Théorème de Heine. Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue sur cet intervalle

Démonstration.

Supposons

f : [a, b]

---+ lR continue, et raisonnons par l'absurde en niant la continuité uniforme de

f.

Cela signifie qu'il existe un réel e0 > 0 possédant la propriété suivante :

- pour tout h > 0, on peut trouver

x, x'

E

[a, b]

tels que

lx - x'I

� h et

lf(x) - f(x')I

> eo.

Pour chaque entier

n,

en posant h =

I/n,

on voit qu'on peut choisir deux réels xn et

x�

dans

[a,b]

tels que

lxn -x�I

�

I/n

et

lf(xn) - f(x�)I

>

e0• L'intervalle

[a, b]

étant compact, la suite

(xn)

possède une sous-suite convergente

Xp(n) (n

---+

p(n)

est une application strictement croissante de N* dans N * ) . La suite correspondante

(x�<n»

n'est pas nécessairement convergente, mais elle possède une sous-suite convergente

(x�(p(n)»·

La suite

(xq(p(n)>)

est convergente, puisque c'est une sous-suite d'une suite déjà convergente.

Posons

Yn

=

Xq(p(n)). y�

=

x�(p(n))"

Les deux suites

(Yn)

et

(y�)

sont convergentes, et sont telles que

IYn - y�I

�

I/n

(puisque

q(p(n))

�

p(n)

�

n

). Elles ont donc une limite commune

y.

Il en résulte par la continuité de

f

au point

y

que

f(yn) - f(y�)

tend vers zéro quand

n

tend vers l'infini, ce qui contredit le fait que

lf(Yn) - f(y�)I

> e0 > 0 pour tout

n.

D Théorème et définition.

_{complexes, définie et continue sur un intervalle [a, b], a}

(Voir p. 11.)

Soit f une fonction

à

valeurs réelles ou

<

b. Alors la suite

(SN(f))N�1 définie par

b -a N-I b -a

SN(f)

=

-

_N k=O

Lf(a

+ k-N

)

tend vers une limite finie lorsque

N

tend vers

+oo.

Cette limite est appelée

l'intégrale de f sur [a, b] et est notée

J:

f(x) dx. On a donc

1b f(x)dx

= lim

^{b -a N-I} --Lf(a

+ k--

^{b -a} )

.

a

N-+oo

N _k=O N

Démonstration.

Il suffit de montrer que la suite

(SN(f))N�I

est de Cauchy. Soit e > O. Nous allons montrer que

dès que N et M sont assez grands.

Il est malaisé de comparer directement

SN(f)

et

SM(f)

car les subdivi­ sions correspondantes de

[a, b]

n'ont en général en commun que les extrémi­ tés du segment :

a

CHAPITRE 1. L'INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES

b Fig. 16.

N = 4

M = S

Par contre, lorsqu'on remplace l'entier N par l'un de ses multiples, la subdivision correspondante s'obtient en redivisant en intervalles égaux la subdivision régulière correspondant à l'entier N.

On prend donc comme intermédiaire la somme

b - a NM-I b - a SNM(f) = NM

L

_l=O !(a +

l

NM ).

On pourra ensuite utiliser la relation

Occupons-nous de SN(f) - SM(f) et posons pour simplifier l'écriture h =

. On peut écrire

N-1

SN(f) = h

L

f(a + kh)

k=O

Pour k donné, regroupons dans la somme SMN(f) les termes correspon­ dants aux points de la subdivision situés dans l'intervalle [a+kh, a+(k+ l)h[ :

et

h/M

�

a + kh a + (k + l)h

Fig. 17.

Il s'agit des points On écrit donc

h

APPENDICE : CONTINUITÉ UNIFORME ET EXISTENCE DE L'INTÉGRALE

Nl

[

l M-1 h

J

SN(f) - SMN(f) = h

L

f(a + kh) - M

L

f

(

a + kh + r M

)

.

k=O r=O

79

La fonction f étant uniformément continue, il existe un réel h0 > 0 tel que lx - x'I ::::;: ho entraîne lf(x) - f(x')I ::::;: s. Si h ::::;: h0, autrement dit si N ::=: (b - a)/ h0, _{dans la différence}

1 M-1 _h

f(a + kh) - -_{M r=o}

L

f

(

a + kh + r-_M

)

le second terme est une moyenne de termes situés dans l'intervalle [f (a + kh) - s, f(a + kh) + s], il est donc lui aussi situé dans cet intervalle. Par suite, si N :;:: (b - a)/ h0 et M :;:: l, on a

ISN(f) - SMNU)I :::::: Nhs = (b - a)s.

On raisonne de la même façon pour SN(f) - SMN(f), et on montre ainsi que pour M et N assez grands, on a

D

Démonstration de la relation de Chasles. (Voir p. 14.)

lb

f(x) dx

=le

f(x) dx +

lb

f(x) dx si a < c < b .

Démonstration. Le problème est que suivant les valeurs de a, b et c, on ne peut pas toujours obtenir une subdivision régulière de [a, c] en réunissant une subdivision régulière de [a, b] _{et une de} [b, c].

En considérant la suite extraite (SNMU))M�I de la suite (SN(f))N�1, on voit que la relation de Chasles est vraie pour tout point c du type CN,k = a + k _{L'ensemble E des points cN,k est dense dans} [a, b], _{autrement dit}

tout point c de [a, b] est limite d'une suite Cn E E. Comme on a

lb

f(x) dx =

len

f(x) dx +

1:

f(x) dx ,

il suffit de montrer que l'on a, quand n � +oo

f(x) dx --+ f(x) dx\ et

ib

f(x) dx --+ f(x) dx .

Voyons ce point. On a

le

f(x) dx -

len

f(x) dx

(

_{c - a} �I _{c - a c - a} �I _{c - a}

Bo CHAPITRE I. L'INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES

Or le terme dont on doit prendre la limite s'écrit

N-1 N-1

+ _{f(a +} ) - _{f(a +}

On montre grâce à la continuité uniforme de

f

sur

[a,

b] que dans cette expression le premier terme tend vers zéro quand n

---+ +oo.

Le second tend lui aussi vers 0, car

1 ^{c - c}

T N-1 _k=O

L f(a + kT) ^{c -a} 1

�

lcn - cl

_xE[a,bl sup

lf(x)I .

On montrerait de même que J.Cn b

f(x) dx ---+

J.C b

f(x) dx.

Exercices

D

1. Soit f une fonction continûment dérivable sur l'intervalle [O, l]. Considérons l'inté­ grale J� f(x) cos(2rrtx) dx. La fonction x -+ cos(2rrtx) a, en gros, t oscillations sur l'intervalle [O, 1], lorsque t devient très grand on a donc des oscillations de plus en plus serrées sur [O, l], et comme f varie régulièrement, la fonction x -+ f(x) cos(2rrtx) va aussi osciller très rapidement. Quelle est la limite quand t tend vers +oo de l'intégrale J� f(x) cos(2rrtx) dx ? Justifier le résultat à l'aide d'une intégration par parties.

Plus généralement, on peut utiliser des intégrations par parties successives pour obtenir un développement asymptotique quand t tend vers +oo de fonctions définies par des intégrales, par exemple :

a) la fonction t -+ f0+00 cos(2rrtx) dx ;

b) la fonction f : x -+ J;+oo e-x2/2 dx qui, par un changement de variable, peut s'écrire sous la forme f1+00 e-t2u g(u) du.

2. a) Déterminer les racines dans C du polynôme X2n - 1 . En déduire que pour tout x > 0 et # 1, on a b) En déduire 2n 1 n-1 _k � = fi (x2 - 2x cos _..!!._ + 1). X - 1 _k=l n

n

-l + 1). k=I

c) Donner une formule explicite en fonction de x avec x ;f 1 pour J(x)=

fo

" 1og(x2 - 2x cos t + l) dt.

EXERCICES

3. a) En intégrant par parties J: 1 dt calculer {�� (l dt. b) Soit

f(x) =

Arc tan tx dt. t (l + t2) Calculer f'(x) pour x =/. l et f'(l). En déduire f.

4. Soit f une fonction continue sur [O, l]. Déterminer lim ^{f(x) dx.}

e--+O X

81

S. Soit f une fonction continue sur JR, périodique de période T et soit M sa moyenne sur une période, M = + J� f(x) dx. On va essayer d'étudier la nature de l'intégrale impropre J1+00 dx.

En intégrant par parties, on obtient

f(u) du = F(x) - F(l) + F(u) du

U X u2

où F est la primitive de f nulle en O.

La nature de l'intégrale impropre repose donc sur le comportement à l'infini de F. Il y a, en fait, deux possibilités :

a) si M = 0 la fonction F est périodique de période T b) si M =/. 0 on a F(x) ,...., Mx quand x --+ +oo

(pour vérifier ce deuxième point, on peut écrire x sous la forme x = kT + y avec 0 :::;: y < T et utiliser la périodicité de f).

Quelle est la nature de l'intégrale impropre J1+00 dx ?

Appliquer ceci à J1+00 dx et J1+00 _{dx. Qu'en est-il de ces deux inté­}

grales si on remplace la borne 1 par 0 ?

6. Intégrales de Frullani. Soit f la fonction définie sur [O, +oo[ par

Loo

e-xt _ e-at f(x) = 0 t dt. Calculer f'(x). En déduire f.

7. La « méthode des moments » utilisée pour exprimer la somme d'une série entière

L

n;;;:o Cn Zn consiste à trouver des fonctions f et g définies sur un intervalle 1 telle que, pour tout entier n � 0, on ait

82 CHAPITRE 1. L'INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES

Cette méthode permet d'exprimer pour certaines valeurs de

z,

la somme L:;t�

cnzn

sous forme d'une intégrale. Appliquer et justifier cette méthode sur des exemples, en voici quelques uns :

a)

Cn = f(x) = x, g(x) =

1 , 1

=

[O, 1] ;

b)

f(x) = -e-x, g(x) = e-x,

1 = [0,.+oo[ ;

1

- 2 2

c) Cn =

.Jn+ï'

f(x) = e x , g(x) =

,.fo' 1

=

[O, +oo[.

8. Si on dérive directement sous le signe J la fonction

f : t

� J!�

e-<x+it>2/z

dx, on obtient

f'(t) = -i L:oo (x

+

it)e-<x+it)2/2

dx

= -i _A-+oo

lim [

-e-<x+it)2tz

]

A _-A

= 0

ce qui montrerait que

f

est constante et est donc égale à

f

(0) justifier ce calcul ?

9.

Une formule d'Euler.

.J2if. Peut-on

Cette jolie formule peut être prouvée en utilisant uniquement le développement en série entière du logarithme

xn

- log(l

- x) =

L: - . _n

n�l

Soit 0 <

x

< 1. En multipliant les deux termes de cette égalité par (1 +

x

+

x2

+ · · ·

)

,

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