Propriété. L'ensemble des fonctions étagées est stable par addition et multipli­ cation

Démonstration.

Soient

e

et

e'

deux fonctions étagées. Prenons une partition A;, _{sont constantes sur A;. On a alors une écriture de}

i

= 1,

. .

. , n, de lR telle que pour tout

i

l'ensemble A; soit tel que

_e

_et

_e'

_{basée sur les mêmes}

e

et

e'

fonctions indicatrices On en déduit que

e

= L:_finie

e;XA;

et

e'

= L:_finie

e;XA; .

e

+

e'

= L_finie

(e;

+

e;>xA;

et

ee'

= L:_finie

e;e;XA; ,

3.3. LES FONCTIONS MESURABLES 173

ce qui prouve que e + e' et ee' sont étagées. 0

Théorème d'approximation des fonctions mesurables. Toute fonction mesu­

rable positive est limite simple d'une suite croissante de fonctions étagées positives.

Toute fonction mesurable est limite simple d'une suite de fonctions étagées. Démonstration. Soit f mesurable positive et soit (en) la suite de fonctions définie par

si � f(x) < où k E {O, 1, 2, . . . , n2n - l} si f(x) � n

Fig. 52. La fonction étagée en pour f(x) = 1/x

Il est clair que les en sont des fonctions étagées car :

k en(x) = L 2n XAk

k

_où

_Ak

_{= x}

{

₁ -2n k � f(x) < k + I--2n

}

. Montrons que pour tout x on a en+1 (x) � en(x).

Si x est tel que f(x) < n , on a pour un certain k

k k + I

- :< f(x) <

--2n -...: 2n ,

donc en(x) = ; comme f(x) < n + 1 on a aussi

2k 2k + 2

2n+1 � f(x) < 2n+1 ,

174 CHAPITRE 3. L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

l k

en+1 (X) = 2n+I ::;:: 2n = en(X) . Si x est tel que f(x) ::;:: n, deux cas peuvent se présenter :

a) n � f(x) < n + l, dans ce cas en(x) = O et comme en+1 (x) ::;:: O on a bien en+1 (x) ::;:: en (x).

b) f(x) ::=:: n + l, dans ce cas en(x) = O et en+1 (x) = O.

Il reste à montrer que la suite (en) converge simplement vers f, c'est-à­ dire que pour tout x on a en(x) � f(x) quand n � +oo.

Or pour tout x il existe N tel que f(x) � N. Pour n > N on a f(x) < n,

et ceci implique en(x) = kn/2n où kn est l'entier tel que kn

J(

) kn + 1

- < _2n ...._ X < ---2n . Donc pour tout n > N on a _{0 � f(x) - en(x) < - ,} 1

2n ce qui prouve que en(x) � f(x) quand n � +oo.

Pour la deuxième partie du théorème, il suffit de décomposer f en la différence des deux fonctions mesurables positives f = !+ - f-· D Conséquence. Le fait que l'ensemble des fonctions étagées est stable par addition et multiplication implique, par passage à la limite, que l'ensemble des fonctions mesurables est stable par addition et multiplication.

Définition. Soit A une partie mesurable de JR. Une fonction mesurable sur

A est une fonction réelle définie sur A telle que pour tout intervalle I de lR l'ensemble 1-1 (I) (qui est une partie de A) est mesurable.

On appelle fonction étagée sur A une combinaison linéaire de fonctions indicatrices de parties mesurables de lR contenues dans A.

Toutes les propriétés vues ci-dessus des fonctions mesurables et des fonc­ tions étagées sur lR s'étendent aux fonctions mesurables et étagées sur A.

3.4. Intégration des fonctions mesurables 3.4.1. Intégration des fonctions étagées positives

Définition. Soit A une partie mesurable de JR. Soit e une fonction étagée positive sur A :

finie

où les A; , i = 1, _{2, . . .} , n, _{forment une partition de A.}

On définit l'intégrale sur A de cette fonction par

1

e dx =

L:

e;À(A;)

3.4. INTÉGRATION DES FONCTIONS MESURABLES 175

(on peut vérifier que JA e

dx

ne dépend pas de l'écriture choisie pour e).

Cette définition s'applique aussi, en prenant la restriction à A, aux fonc­ tions étagées définies sur un ensemble mesurable contenant A.

Ceci définit un élément de [O, +oo]. Le fait de prendre e _{positive garantit}

que dans la somme qui définit JA e dÀ, on ne peut pas se trouver confronté à une expression du type +oo - oo, par contre on peut très bien avoir e; = 0 et À(A;) = +oo, dans ce cas on pose :

0 · (+oo) = O.

Ceci traduit simplement le fait que l'on impose que

i

O ·

xa dx

= 0 même si À(B) = +oo

(ce n'est pas contraire au fait que dans les calculs de limite le produit O· ( +oo) soit ce qu'on appelle une forme indéterminée, ce qui traduit simplement le fait que si an --+ 0 et bn --+ +oo on ne peut a priori rien dire sur la limite éventuelle de anbn).

Exemple.

l XQ

d).. = 1 · À(Q) + 0 · À(IR \ Q) = O .

Remarque. La notation JA indique qu'on a affaire à une intégrale de Le­ besgue (voir plus loin). En particulier, les quantités

f(x) dx _et

l

b f(x) dx

a

(pour f continue, par exemple) sont définies de deux façons tout à fait différentes, et la preuve de leur égalité demande un certain travail.

Par contre, il indifférent d'écrire JA f

dx

ou JA f(x)

dx.

Propriétés de l'intégrale des fonctions étagées.

(i) Additivité.

i

(e ₊ e')

dx

=

i

e

dx

+

i

e'

dx

i

ce

dx

= c

i

e

dx

si c est une constante positive

(ii) Positivité.

i

e(x)

dx :::::; i

e'(x) dx si e :::::; e'.

(iii) Pour tout ensemble mesurable B C A on a

CHAPITRE 3· L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

(iv) Si (C

n

) est une suite croissante d'ensembles mesurables telle que

Un Cn

=

C, alors pour toute fonction étagée e on a Iim J

Cn

e

dx

= J c e

dx.

(Comme e = Lfinie ei XA; , _{d'après la première propriété, il suffit de}

montrer cette propriété pour des fonctions de la forme XA; et il s'agit de prouver que lim À(Aï n Cn) = À(A; n C), ce qui n'est autre qu'une des propriétés de la mesure de Lebesgue.)

(v) Si A est un ensemble mesurable tel que À(A) = 0 alors pour toute fonction étagée positive e on a J A e dx =

O.

(En effet si A _{est de mesure nulle alors} À(A; n A) = _{0 pour tout} i

.

)

3.4.2. Intégration des/onctions mesurables positives

Définition provisoire. Soit f une fonction mesurable positive définie sur un ensemble mesurable A. _{On définit l'intégrale de} f _par

f

dx

= lim e

n dx

(éventuellement

+

OO) ,

où on prend pour suite (e

n

) la suite construite dans le théorème d'approxi­ mation, on a donc :

1 k { 1 k k + I }

f

dx

= lim - À X E A - � f(x) < -- .

A n�+oo

_O�k<n2n 2n 2n 2n

Ceci définit l'intégrale de f comme élément de

[O, +oo].

Si

L

f

dx

<

+oo

on dit que la fonction f est intégrable sur A.

Exemple. Si l'on considère f : x --+ 1/x _sur A =

]O, +oo[,

par le théorème d'approximation, on a et donc

n2n-I k

f = _n�+oo lim

-x1 2n 2n1 _2n

_{k-Fï • T}

k=l

+oo 1 =

L k + I

k=l

=

+oo .

3.4. INTÉGRATION DES FONCTIONS MESURABLES 177

La fonction x -r 1 / x n'est donc pas intégrable sur sur ]O, +oo[.

L'inconvénient de la définition précédente est qu'elle oblige à revenir à une suite particulière de fonctions étagées qui tend vers f, ce qui peut se révéler gênant dans la démonstration de certains théorèmes. On va donc donner une définition équivalente, mais plus agréable car elle ne fait pas référence à la suite (en) _{précédente.}

Définition. Soit f une fonction mesurable positive définie sur un ensemble mesurable A. On définit l'intégrale (de Lebesgue) de f _par

i

f

dx

= sup

{i

e

dx 1

e est étagée et 0 ::::; e ::::; f

}

.

Ceci définit l'intégrale de f comme élément de [O, +oo]. Si

i

f

dx

< +oo on dit que la fonction f est intégrable sur A.

Adoptons cette deuxième définition, nous allons l'utiliser pour démontrer des propriétés de l'intégrale qui montreront l'équivalence avec la première définition.

Remarque. Si f est mesurable positive et si l'ensemble {x E A 1 f(x) > O} est de mesure nulle, alors JA f dx = O.

En effet on a dans ce cas JA e

dx

= 0 pour toute fonction étagée e _telle

que e ::::; f, car si on écrit _n

e = LCiXAi , _i=l

où les A; forment une partition de A, on voit que ci > 0 entraîne À(Ai) ::::; À({x E A 1 f(x) > O}) =O.

Propriété de positivité. Si f _::::; g sur _A alors JA f

dx

::::; JA g dx.

En effet, si une fonction étagée positive e est ::::; f elle est aussi ::::; g et on a l'inclusion

{[

e

dx 1

e étagée 0 ::::; e ::::; f

}

C

{[

e dx

1

e étagée 0 ::::; e ::::; g

}

.

On obtient l'inégalité voulue en prenant le sup de chacun de ces deux sous­ ensembles de lR.

Conséquence. Si f est mesurable positive et f ::::; g sur A, avec g intégrable sur A, alors f est intégrable sur A

Si B _{est un ensemble mesurable tel que} B C A et si f _{(mesurable positive)}

CHAPITRE 3. L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

Exemple. Une fonction continue positive f sur un intervalle borné [a, b]

est intégrable, car majorée par (sup[a,bJ If l)X[a,bJ· Plus généralement, une fonction mesurable positive bornée sur [a, b] est intégrable.

Théorème de la convergence monotone. Si (fn) est une suite croissante de fonctions mesurables positives sur

A

qui converge simplement vers f sur A,

alors

f dx = _lim f

n

dx (éventuellement +oo), cette limite étant finie si et seulement si f est intégrable sur A

Démonstration. D'après la propriété de positivité, la suite

(jA

fn dx) est croissante et majorée par

JA

f dx (éventuellement +oo). On a donc

lim

fn dx �

f dx .

Pour démontrer que

limn-+oo JA

fn dx �

JA

f dx, il suffit de montrer que pour toute fonction étagée e � f, on a

limn-+oo JA

fn dx �

JA

e dx. En fait, il suffit de montrer que pour tout 0 < À < 1, _{on a}

lim

i

fn dx � À

i

e dx

(on passe ensuite à la limite en faisant À -+ 1).

Soit 0 < À < 1, _comme fn(x) _-+ f(x), _{on peut dire que pour tout} x _il

existe

n

tel que fn(x) � Àe(x) .

Si on pose

An

= {x E

A

1 fn(x) � Àe(x)}, _{on vérifie que la suite}

(An)

est croissante et que _{D'après la définition de}

A

=

Un An. _An,

_{on a}

fn dx � fn dx � Àe dx = _À e dx .

La suite

(An)

étant croissante, on a par passage à la limite

lim fn dx � À lim e dx = À e dx . D

Attention ! Le théorème de la convergence monotone ne peut s'appliquer si la suite (fn) n'est pas monotone, comme le montre par exemple la suite

fn =

n2

X[o,kJ sur [O, 1].

Propriété de « linéarité » . On a

3.4. INTÉGRATION DES FONCTIONS MESURABLES 179

i

cf dx =c

i

f dx sic est une constante positive.

Il ne s'agit pas à proprement parler de linéarité puisque c ;::::: O. Ces propriétés sont des conséquences faciles du théorème de la convergence monotone et des propriétés des fonctions étagées.

Théorème de permutation entre L et J pour les fonctions positives. Soit

Ln Un une série de fonctions mesurables positives qui converge simplement sur A, on a

1

L un dX = L

i

Un dx .

A n n A

En particulier la fonction _{L:� Un} est intégrable si et seulement si la série numérique Ln JA Un dx est convergente et dans ce cas, on a

+oo +oo

1

_{A n=O} L un dx = L_{n=O A}

1

Un dx .

Démonstration. On applique le théorème de la convergence monotone à la

suite des sommes partielles fn = L�=o Uk. 0

Remarque. L'avantage de ce théorème de permutation sur celui du chapitre 1

est que l'on n'a plus à se soucier de la continuité de la fonction L Un.

Exemple. Considérons la fonction f définie sur ] _{0, 1] par f} ( x) = [ 1 x] :

y

1/6 1/5 1/4 /3 1/2 X

180 CHAPITRE 3. L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

Pour tout entier

n

�

1,

on a

f(x) = .!.

n n

si x E +

1 n

On peut donc écrire f = Ln� I Un où

1

Un(x) = -

n

x1 ii'"=Fl"n 1 .i1(x)

On voit que la fonction f a une infinité de points de discontinuité qui viennent s'accumuler en O. Par le théorème précédent on a

Conséquence. Si f est mesurable positive et si on a A = LJ An où les An

sont mesurables et deux à deux disjoints, alors fXA = Ln fXAn et donc

1

_A f

dx

=

"Lf

f

dx .

n An

Remarque. La définition provisoire de l'intégrale est bien compatible avec la définition « définitive », car la suite de fonctions étagées (en) de la définition provisoire est une suite croissante de fonctions mesurables, qui converge simplement vers f. D'après le théorème de la convergence monotone, on constate que l'on a bien

3.4.3. Intégration des fonctions intégrables quelconques

Dans ce paragraphe les fonctions sont définies sur un ensemble A mesu­ rable et à valeurs dans lR ou C.

Définition. Soit f mesurable à valeurs dans IR. On décompose f en diffé­ rence de deux fonctions mesurables positives en posant !+ = sup(f, 0) et

f- = -inf(O, f). On a

f = _{!+ - f­}

lfl = !+ + f- ·

On dit que f est intégrable sur A si !+ et f-le sont, c'est-à-dire si

3.4. INTÉGRATION DES FONCTIONS MESURABLES 181

ce qui équivaut à la seule condition

i

lfl dx < +oo .

Dans ce cas on pose

Si f est à valeurs dans <C, on dit que f est mesurable si les fonctions Re f et lm f sont mesurables, et on dit que f est intégrable sur A si

i

lfldx < +oo .

Dans ce cas on pose

i

f dx =

i

Re f dx + i

i

lm f dx .

Si on dit que f est intégrable sur A sans plus de précision, il est sous-entendu que f est mesurable, à valeurs dans <C.

Propriétés immédiates.

(i) Linéarité. Si f et g sont intégrables, alors pour tout c réel ou complexe, la fonction f + cg l'est aussi, et on a

i

(f + cg) _{dx =}

i

f dx + c

i

g dx .

(ii) Positivité. Si f et g sont à valeurs réelles, intégrables sur A, et si f :::::; g, alors on a

(iii) Si A est de mesure nulle, alors JA f dx = 0 pour toute fonction mesu­ rable _f. En particulier si _f est intégrable sur [a, b], on a

(iv) Si f est mesurable et s'il existe g intégrable sur A telle que _1f1 :::::; g, alors

f est intégrable sur A

(v) On a l'équivalence

f est intégrable sur A {:::==} J f J est intégrable sur A et on a

182 CHAPITRE 3. L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

(vi) Si f est intégrable sur A alors f est intégrable sur B pour tout ensemble mesurable B C A

(vii) Si A et B sont deux parties mesurables disjointes et si f est intégrable sur A et B, alors f est intégrable sur A U B et on a

f dx = f dx + f dx ;

en particulier si a :::; c :::; b on a

f dx = f dx + f dx .

3.4.4. Presque partout

On peut modifier une fonction f sur un sous-ensemble N C A de mesure nulle, cela ne modifie pas l'intégrale de f. En effet, comme N est de mesure nulle on a

f dx = f dx + f dx = f dx .

Si f et g sont deux fonctions définies sur A telles que f = g sur A \N avec N de mesure nulle, alors

Définition. On dit que deux fonctions f et g _sont égales presque partout

sur A si

{x E A 1 f(x) =f g(x)} est de mesure nulle.

Plus généralement, on dit qu'une propriété P(x) concernant les x E A est

vraie presque partout sur A si l'ensemble des points où elle est fausse est de mesure nulle.

On voit donc que pour une fonction donnée f, le fait d'être intégrable sur A et la valeur de son intégrale ne dépendent de f qu'à modification près de f sur un ensemble de mesure nulle.

En fait il n'est même pas nécessaire que f soit partout définie sur A pour définir son intégrale, il suffit que f soit définie presque partout sur A, c'est-à-dire sur A \N avec N de mesure nulle. On étend dans ce cas la définition de l'intégrabilité et de l'intégrale sur A en posant

3.4. INTÉGRATION DES FONCTIONS MESURABLES

Un lemme utile. Si f et g sont deux fonctions continues en un point x0, presque partout égales sur un intervalle contenant x0, alors f (x0) = g(x0). Démonstration. En effet f

=

g sur CN, où N est de mesure nulle. Tout intervalle ouvert non vide de lR rencontre CN (sinon A ne serait pas de mesure nulle), donc CN est dense et la continuité de f et g en x0 implique

f(xo) = g(xo). D

3.4.5. La relation intégrale � primitive

La relation entre intégrale et primitive n'est pas aussi simple que dans le cadre des fonctions continues. On va donner sans démonstration les résultats difficiles qui précisent cette relation.

1) intégrale -+-primitive

Soit f une fonction intégrable sur un intervalle 1 = [a, b] et soit x0 e

[a, b]. On a vu dans le chapitre 1 que si f est continue la primitive de f nulle en x0 _{est la fonction}

F(x)

=lx

_:x:o f(u) du,

qui peut aussi s'écrire

F(x)

= 1-

Ji:x:,:x:oJ f(u) du

Ji:x:o,:x:J f(u) du ^{si x :::: xo} si x � xo .

Avec cette notation la fonction F est aussi définie dans le cas où f est seulement intégrable (au sens de Lebesgue), mais contrairement au cas où f

est continue sur I, on ne peut plus affirmer que F _{est dérivable en tout point}

de 1. On peut démontrer le résultat suivant :

Théorème. La fonction F est continue, dérivable presque partout sur 1 et on a F'(x)

=

f(x) pour presque tout x e l

Exemple. Considérons f = XQ · Pour tout x e lR on a

F(x) =

l

Jio,:x:J f(u) du = 0

Jix,o] f(u) du = 0

si x � 0 si x :::: O .

Comme F est la fonction nulle, elle est dérivable sur lR et F' = O. On a donc

F' =F XQ • mais on a F'

=

XQ presque partout.

2) primitive -+-intégrale

On pe�t montrer que si une fonction continue G est dérivable sur [a, b]\D, où D est dénombrable, et si sa dérivée g est intégrable sur [a, b], alors on a bien

CHAPITRE 3. L'INTÉGRALE DE LEBESGUE

Fig. 54. Graphe de G : x --+ x2 sin(l/x2)

Par contre si une fonction G est dérivable sur un intervalle 1, sa dérivée n'est pas nécessairement intégrable sur 1. Prenons la fonction G : x -+

x2 sin(l/x2), elle est dérivable sur [O, 1], sa dérivée est donnée par G'( ) X =

!

2x sin � - � cos � si x X X X f:. 0

0 si x = O .

La fonction G' n'est pas continue en O. Elle n'est pas intégrable sur [O, 1]

(ni sur ]O, 1]) bien que l'intégrale impropre l; G'(x) dx soit convergente. Pour que G' soit intégrable, il est nécessaire (et suffisant) que l'intégrale impropre l; lri'(x)I

dx

soit convergente. On montrera en effet plus loin que si f est continue sur [a, b[, on a

f intégrable sur [a, b[ {:}

lb

lf(x)I

dx

convergente,

où la seconde intégrale est impropre en b. Vérifions que l'intégrale impropre (en 0)

11

₀

1

2x sin - - - cos -_x2 1 _X 2 _x2 1

l

dx

est divergente. On a

11 1

2x sin - - - cos 1 2

-1

1 dx "?:-

11 1

- cos -2 1

1 dx

-

11 l

2x sin -1

1 dx .

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