ) . Montrer que la polarisabilité /?n satisfait à l'inégalité (avec, évidemment, ,^u > 0)
/3o<|-^——^E<OII•°•r'-lo
)l-'^ "J - ^0 a, b
où E' est l'énergie du premier état excité de l'atome. Obtenir de même une borne inférieure de la grandeur Po, en ne prenant dans la, somme ( 1 ) que le premier terme non nul.
Pour l'atome d'hydrogène, établir les l i m i t e s supérieure et inférieure de la grandeur /Î(J et comparer à la valeur exarte /3ij = 9/2 u.a. = 9fl•|3/2. «o étant le rayon de T3ohr.
30 PROBLEMES 1)1', MECANIQUE Q U A N T I Q U E
11.53. Préciser les limites supérieure et i n f é r i e u r e de la v a l e u r de la polarisabilité /^n de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, obtenues dans le problême précédent, en incluant dans l'étude un terme supplémentaire (état excité) dans la somme (1) (voir problème précédent).
11.54. Calculer la polarisabilité de l'état fondamental de l'atome d'hydrogêne par la méthode variationnelle. En résolvant le problème, utiliser des fonctions d'essai de la forme :
a) I'.,,.,, = r'1'n(r)[l + »(Eo • r)] = ( ' ^ u ( » - ) [ l + n r ^ i c o s ^ ] ; b) ^,,,,, ^ ( • ' ( M ' o + a ^ o l ' i ) ,
où
sont les fonctions d'onde de l'état fondamental (n = 1, / = U, m = 0) et du premier état-excité (2, f , 0) de l'atome d'hydrogène en l'absence de champ électrique extérieur ; l ' a x e z est dirigé suivant le c h a m p , o esl, le paramètre variatiomiel. ( 'omparer les résultats obtenus à la valeur exacte f ^ o = 9((;ï/2 (voir de même problème s u i v a n t ) . 11.55. Préciser le résultat du problème précédent en utilisant des fonctions d'essai de la forme
^_, = (-(^ + n,fi,M., ) = -^[e-'' + aSoV^rcwfh-'"'].
V^r
où Q , 7 sont- des paramètres variationnels. Pu obtenant la valeur n u m é r i q u e de la polarisabilité ,J^,. choisir la valeur 7 = 0, 8 de ce paramètre.
11.56. Etudier l'effet, Stark s u r les états excités de 1 atome d'hydrogène de n o m b r e quantique p r i n c i p a l n = 2, au premier ordre du calcul des perturbations. En résolvant le problème, u t i l i s e r les fonctions propres de l ' i i a m i l t o n i e n non perturbé en coordon-nées sphériques 'i'nirn- I n d i q u e r les conditions de validité des résultats obtenus (en tenant compte du fait. que, dans la solution du problème, on néglige les effets rela-tivistes donnant l i e u à une structure fine du niveau : l'intervalle de structure fine du niveau »? = 2 vaut AL\;, w • l , 5 • l O "5 eV).
11.57. En utilisant la. valeur connue /3o = Q a f , / ' 2 = 9/2 u.a. de la polarisabilité de l'atonie d'hydrogène dans son état f o n d a m e n t a l , obtenir une valeur approchée de la polarisabilité de l'état fondamental de l'atome d'hélium :
a) en négligeant complètement l'interaction entre des électrons ;
b) en tenant, compte de l'interaction des électrons sous forme d ' u n écrantage p a r t i e ] de la charge du noyau (la charge efléctive du noyau qu'il faut choisir est Z,.^ = 2 7 / K i , voir 1 1 . 7 ) .
Calculer la permitt.ivité d i é l e c t r i q u e de l'hélium clans les conditions n o r m a l e s et com-parer a- la- valeur expérimentale ;o w 1 , O U U U 7 U (à cette v a l e u r de ey correspond u n e polarisabilité : ) — 1 , 4 0 u . a . ) .
XI - ATOMES ET M O L É C U L E S 31
11.58. Estimer l'ordre de grandeur de la polarisabilité d u modèle d'un atome ïhomas-Formi, c'est-à-dire le rapport entre le moment dipolaire d des électrons Thomas- Fcrim, créé sous l'action du champ électrique appliqué, et l'intensité de ce champ ^. Com-parer avec la contribution à la polarisabilite de l'atome des électrons de valence.
11.59. Estimer, pour des molécules diatomiqucs, l'ordre de grandeur de la polarisa-bilite /3 do l'état fondamental dans les cas où :
a) le moment dipolaire moyen de la molécule d -= 0 ; b) d ^ 0.
Le moment dipolaire est calculé dans le système de coordonnées lié de façon rigide à l'axe de symétrie de la molécule. Par hypothèse le terme fondamental de la molécule est lv;. Comparer ces valeurs entre elles ainsi qu'à la polarisabilite de l'atome.
11.60. Chercher la décomposition Stark des niveaux rotationnels du terme élec-tronique iv; d'une molécule diatomique possédant- 1111 moment dipolaire constant (la décomposition Stark est supposée petite par rapport à l'écartement entre les niveaux rotationnels voisins). C'omparer an résultat obtenu dans le problème 8.12 (Tome I).
11.61. Etudier l'effet Zceman pour un mésoatome hydrogénoïde, le spin du méson étant s = 0. L'interaction du méson avec le noyau (supposé ponctuel) est supposée purement électrostatique. Quelle est la nature de la levée de dégénérescence des niveaux de nombre quantique principal n ?
11.62. Même question que dans le problème précédent, mais pour l'atome d'hydrogène.
Le champ magnétique est supposé assez intense pour que la décomposition Zeeman soit très supérieure à la structure fine des niveaux. Indiquer pour le niveau » = 2 les c o n d i t i o n s de validité des résultats obtenus (l'intervalle de la s t r u c t u r e Une de ce n i v e a u est A£'ps « 4, 5 • 1CT5 eV).
11.63. Etudier l'effet Zeeman sur les composantes triplet et singulet de la structure hy p e r d u e de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène en supposant- la décomposition Zeeman petite par rapport- à la grandeur de la structure hyperfine.
11.64. Etudier l'influence de la masse finie du noyau sur les effets Stark et Zeeman dans un atome Ilydrogénoïde (ou dans u n mésoatome).
11.65. Chercher la décomposition Zeeman des niveaux du positroimnn (état lié de l'électron et. du positron) eu la supposant beaucoup plus grande que la structure fine.
Comparer au cas de l'atome d'hydrogène.
11.66. Chercher la susceptibilité magnétique "\,,i de l'atome d'hélium dans son état fondamental eu utilisant la forme approchée de la fonction d'onde établie dans 11.7.
Calculer la susceptibilité magnétique de un cm3 de gaz d'atomes d'hélium \^ dans les conditions normales et la comparer à la valeur expérimentale —8, 6 • 10~11.
32 PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
11.67. Pour rotât triplet 23.? de l'atome d'hélium, on a les termes suivants : ''PU'
3 P I , ^P-i qui, compte tenu d'effets rdativistes, ont des énergies différentes (structure fine). Estimer la susceptibilité magnétique de l'atome dans l'état 3 P(| et la comparer à la susceptibilité magnétique et à la polarisabilité de l'état fondamental de l'atome.
11.68. Chercher la décomposition Zeeman des composantes rotationnelles du terme électronique 'XI d ' u n e molécule diatomique (la décomposition Zeenian est supposée petite par rapport à l ' é c a r t e i i i e n t entre les niveaux rotationnels voisins).
11.69. C'hercher l'énergie d'interaction d'une particule chargée (proton, muon, élec-tron, etc.) avec u n atome d'hydrogène tiou excité à de grandes distances mutuelles.
11.70. Etudier le système composé de deux particules chargées et de l'atome d'hydro-gène neutre dans son étal, fondamental, la distance entre l'atome et, les particules chargées é t a n t beaucoup plus grande que le rayon de Hohr. Chercher l'énergie d'inter-action du système considéré. Est-elle douée de propriétés additives ?
11.71. Chercher l'énergie d'interaction d'une p a r t i c u l e chargée et d'une molécule diatomique situées à une grande distance l ' u n e de l'autre. On suppose que la molécule a u n moment dipolaire constant d (dans un système de coordonnées lié de façon rigide à l'axe de la molécule) et se trouve dans l'état fondamental vis-à-vis de tous les nombres quantiques. Le terme électronique de la molécule est lv;.
11.72. Chercher l'énergie d'interaction de deux atomes d'hydrogène dans leur étal fondamental à une grande distance R l'un de l ' a u t r e , par la méthode variationnelle.
Dans les c a l c u l s , utiliser les fonctions d'essai de la forme : a) 1^,, = C<v r „ ( ' • l )<r ^ ( ' • 2 ) [ l + ^ l - ] ;
11) l!',..,,,„ = C ^ o ( ) - i ) ^ o ( » - 2 ) [ l + a(a-i.î;2 + yry, - 2 ; i ^ ) , ou
^ = ———e -•/••"
X / T T f f g
est la fonction d'onde de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène : n, i'2 sont les rayons vecteurs des électrons du premier et d u second atome par rapport, à leur noyau, l'axe ; étant dirigé suivant l'axe passant par les noyaux : a est le paramètre vanationnel.
Avec les notations adoptées, l'opérateur interaction des atomes dans l'approximation dipôle-dipôle est de la forme
(d, • d ^ ^ - ^ r H R - d i K R - d : . , ) _ r2^:^^ - x^ï-j - i/i^)
- f î 5 - - T P
11.73. Chercher l'énergie d'interaction aux grandes distances pour deux molécules douées de m o m e n t s dipolaires constants di et d^. On suppose que les molécules se trouvent dans leur état fondamental vis-à-vis de tous les nombres quantiques : les ternies électroniques des molécules soûl, l v.
XI - ATOMES ET MOLÉCULES 33
11.5 PHÉNOMÈNES NON STATIONNAIRES DANS LES ATOMES ET LES MOLÉCULES
11.74. L'atome d'hydrogène se trouve dans son état fondamental. Le noyau de l'atome est le triton, isotope superlourd de l'hydrogène. Par suite de la désintégration p le tritium se transforme en hélium :
'^îl-^e+v+^îîe.
Chercher la probabilité pour que l'ion d'hélium formé d u fait de la désintégration soit dans son état fondamental.
En calculant le phénomène, tenir compte du fait que la variation de la charge du noyau est l'effet dominant par rapport aux effets de recul du noyau (voir à ce propos 11.77 et 11.78) et de l'interaction de l'électron de désintégration ,/3 avec l'électron atomique (la vitesse de l'électron de désintégration 6 est beaucoup plus grande que celle de l'électron de l'atome : v ^
lO'y^)-11.75. Dans les conditions du problème précédent, chercher les probabilités d'exci-tation des différents états de l'ion d'hélium (atome hydrogénoïde avec Z = 2) avec le nombre quantique principal n = 2.
11.76. Dans les conditions du problème 11.74, chercher la valeur moyenne de l'énergie acquise par l'électron atomique à la suite de la désintégration 0 du noyau.
11.77. Le noyau d ' u n at.omc, dans l'état stationnaire 'l'o. subit un choc brusque de durée T et, par conséquent, acquiert une vitesse v (par exemple, d u fait d u recul dû à l'émission d'un quantum 7 par le noyau excité).
En supposant réalisées les inégalités r -^ T et r <^. a / v , ou T et a sont les ordres de grandeurs des périodes électroniques et des dimensions de l'enveloppe électronique respectivement, e x p r i m e r sous forme générale la probabilité de transition de l'atome dans l'état, ^ri après cette "secousse".
11.78. En utilisant le résultat obtenu dans le problème précédent, calculer la somme des probabilités totales d'excitation et d'ionisation de l'atome d'hydrogène (se trou-vant initialement dans l'état fondamental) engendrées par une "secousse" brusque au cours de laquelle une impulsion P est communiquée au noyau (proton). Indiquer les conditions de validité du résultat obtenu.
11.79. Généraliser le résultat du problème 11.77 au cas d'une molécule diatomique, c'est-à-dire obtenir l'expression générale de la probabilité de transition de la molécule de l'état stationnaire ^o à l'état î'n à la suite d'une " secousse " brusque au cours de laquelle est communiquée une impulsion P à l ' u n des noyaux de la molécule.
34 PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
11.80. Da.ns les conditions du problème précédent, chercher la pro babil) té pour que la molécule demeure dans son état initial si la variation brusque V de la vitesse du noyau est, très inférieure aux vitesses caractéristiques des électrons de la molécule. Le terme électronique de la molécule est ] E et cette dernière se trouve dans sou état fondamental pour tous les nombres quantiques (v = K = 0).
11.81. Un atome d'hydrogène se trouvant, pour / =- 0 dans son état fondamental est, soumis à, u n champ électrique homogène périodique d a n s le temps (cette dépendance en temps est de la forme sin m f ) .
En utilisant le calcul des perturbations, calculer la probabilité, par unité de temps, d'ionisation de 1 atome. On suppose, pour simplifier, que dans l'état final l'électron est, libre.
11.82. Chercher la probabilité d'éjection d ' u n électron A de l'atome sous l'effet d'une transition dipolaire du noyau par suite de l'interaction électrostatique directe de l'électron avec les protons du noyau (conversion i n t e r n e ) .
Comme fonction d'onde initiale, utiliser la fonction 'I' de d'un électron K d'atome hydrogénoïde. La vitesse de l'électron dans l'état f i n a l est, supposée beaucoup plus grande que celle de l'atome.
11.83. Même question que dans le problème précédent, mais pour le cas où les états initial et, final du noyau ont u n moment nul (ces phénomènes sont, dénommés conversion de transition monopolaire ou £'0).
11.84. Chercher la probabilité d'éjection d'un électron K dans un état excité d ' u n mésoatome f i (l'atome contient un seul muon / /- sur u n niveau excité) du (ait de l'effet, Auger (c'est-à-dire que le muon /( passe dans un état d'énergie inférieure, taudis que l'énergie de la transition est transmise à l'électron de l'atome du fait de l'interaction électrostatique du muon et de l'électron).
Se limiter à l'étude de la transition dite dipolaire ou transition /' d'Auger pour laquelle la variation du moment orbital du u n i o n vaut |A/| = 1.
Dans les calculs, supposer que les d i m e n s i o n s de l ' o r b i t e d u union sont, beaucoup plus petites que celles des électrons, l'électron dans l'état final demeurant libre.
Indiquer les c o n d i t i o n s d'application du résultat obtenu. Etudier, en p a r t i c u l i e r , la t r a n s i t i o n muonique '2p — 1s.
11.85. Même question que da.ns le problème précédent, mais pour le cas A/ = 0 (transitions ,S' d ' A u g e r ) . Pour simplifier, se l i m i t e r au cas où le m o m e n t o r b i t a l de l'électron dans les états initial et final est, nul.
E t u d i e r , en particulier, la transition muonique 2,s —> l.s.