La méthode d'intégration par extrapolation de Richardson-Romberg n'uti­ lise que l'existence du développement asymptotique, sans faire intervenir les

valeurs des coefficients de ce développement. En fait, la méthode consiste à éliminer ces coefficients.

Pour alléger, on écrit Th au lieu de

Th(g)

et Io au lieu de l:. Supposons, en posant

h

= qu'on ait

Th = Io + a2h2 + a4h4 + · · · + a2ph2P + O

(h

2P+2

)

On a alors

Th/2 = Io + a2 ₄

h

2 + a4 ₁₆

h

4 + . . . + a2p h2p + _2P O

(h

2P+2

)

La quantité T� = possède alors un développement limité de la forme

c'est-à-dire sans terme en h2. Si on prend T� comme valeur approchée de

I0 = l:

g(x) dx,

l'erreur commise sera un O

(h

4

)

, alors qu'elle est en O(h2) avec la méthode des trapèzes.

On peut continuer le processus en définissant

I - T� � = 15 T'." _ 64T�12 -� h - ₆₃ 41T(l-1) _ T(l-1) T<I> _{h -}_ h/2 ^h 41 _ 1

Le premier terme non constant du développement asymptotique de T�>, c'est-à-dire la partie principale de l'erreur commise en prenant T�> comme valeur approchée de l'intégrale, sera en h21+2.

70 CHAPITRE I. L'INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES

valeur approchée de l'intégrale. Toutefois, il est déconseillé de prendre l trop grand, à cause de l'accumulation des erreurs d'arrondi dans les calculs, et aussi parce que la dérivée d'ordre 2p de g qui intervient dans la majoration du reste peut croître avec p d'une façon extrêmement rapide.

On peut disposer les calculs à effectuer de la façon suivante :

Th

\.i

Th/2 -+ T�

\.i \.i

Th/4 -+ T_�12 -+ T'� \.i \.i \.i

T h/8 -+ h/4 -+ h/2 -+ h T1 T" T111

\.i \.i \.i \.i

T h/16 -+ h/8 -+ h/4 -+ h/2 -+ h T1 T" T111 T(4)

On obtient par exemple, pour le calcul de J: dx, _avec h = 1/2, les résultats suivants (les calculs sont faits avec 20 chiffres significatifs et affichés avec 17) : 3.1 3.I3117647058824 3.14159250245871 3.13898849449109 3.14159265122482 3.14159265370804 3.14094161204139 3.14159265355284 3.14159265359164 3.14159265358979 3.14142989317497 3.14159265358922 3.14159265358982 3.14159265358979 3.14159265358979

La méthode porte le nom d'intégration par extrapolation parce qu'il s'agit d'essayer d'extrapoler la valeur exacte T0 = 10 à partir de la donnée d'un petit nombre de valeurs : Th, Th;2, Th;4, Th;8, Th/l6 _{dans l'exemple ci-dessus.}

Si on s'était contenté d'appliquer « bêtement » la méthode du trapèze avec

h = 1/21 et l grand, il aurait fallu pour avoir une précision garantie équi­ valente (on obtient une majoration de l'erreur dans la méthode du trapèze en prenant m = 1 dans la formule avec reste en h2mR2m donné plus haut) prendre l = 24, c'est-à-dire commencer par calculer plus de seize milliards de valeurs de g au lieu de 33.

1. 7.3. Développement asymptotique des sommes partielles d'une série

La formule d'Euler-MacLaurin permet de donner une expression des sommes partielles d'une série. En effet on peut la réécrire sous la forme

f(p) + f(p + 1) + . . . + f(q

-

1) + f(q)

=

f(x)dx + f(p) + f(q) +

_{2 k=2 k.}

I.7. LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN 71

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, la formule précédente, appliquée avec p = 1 et q = n donne la formule ci-dessous (formule des sommes partielles).

La formule des sommes partielles. Soient n E N, n > 1 et soit f une fonction indéfiniment dérivable sur [1, +oo[ on a

f(l) + . . . + f(n) =

i

n f(x) dx + f(n) +

�

[ak-1 f]�

+ (-1r+I bm(x) am f(x) dx . _m!

La dernière intégrale dans cette formule n'a aucune raison de tendre vers 0 lorsque n _{tend vers} +oo. Supposons qu'il existe _{M �} 1 tel que pour tout m � M on ait

am j(x) = _quand X ---+ +oo .

Dans ce cas l'intégrale f1+00 ^{am f(x)} dx est convergente et on peut écrire f(l) + . . . + f(n) = f(x) dx + f(n) +

t

(-l)kBk ak-1 f(n) 2 k=2 ^k! + f(l) ₂

-t

(-l)kBk ak-1 f(l) + (-1r+1 _k! ^{bm(x) am f(x) dx} _m! k=2 Le terme + (-1r ^{bm(x) am f(x) dx .} _m! Rm(n)

=

(-1r ^{bm(x) am f(x) dx} _m!

est un reste intégral qui tend vers 0 quand n ---+ +oo, car on a pour n

suffisamment grand Le terme

1

+00 1 IRm(n)I = Cte _n 2 dx . X Cm = f(l) - (-l)kBk ak-1 f(l) + (-1r+1 bm(x) am f(x) dx 2 k=2 k! m!

ne dépend pas de n. On va voir que pour m � M il ne dépend pas non plus de m.

72 CHAPITRE 1. L'INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES

En effet on a

l

+oo bm(X) am j(x) dx =

�

bm(X) am j(x) dx,

1 ^m! _k=I ^m!

et en intégrant par parties

+oo

1

k+I b ( )

L �amf(x) dx

k=I k ^m.

Donc

+oo b ( ) k+I +oo

1

k+I b ( )

=

:L[

m+l X am f(x)

]

-L m+I X am+I f(x) dx k=I (m + 1)! k k=I k (m + 1)!

+oo

= L Bm+I (am f(k _{(m + 1)! + 1) - am f(k))}

k=I _-

l

+oo b ( ) _{m+I X am+I f(x) dx} 1 (m + 1)!

=- Bm+I

(m + 1)! 1 (m + 1)!

Conclusion : développement de /(1) + · · · + f(n). Soient n E N , n > 1 et soit f une fonction indéfiniment dérivable sur [1, +oo[ pour laquelle il existe M � 1 tel que pour tout m � M on ait

am f(x) = quand x -+ +oo Alors on a pour m � M

1.7. LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN 73

où Tm(n) est un terme dépendant de n :

C est une constante (indépendante de m et n)

C = f(l) - ^(-ltBk ak-1 f(l) + (-1r+1

f

+oo bm(x) am f(x) dx

2 k=2 k! 1 m!

et Rm(n) tend vers 0 quand n ---+ +oo.

Lorsque les quantités K J(t) dt, J<x), af(x), a2 J<x), . . . , am J<x), . . . sont infiniment petites chacune devant la précédente quand x tend vers l'infini, on déduit de la formule précédente un développement asymptotique de /(1) + · · · + f(n) _pour n _{tendant vers l'infini.}

C'est le cas en particulier quand f (x) est de la forme xa ou xa (log x )/J , où quand f _{est une fraction rationnelle ou un polynôme. Ce n'est absolument}

pas le cas pour des fonctions comme f(x) = ex ou f(x) = sin x.

Pour f(x) = x1l2, _{par exemple, l'expression} Tm(n) _{s'écrit comme une}

somme de puissances décroissantes de n, et la constante C vient s'intercaler entre les puissances négatives et les puissances positives : avec m = _{5 on}

montre d'abord que

IRs(n)I = Cte

ll

+oo bs(x)a5 f(x) dx

l

= Cte

ll

+oo b5(x)x-9l2 dx

l

= O(n-912).

Plutôt que de majorer brutalement l'intégrale en observant que b5 est bornée, ce qui aurait conduit à un majorant en n-112, _{on a utilisé le lemme d'Abel}

en observant que le fait que la fonction b5 est périodique et d'intégrale nulle sur sa période entraîne que les intégrales J: b5(x) dx _{sont majorées par une}

constante. En calculant les différents termes de T5(n), on obtient finalement

.JI + h + · · · + .Jn 2 1 1 1 = -n3/2 ₃ + -n1/2 ₂ + C + -n-1/2 ₂₄ _ --₁₉₂₀ n-s/2 + O(n-9/2). Avec f(x) = 1/x2 on obtient 1 1 l + - + · · · + -22 n2

74 CHAPITRE 1. L'INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES

Dans ce cas, la constante C s'ajoute à la valeur limite de f1n pour former le terme constant du développement :

1 1

l + - + · · · + -_{22 n2}

= 1 + c - .!. + _{n 2n2 6n3 30n5 42n7} + +

o(2-) .

_n9

Le développement de Stirling. Reprenons la formule ci-dessus avec f(x) =

logx. On a M = 1 et on obtient pour tout m ::::= 2 log 1 + · · · + _{log n} = logn

L

m (-llBk (-l)k-2(k -2)! n log n - n + 1 + -- + _{2 k ! n -k 1 + C} k=2 1

1

+00 1 - - bm(x)-_{dx .} m n xm

L'expression de C donnée ci-dessus se traduit ici par

m Bk 1

f

+oo 1

C = -

L

k(k ) + - bm(x)- dx,

k =2 - 1 m 1 xm

ce qui permet un calcul numérique de C, mais on va voir que C est liée à Jr

par une formule simple.

On peut réécrire ce qui précède sous la forme

1 m B 1

log(n!) = (n + 2) logn - n + (1 + C) + _k=2

L

k(k l} nk-I + Rm(n} ,

où ₁

1

+00 1

Rm(n) = -- bm(x)-_{dx ;}

m n xm

par le lemme d'Abel, on voit que

On a donc un développement asymptotique en puissances de � de log(n !) -[(n + �) logn - n].

En passant à l'exponentielle, on obtient le développement de Stirling m

1 _ n+! -n Bk 1 ( })

n. - n e Kexp k=2 - l} nk-I + Rm n , où K = ec+i. Comme on a vu au paragraphe précédent que

1.7. LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN 75

on en déduit que la constante K est égale à ,J2ii.

Ce qui permet de déterminer la constante C : C = log( .Jhf) -1 ,

résultat qui n'était nullement évident sur les expressions de C données précé­ demment.

1. 7.4. La constante de Ramanujan d'une série

On a vu ci-dessus que la constante C ne dépendait pas de

m

pour

m

� M. On a en fait

La constante C s'appelle la constante de Ramanujan _{de la série Ln�I} f(n),

on voit qu'elle ne dépend pas seulement des f(n) (n = _{1, 2,} ._.. _{), mais en}

fait de la donnée de la fonction f, on la notera donc Cf (ce fait peut sembler troublant sauf si on travaille avec une classe de fonctions f _{pour lesquelles}

la donnée des f(l), f (2), f (3), .. . détermine f, c'est ce que supposait im­ plicitement Ramanujan).

On ne possède pas de formule générale très simple donnant Cf autre que Cf = f(l) ₂

-t

(-l)kBk

_k!

ak-1 f(l) + (-1r+1

1

₁ +00 bm(x) am f(x) dx .

_m!

k=2

Remarque. On voit que si la série L::� f(n) est convergente, c'est-à-dire si limn-++oo S(n) = L::� f(n) existe, la constante de Ramanujan de cette série, n'est pas, en général, égale à sa somme : on a

Pour f(x) = l/xa,a > l, on a par exemple +oo 1

l

+oo dx

C1 =

L

na - _{xa .}

n=I 1

Par contre la constante de Ramanujan d'une série peut exister alors que la série est divergente.

Exemple. La série L:� f(n), où f(x) = �. est divergente. Comme on a

CHAPITRE I. L'INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES

les hypothèses ci-dessus sont satisfaites avec M = 1, et on a

1

i

n 1

C1 = _n->-+oo lim (1 + · · · + -_n - ₁ - dx_X )

= _n->-+oo lim (1 + · · · + .!. _n - logn). _.

La constante de Ramanujan de la série I:�1 � n'est autre que la

constante d'Euler définie par

y = _n->-+oo lim (1 + � _{2 3} + � + · · · + .!_ _n - logn).

D'après ce qu'on a montré au sujet du développement de Stirling, on voit que la constante de Ramanujan de la série r::,1 log n est égale à log( 5}-1.

On voit aussi que la constante de Ramanujan de la série I:�1 nP où p E N

est _{C = 2 -}1 p+ I

L

(-l}kBk _{k! p(p - l} . . .}

(

p-k + 2} . k=2

Appendice : continuité uniforme et existence de l'intégrale

Définition. Continuité uniforme. On dit qu'une fonction

f

définie sur un intervalle I est uniformément continue sur cet intervalle si pour tout e > 0 il existe un réel h tel que

x, x'

E 1 et

lx -x'I

� h =>

lf(x) - f(x')I

� e.

Il revient au même de dire que

sup

lf(x) - f(x')I

x,x'Ei,jx-x'l�h

tend vers zéro quand h tend vers zéro.

La différence avec la continuité en tout point de 1 est que pour un e donné,

« le même h convient pour tous les

x

» .

La fonction

x

2, par exemple, est continue en tout point de IR, mais n'est pas uniformément continue.

Une autre façon d'exprimer la différence entre continuité uniforme et continuité en tout point est de dire (en prenant I = lR pour éviter les pro­ blèmes aux extrémités) que :

- la continuité de

f

en tout point de lR équivaut à la convergence simple de

f(x

+ h) vers

f(x)

quand h tend vers zéro ;

- la continuité uniforme de

f

sur lR équivaut à la convergence uniforme de

f(x

+ h) vers

f(x)

quand h tend vers zéro.

APPENDICE : CONTINUITÉ UNIFORME ET EXISTENCE DE L'INTÉGRALE 77

Théorème de Heine.

Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est

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