On appelle cette fonction la Comme primitive d'une fonction analytique sur C \ ]-oo, O], la fonction détermination principale du logarithme

log est analytique sur C \]-oo, O]. Elle subit un saut de

2i rr

lorsqu'on traverse la demi-droite ]-oo, O] :

lim log(x +

is)

- log(x -

is)

=

2irr .

e--+O _e>O

Remarque.

On pose habituellement Arg(z) =

rr

pour z E ]-oo, O[, la fonc­ tion z --+ log(z) = ln lzl +

i

Arg(z) est alors définie sur C\{O} et vérifie

e10g(z)

= z pour tout z E C\ {O}. Cette fonction est discontinue sur ]-oo, O[, elle n'est donc pas analytique sur C\{O}.

Les déterminations du logarithme. Soit U un ouvert connexe, on appelle

détermination du logarithme

dans U toute fonction analytique L sur U telle que pour tout z E U, on a

eL<z>

= z. La fonction L est nécessairement une primitive de z --+ 1 / z dans U car

1 = (

eL(z)

)

'

=

eL(z)

L'(z

)

= zL'(z). Les fonctions continues Re L et lm L vérifient

eReL(z)

= lzl d'où Re L(z) = ln(lzl)

lzleilmL(z)

= z.

On appelle

détermination de l'argument

dans un ouvert connexe U toute fonction continue e sur U telle que pour tout Z E U on ait Z = izle

i

e

(z)

. Deux déterminations de l'argument sur un même ouvert connexe U diffèrent de

2ikrr,

où k E Z.

D'après ce qui précède, toute détermination du logarithme dans U est telle que la fonction z --+ lm L(z) est une détermination de l'argument sur U.

Conclusion. Toute détermination du logarithme dans un ouvert connexe U

s'écrit

124 CHAPITRE 2. INTÉGRALES ET RÉSIDUS

où () est une détermination de l'argument dans U. Inversement toute dé­ termination de l'argument permet de définir, par la formule ci-dessus, une détermination du logarithme.

Exemple. En posant

L(z)

= ln

izl

+

i

A(

z

) pour tout

z

E C \ [O, +oo[ ,

où A est la détermination coprincipale de l'argument, on obtient la

d

é

t

e

r

mi­

nation coprincipale du logarithme.

À partir de là, on voit que L subit un saut de

2i :rc

au passage de la demi-droite [O, +oo[.

Remarques.

1) On voit que deux déterminations du logarithme sur un même ouvert connexe U diffèrent de

2i k:rc

où

k

E Z.

2) Il ne peut exister de détermination du logarithme (et donc de l'argu­ ment) dans un disque épointé D(O, R)\{O}. Il n'en existe donc pas dans C\{O}. En effet, si la fonction

z --+ I/z

avait une primitive F dans D(O, R)\{O}, on aurait pour tout cercle C(O, r) où 0 <

r

< R

Or

�dz

= O .

z

-dz

= -.

ireu

dt =

2i:rc .

1

_C(O,r)

I 12n I .

z

0

re11

Explication géométrique de ces problèmes. Ces problèmes avec le loga­ rithme complexe sont dus à la périodicité dans C de la fonction exponentielle, qu'on ne peut donc inverser que sur une bande a <

Im(z)

< a +

2:rc.

Pour avoir une fonction bijective il faudrait considérer la surface au-dessus de C définie par S =

{(z, t)

E C\{O} x lR 1

z

=

lzlei1}

et supprimer la périodicité

E � s z + 4i.ir z + 2i.ir z Fig. 36.

2.4. PROLONGEMENT ANALYTIQUE ET POINTS SINGULIERS

de l'exponentielle en posant

E : C -+ S

: z --+

(ez, l

m

(

z))

Cette application est bijective et son inverse est E-I : S --+ C

: (z, t) --+ ln lzl + i t

I 25

On peut définir une détermination du logarithme sur un ouvert U de C\{O} lorsque U est la projection par (z, t) --+ z d'une partie V de la surface S et que cette projection est bijective de V sur U et d'inverse continu :

E E-

I

c s

�l

_proj.

îl

u c c

Points de branchement. Le point 0 est un point singulier de la fonction log, ce n'est pas un point singulier isolé. En effet si tel était le cas la fonction log se prolongerait analytiquement au moins sur un disque épointé D(O, R)\{O} (R > 0), ce qui, on l'a vu, n'est pas possible. Toute la demi-droite ]-oo, O[ est constituée de points singuliers non isolés. Le point 0 s'appelle un point de branchement.

Les points de branchement apparaissent aussi lorsqu'on veut définir dans C des fonctions telles que z --+ ,JZ.

Déterminations de la puissance z --+ z8 où s e C. Soit U un ouvert connexe et s un nombre complexe, on appelle détermination de la puissance s dans U une fonction définie par

/(z)

=

esL(z) '

où L est une détermination du logarithme.

On notera z --+

zs

la détermination principale de la puissance s, c'est-à­ dire la fonction définie sur C\ ]-oo, O] par

z --+ z

s

=

eslog(z) .

La fonction z --+ ,JZ est définie sur C\ ]-oo, O] par

z --+

,JZ =

e!Iog(z)

=

e!Onlzl+iArg(z))

=

iziI/2eiArg(z)/2 .

Notons que si -x E ]-oo, O[ et si e > 0, on a lorsque e --+ 0

1 26 CHAPITRE 2. INTÉGRALES ET RÉSIDUS

2.4. La fonction Gamma dans le plan complexe

La formule intégrale

f(z) = e-x xz-I dx

permet de définir f(z) non seulement lorsque z E ]O, +oo[, mais aussi pour z complexe tel que Re(z) > O. En effet, l'intégrale est absolument convergente pour ces valeurs de z, puisque

le-x xz-1 1 = e-x XRe(z)-1 .

Pour montrer que la fonction r ainsi définie est analytique dans le demi-plan Re(z) > 0, on utilise la décomposition

f(z) = e-xxz-l dx +

1

e-xxz-l dx .

[1,+00[

L'intégrale J1+00 e-x xz-i dx est absolument convergente pour tout z E C, et la fonction

est analytique dans tout C.

Pour le prouver on utilise le théorème d'analyticité de Lebesgue. Ses hypothèses sont satisfaites, puisque

- la fonction x -+ e-x xz-l dx est continue sur [1, +oo[ pour tout z E C ; - pour tout x E [1, +oo[, la fonction z -+ e-xxz-I est analytique sur C

(car xz-1 = e<z-l) Iogx) ;

- tout compact K de C est inclus dans un demi-plan {z 1 Re(z) ::::: a} et on a alors pour tout z E K

le-x Xz-l I ::::: e-x Xa-I pour tout X E (1, +oo( .

L'intégrale Jio,I[ e-x xz-i dx n'est pas définie pour tout z dans C, à cause de la non-intégrabilité en 0 de x -+ xz-I lorsque Re(z) < 0, elle est définie pour tout z dans le demi-plan ouvert U = {z 1 Re(z) > O}.

La fonction

fo : z -+ e-xxz-l dx

est analytique dans le demi-plan U.

Pour le prouver on utilise ici encore le théorème d'analyticité de Lebesgue. Ses hypothèses sont satisfaites, puisque

- la fonction x -+ e-x xz-i dx est continue sur ]O, 1 [ pour tout z E U ; - pour tout x E ]O, 1 _{[, la fonction z} -+ e-x xz-I est analytique sur U ; - tout compact K de U est inclus dans un demi-plan {z 1 Re(z) :;::: a}, où

2.4. LA FONCTION GAMMA DANS LE PLAN COMPLEXE 1 27

(car

xRe(z)-l :::;: xa-l

puisque 0 <

x

<

I).

La décomposition

r(z)

=

r

o

(

z

)

+

rl(z)

va nous permettre de pr�longer la fonction

r

en dehors du demi-plan u.

En effet, on a vu que la fonction

r

1 est définie et analytique dans tout C, il reste donc à voir que l'on peut prolonger la fonction ro en dehors de u.

La fonction r0 est donnée dans U par l'intégrale

r

0

(z)

= fio.i[

e-x xz-1dx,

on va voir qu'on peut en donner une écriture sous forme d'une série. En utilisant le développement en série de l'exponentielle on peut écrire pour z E U

e-xxz-1 dx

=

f _{xz-1 dx}

n=O

·

=

f _n=O

_·

xn+z-1 dx .

La permutation entre L�� et Jio,i[ est justifiée par le théorème de permuta­ tion de Lebesgue, que l'on peut appliquer ici, car

=

exXRe(z)-l dx

< +oo .

n=O

·

On obtient donc pour tout z E U

+oo

(-Ir I

r

o

(

z

)

=

n=O

n. z + n

Cette expression permet de prolonger

r

0 hors de U car la série du second membre définit une fonction analytique sur C\{O,

-I,

-2, .

.

. }.

Il suffit pour le voir de montrer cette série converge normalement sur tout compact K de C\{O,

-I,

-2,

. . .

}, ce qui est bien le cas puisque sur K on a pour tout n

lz + n i � a > 0 , où a est un nombre ne dépendant que de K.

Conclusion. La formule intégrale

r(z)

=

e-xxz-1 dx

permet de définir

r

comme fonction analytique dans le demi-plan Re(z) > 0, et on a

1 28 CHAPITRE 2. INTÉGRALES ET RÉSIDUS

Dans cette décomposition, la série définit une fonction analytique sur C\{O, - 1 , -2, . . . } et l'intégrale définit une fonction analytique sur C.

On peut donc prendre la dernière formule comme définition de r comme fonction analytique sur C\{O, - 1 , -2, .. . }.

Remarque.

La formule r(z

+

1)

=

zr(z), que l'on vérifie.pour Re(z) > _{0 en}

intégrant par parties dans l'intégrale qui définit r dans ce demi-plan, s'étend par prolongement analytique à tout z E C\{O, -1 , -2,

.

.

.

}.

Une autre écriture de f(z). La formule intégrale r(z)

= f0+00 e-ttz-i dt

ne peut être valable sur tout C à cause de la divergence en

t =

0 de l'intégrale quand z

=

0 (par exemple). On peut songer à un remède radical : éviter d'intégrer au voisinage de

t =

0 ! Considérons donc l'intégrale

fe(z)

= e-uuz-1 du '

où Ye est le chemin complexe

Fig. 37.

Dans cette intégrale figure

uz-l

que l'on définit par

uz-l = e<z-l)L(u)

où L est la détermination coprincipale du logarithme.

La fonction fe est définie pour tout z dans C, c'est une fonction analytique et par le théorème de Cauchy on peut montrer qu'elle ne dépend pas de e,

on peut donc la noter f. Faisons tendre e vers 0, on voit que si Re(z) > 0 l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 et les intégrales sur les droites tendent vers

-fo+"°e-re(z-l)Iogt dt + 1+"°e-re<z-1)(Iogr+2i:ir) dt =

-r(z)

+ e<z-1)2i:irr(z).

En conclusion, on a pour Re(z) > ₀

f(z)

= (e2i:irz

- l)r(z) . En posant

2.5. CALCULS D'INTÉGRALES

f(z) r(z) = 2inz 1

e -

,

1 29

on a ainsi une nouvelle formule donnant le prolongement analytique de la fonction r.

Le logarithme complexe permet de donner le comportement asympto­ tique de r(z) lorsque z ----* OO dans c. On peut démontrer que la formule de Stirling qui donne le comportement asymptotique de n! = r(n + 1) lorsque l'entier n tend vers +oo, reste valable dans le demi-plan Re(z) > 0 et que l'on a lorsque z --+ oo dans ce demi-plan

r(z) ,....,

.J2rre<z-!)Iogze-z .

En posant z = a + ib (a > 0) on voit que ir(a + ib)I ,....,

Lorsque a --+ +oo et que b reste borné on voit que lr(a + ib)I --+ +oo. Par contre lorsque a reste borné et que b --+ oo on a

1C

-b Arctg(b/a) = -2 lbl + a + 0(1/b2)

et ceci permet de voir que r est exponentiellement décroissante sur les verticales

Le comportement de r à l'infini dans le demi-plan Re(z) ::=:; 0 se déduit de la formule de symétrie

1C

r(z) = _{r(l - z) sm(nz)} . (z E <C\Z).

Cette formule permet de calculer r(z) en fonction de r(l - z), nous la démontrerons au chapitre 8. On en déduit par un petit calcul que la propriété de décroissance exponentielle de r sur les verticales reste valable dans tout le plan.

2.5. Calculs d'intégrales

Le théorème des résidus permet de calculer des intégrales fi f(x) dx où 1

est un intervalle de IR.. En gros, la technique consiste à compléter 1 en un lacet y du plan complexe à l'aide d'un chemin 8 bien choisi et à appliquer le théorème des résidus à la fonction z --+ f(z). On obtient ainsi

2in L _{Res(f, zk) = f(z)dz} = f(x) dx + f(z)dz .

La difficulté consiste ensuite à se débarrasser de l'intégrale sur le chemin 8. Voyons ceci sur des exemples simples.

CHAPITRE 2. INTÉGRALES ET RÉSIDUS

f_+oo

1

1) Calcul de

-oo

---1 + X 4 dx. L'intégrale impropre ci-dessus étant conver-gente, on a

l+oo

_{-- dx}1

l+R

1

= lim --

dx .

-oc 1 +

x4 R�+oo -R

1 +

x4

On complète le segment [-R, R] en un lacet

YR

à l'aide du demi-cercle C�.

-R R

Fig. 38.

L'intégrale JYR

dz

peut être calculée à l'aide du théorème des résidus. Comme R doit tendre vers +oo, on peut d'emblée supposer que R > 1, dans ce cas le lacet

YR

entoure les deux pôles ei:rr:/4 et ei3:rr:/4• Et on a

= +

1 +

z4

1 +

z4

1 +

z4

= -i _{4 1C} (ei:rr:/4 ₊ ei3:rr:f4) n.Jï

4

Il reste à faire le lien entre ce résultat et l'intégrale demandée. Pour cela on écrit

1

_YR

--dz

_{1 +} l

_{z4 -R}

=

l+R

-- dx _{1 +} 1

_x4

+

1

_{et 1}

--dz

₊ 1

_z4

et on fait tendre R vers +oo.

L t J,

1 d

, al ' :rr:./ï

- e erme _YR

I+z4 z

reste eg a

- Le terme

f�:

dx tend vers

f�C:

dx.

- Il reste à examiner le terme fet On a

--dz

= . iRe'9

d() .

1

_{et 1 +} 1

z4 11<

o 1 + R4e149 1 .

Intuitivement il semble que cette intégrale tende vers 0 quand R --+ +oo, car le terme à intégrer se comporte comme 1/R3 _{et tend donc vers 0 quand} R --+ +oo. Pour rendre ceci rigoureux, il suffit d'écrire une majoration explicite de l'intégrale :

2.5. CALCULS D'INTÉGRALES

17' 1 17' 1

1

o

1 + R4ei46 iRei6 d()1

� o

l 1 + R4ei46 l liRei6 Id()

�

17'

o

llR4ei461 - Il 1 Rd()

:rrR

<

----...; R4 - 1 '

ce qui tend bien vers 0 quand R --+ +oo.

13 1

Attention !

Il a été nécessaire d'écrire l'intégrale let sous la forme paramétrée pour pouvoir en majorer le module. Toute écriture du type

li _{e+ 1 + z4}

_R

---dz 1 1 i 1

�

_{e+ 1 + z4}

_R

--- dz 1 1

n'aurait aucun sens puisque let

l ldz

est a priori un nombre complexe.

l+oo

e -2 i1CtX

l+oo

. X

2) Calcul de ₂ dx, où t e lR et de ^{e -2uctx} ___

2 dx,

-oo

l + x

-oo

l + x

où t e JR\{O}.

a) L'intégrale impropre f�=

dx

étant (absolument) convergente, on a

l_{-oo 1 + x2 R�+oo -R 1 + x2} +oo e-2intx ^---dx

= lim

l+R e-2intx

---

dx .

Prenons

R

> 1 et complétons, comme dans l'exemple précédent, le segment

[-R, R]

en un lacet

YR

à l'aide du demi-cercle C�, on a

e-2intz l+R e-2intx i e-2intz

--dz _{1 + z2}

=

_{-R 1 + x2}

--dx + _et

--dz . _{1 + z2}

Examinons le terme let

dz.

On a

i _{e+ 1}

_R

^---dz e-2intz

₊

_z2

=

1

₀

n e-2intRei9 . _{1 + R2e•26}

.

iRe'6 d() .

On a une majoration explicite de cette intégrale :

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