Nous allons tenter de déterminer le niveau « initial » des élèves dans chacune des 9 classes observées avant que l‟introduction de l‟addition ne débute. Nous pensons en effet, que cette donnée a de l‟importance, car elle permet de mettre en avant d‟éventuelles situations de départ différentes/équivalentes d‟une classe à l‟autre qui sont autant de contraintes avec lesquelles les enseignants doivent jongler afin de prévoir leur enseignement.
A cet effet, nous allons nous cibler sur les résultats des élèves au test initial en analysant la réussite par classe ou groupe d‟élèves concernés pour chacune des questions au prétest (soit 9 items différents).
Dans un premier temps, nous décrivons les différents items du test initial et expliquons les raisons qui nous ont poussées à choisir ces 9 items plutôt que d‟autres. Dans un deuxième temps, nous procédons aux analyses du test initial pour chacune des 9 classes.
Description du test initial
Lorsque nous avons conçu notre test initial, nous avons été attentive au choix des nombres sélectionnés (Vergnaud, 1981). Nous ne voulions pas, en effet, accroître la difficulté des problèmes par l‟augmentation de la difficulté du calcul. « Les grands nombres donnent lieu à plus de difficultés que les petits nombres, les nombres décimaux à plus de difficultés que les nombres entiers, sauf lorsque l‟opération nécessaire se réduit à une composition de petits nombres ou à des opérations mentales simples […] » (p. 141-142). Le plan d‟étude romand indique que le domaine des nombres utilisés en première et deuxième primaire se situe de 0 à 200. Nous avons cependant choisi de rester bien au dessous étant donné qu‟il s‟agit d‟une introduction à un nouveau secteur d‟étude mathématique. Nous avons également volontairement ignoré les exercices ou problèmes impliquant la solution canonique de la soustraction directe, soit avec le symbole de la soustraction ou des termes tels que « enlever » / « perdre » impliquant des transformations négatives. Ce choix est dû au fait que les moyens d‟enseignement COROME n‟en proposent que dès la deuxième
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primaire. De plus, comme nous nous sommes basée sur les deux premières catégories additives de Vergnaud pour réaliser notre pré-test, aucun exercice relatif aux décompositions additives n‟a été imaginé à ce moment-là, ce qui explique l‟absence de T3 dans ce test.
Dans ce qui suit, nous présentons les différents items du test initial en trois temps73 :
les 3 premiers items (P1 à P3) sont représentatifs du registre d‟ostensifs 3b (et/ou 3c) avec un discours écrit (et/ou oral). Ces trois premiers exercices sont ce que l‟on nomme communément (en référence à Vergnaud) des « problèmes additifs ».
les 3 items suivants (E1 à E3) correspondent à la variante 2 de notre caractérisation de registres d‟ostensifs, soit le registre des ostensifs graphiques.
les 3 derniers items (E4 à E6) sont représentatifs de la variante 4a, soit des ostensifs scripturaux de type « formalisme écrit ».
Ce premier point démontre notre volonté de diversification des exercices proposés aux élèves. En effet, nous testons, à travers ce test initial, les capacités des élèves dans différents registres d‟ostensifs (pour les détails voir « Enrichissement de la typologie de tâches avec des registres d‟ostensifs » à la page 98). Pour des raisons pratiques, nous n‟avons pas proposé la variante 1, impliquant des manipulations, qui aurait été trop coûteuses à mettre sur pied dans le cadre d‟une passation de test. Quant à l‟ostensif 4b (« formalisme écrit »), il nous semblait délicat de le proposer en notre absence, de plus, nous ne voulions pas multiplier les items du test. Concernant l‟ostensif 3a, nous rappelons qu‟il n‟est pas représentatif des moyens d‟enseignement suisses romands, mais plutôt de l‟ouvrage de référence Cap Maths (CP), c‟est pourquoi nous ne l‟avons pas inclus.
Ainsi, notre test est constitué de 9 items. Les 3 premiers s‟insèrent dans un contexte verbal avec des énoncés écrits (ou oraux), les 3 suivants impliquent des représentations graphiques et les 3 derniers sont des opérations sur des nombres.
Le tableau ci-dessous reprend les 3 énoncés verbaux (P1 à P3) proposés dans le cadre du test initial. En parallèle sont pointés les sous-types de tâches, les opérations numériques correspondantes et la solution canonique impliquée :
Questions Énoncés des problèmes Sous-types
de tâches
Opérations numériques
Solutions canoniques (voir détails page 98) P1 Olivier a 4 petites voitures. François en
a 3. Combien en ont-ils à tous les Tableau 22 : Analyse des 3 énoncés verbaux (P1 à P3) proposés dans le cadre du test initial
73 Le test initial figure en annexe 17.
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Tout d‟abord, il faut préciser que bien que l‟énoncé soit écrit et relève, par conséquent, du registre d‟ostensifs 3b, nous ne pouvons pas exclure la variante 3c. Nous avons en effet donné les consignes suivantes aux enseignantes pour la passation des tests :
Pour les trois premiers problèmes (P1 à P3), les consignes doivent être lues oralement une à une avec toute la classe ou le groupe d‟élèves concerné. Aucune explication supplémentaire ne doit être donnée et un temps doit être laissé aux élèves afin qu‟ils répondent. Aucune reformulation de l‟énoncé ne doit être effectuée.
Ainsi, certains élèves ne sachant pas lire ou n‟ayant pas eu la nécessité de relire la consigne, ont été confrontés à la variante 3c relevant du registre de l‟oralité à travers un discours oral.
Avec ces 3 premiers énoncés, nous testons les capacités des élèves à résoudre 2 types de tâches (T1
et T2), dont 2 sous-types de tâches différents pour T1 qui intègrent les deux catégories additives de Vergnaud pointées comme celles caractéristiques de l‟enseignement en première primaire (compositions d‟états (∑) et transformations d‟états (T)).
Selon divers travaux (Fayol (1990), Reed (1999), Vergnaud (1981, 1982, 1990)), les items P1 et P2 sont moins complexes que l‟item P3 qui relèverait même du programme de la deuxième primaire. En effet, alors que les 2 premiers problèmes correspondent à la recherche d‟un état final impliquant une addition, le troisième correspond à la recherche de l‟une des parties d‟un tout impliquant la solution canonique de type soustraction complexe 1.
Proposer des items complexes dans le test initial alors que l‟introduction à l‟addition n‟a pas encore commencé pourrait paraître peu déontologique. Cependant, la présence d‟élèves relevant du secteur spécialisé justifie ce choix. En effet, comme nous l‟avons mentionné à plusieurs reprises, il est fréquent que ces élèves aient déjà été introduits à ce secteur d‟étude à de nombreuses reprises durant leur parcours scolaire. C‟est donc le moyen de tester, aussi, les connaissances de ces élèves.
Enfin, nous ajoutons que les énoncés proposés ainsi que la forme que prend les 3 premiers problèmes (« Ta réponse : ………. ») amènent les élèves à privilégier uniquement l‟aspect numérique des réponses. De ce fait, nous excluons les aspects liés à l‟analyse sur le « libellé de la réponse » qui révèle, selon Conne (1985) « une grande part de la complicité (ou absence de complicité) entre maître et élève » (p.276).
Pour les exercices de E1 à E6, il a été demandé aux enseignantes de ne donner aucune consigne particulière à leurs élèves.
Le tableau suivant rend compte des exercices E1 à E3 relevant du registre d‟ostensif 2. Comme dans le cas précédent, nous insérons en parallèle les sous-types de tâches, les opérations numériques correspondantes et la solution canonique impliquée :
Questions Exercices Sous-types de
tâches
Opérations
numériques Solutions canoniques
E1 T2+∑ a + ? = c soustraction
complexe 1
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E274 T1+∑ a + b = ? addition
directe
E3 T2+∑ ? + b = c soustraction
complexe 1 Tableau 23 : Analyse de 3 exercices (E1 à E3) proposés dans le cadre du test initial
Comme dans le cas des 3 premiers exercices, sont représentés les 2 types de tâches T1 et T2. Ces 3 exercices sont les moins complexes, car ils permettent la technique de dénombrement à l‟aide des points figurant sur les dés. Ce type d‟activité était toutefois nécessaire afin de nous rendre compte du niveau des élèves. En effet, nous pourrions nous interroger sur le niveau d‟un élève qui ne parviendrait pas à résoudre l‟item E2 n‟impliquant que du dénombrement. Concernant les 2 autres items, le dénombrement permet de valider la réponse, mais nécessite toutefois une recherche de complément.
Le mélange des constellations de points et des nombres n‟est pas idéal, mais il nous permettait de proposer des nombres > 6 en gardant le support des dés fréquemment utilisé dans les activités des moyens COROME.
Le dernier tableau présente les 3 derniers exercices (E4 à E6) du test relevant du registre d‟ostensif 4a :
Questions Exercices Sous-types de
tâches
Opérations
numériques Solutions canoniques
E4 4) 5 + 4 = ………. T1+S a + b = ? addition
directe E5 5) 7 + ………. = 9 T2+ ?S a + ? = c soustraction
complexe 1 E6 6) ………. + 7 = 10 T2 ?+S ? + b = c soustraction complexe 1 Tableau 24 : Analyse de 3 exercices (E4 à E6) proposés dans le cadre du test initial
Ces 3 derniers exercices testent une nouvelle fois 2 types de tâches, à savoir T1 et T2, mais également 2 sous-types de tâche représentatifs de T2.
Toujours en nous référant aux recherches sur les catégories de relations additives, nous nous attendons à ce que E4 soit mieux réussi que E5 qui sera lui-même mieux réussi que E6.
Analyse des résultats au test initial
Dans ce qui suit, nous procédons à une analyse du test initial dans chaque classe par types d‟institutions. Nous débutons nos analyses avec le secteur « ordinaire », puis les classes spécialisées et les Centres de jour. Pour chaque type d‟institutions, nous discutons les résultats des élèves par regroupement d‟items avec d‟abord les problèmes P1 à P3, puis E1 à E3 et pour finir E4 à E6. Une fois ces analyses faites, nous procédons à un bilan.
74 Pour cet énoncé, nous avons choisi de considérer le sous-type de tâches comme une composition d‟état (∑) car nous faisons l‟hypothèse que la majorité des élèves considéreront le problème comme une situation où les deux dés sont lancés simultanément. En effet, dans de nombreux jeux de société les élèves sont confrontés à ce type de situation. Dans les cas de E1 et E3 il faut donc imaginer que 2 dés ont été lancés simultanément mais l‟un des deux a ses faces dissimulées, dans ce cas l‟élève doit trouver le nombre de points qui se cache connaissant le nombre de points total, ce qui correspond à T2+∑.
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Nous devons préciser que les consignes de passation des tests données aux 9 enseignantes n‟ont pas toujours été respectées, c‟est pourquoi, dans les analyses qui suivent, nous ferons parfois appel à certains passages de transcriptions afin d‟expliquer certaines valeurs.
Pour des raisons évidentes d‟effectifs d‟élèves, notamment dans les 2 types d‟institutions spécialisées, nous n‟avons pas opté pour la réalisation de calculs de moyennes. Dans les tableaux qui suivent sont donc indiqués 1° le nombre d‟élèves présents qui ont répondu correctement aux différents items 2° le nombre total d‟élèves présents durant la passation du test.
L‟analyse de ce test initial dans chacune des 9 classes nous permettra de mettre en évidence des contraintes locales différentes, directement liées aux connaissances initiales des élèves, avec lesquelles les enseignantes doivent composer afin de prévoir leur enseignement.
Les classes «ordinaires»
P1 à P3
Ci-dessous figure le tableau avec les résultats au test initial des 3 classes « ordinaires » pour les items relatifs aux problèmes additifs de P1 à P3 :
Questions Sous-types de tâches Réussite des élèves
EO-G EO-B EO-D
P1 T1+∑ 17/19 5/18 16/23 P2 T1+T 13/19 17/18 15/23
P3 T2+∑ 1/19 11/18 11/23
Tableau 25 : Taux de réussite au pré test concernant les items P1 à P3 pour les 3 classes «ordinaires»
On remarque tout d‟abord que 2 valeurs diffèrent fortement des autres dans le tableau ci-dessus : celle concernant le troisième problème pour la classe EO-G et celle concernant le premier problème pour la classe EO-B.
Dans la classe EO-G le problème P3 est très faiblement réussi avec un score de seulement 1/19.
Or, la transcription de la passation du test dans cette classe, nous permet aisément de comprendre la raison de cette valeur. Voici en effet un extrait des consignes du test initial réalisé dans cette classe :
Enseignante EO-G : Ok. Ensuite, je continue. À la crèche il y a 10 enfants, 6 sont des filles, combien y a-t-il de garçons à la crèche ?
Élève L. : 4 !
Enseignante EO-G : Non, écoute L., ta réponse est pas juste et ensuite je t’ai demandé de pas la dire. En plus, c’est pas juste, mais tu ne dis pas { haute voix.
Pour des raisons évidentes de contrat didactique, nous ne sommes pas étonnée de constater que seul un élève sur 19 ait choisi la réponse correcte (4) invalidée à deux reprises par l‟enseignante.
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Dans la classe EO-B, nous constatons que le problème P1 est faiblement réussi par rapport à EO-G et EO-D, soit 5/18 contre 16/23 et 17/19 dans les 2 autres classes. Ce faible taux de réussite est plutôt surprenant étant donné que le problème P1 est le moins complexe avec P2 (si l‟on se réfère au sous-type de tâche impliqué et les techniques supposées pour le résoudre). Toutefois ce résultat peut être une nouvelle fois expliqué par la façon dont la consigne a été donnée en classe par les enseignantes. Il semble en effet que l‟enseignante EO-B soit la seule à ne pas avoir reformulé ce problème qui, de toute évidence, a posé des difficultés aux élèves au niveau de sa formulation
« combien en ont-ils à tous les deux ? ».
Voici de quelle manière ce problème a été reformulé par l‟enseignante de la classe EO-G :
Enseignante EO-G : Alors, Olivier a 4 petites voitures, François en a 3, combien en ont-ils à tous les deux ? Combien y’en a-t-il tout ensemble ? Donc Olivier 4, François 3 et on vous demande ici de marquer combien ya de petites voitures en tout. Alors, Olivier a 4 petites voitures et François en a trois et on veut savoir combien il y en a en tout.
Hormis ces 2 valeurs particulières, les taux sont plus ou moins équivalents au sein des 3 classes.
On constate toutefois un taux de réussite assez élevé au problème P2 dans la classe EO-B. Après vérification, nous n‟avons aucune raison de penser que cette valeur est liée aux consignes données dans cette classe. Nous déduisons donc que les élèves de la classe EO-B sont plus performants pour résoudre cet item. D‟ailleurs, si l‟on retire la valeur basse du premier problème pour lequel nous avons trouvé une explication, les élèves de cette classe semblent globalement plus performants pour résoudre cette première série de problèmes que les élèves des 2 autres classes.
Quant aux classes EO-G et EO-D, elles ont des valeurs très comparables.
De manière générale, nous constatons que P3 est globalement moins bien réussi ce qui coïncide avec la complexité de cette tâche annoncée précédemment. En revanche, il n‟y a pas d‟écart particulier entre P1 et P2, ce qui signifie que les taux de réussites sont à peu près équivalents, que la tâche implique une composition d‟états (∑) ou une transformation d‟états (T).
E1 à E3
Ci-dessous, le tableau correspondant aux items suivants, soit les exercices de E1 à E3 :
Questions Sous-types de tâches Réussite des élèves
EO-G EO-B EO-D
E1 T2+∑ 10/19 9/18 11/23 E2 T1+∑ 13/19 11/18 19/23
E3 T2+∑ 9/19 9/18 12/23
Tableau 26 : Taux de réussite au pré test concernant les items E1 à E3 pour les 3 classes «ordinaires »
Nous remarquons une certaine homogénéité entre les 3 classes concernant la réussite aux 3 exercices. La seule différence est que EO-D a un taux de réussite de 19/23 à E2 alors que les 2 autres classes ont respectivement 13/19 et 11/18. Cette différence n‟est pas marquante, mais met toutefois en évidence une légère meilleure performance des élèves de cette classe à l‟item E2.
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Nous constatons que E2, permettant le dénombrement des points figurant sur les 2 dés, est globalement mieux réussi et qu‟il n‟y a pas de différence particulière entre les 2 autres items.
E4 à E6
Voici le dernier tableau relatif aux résultats des élèves des classes « ordinaires ». Il s‟attache à la dernière série de questions, soit les items de E4 à E6 :
Questions Sous-types de tâches Réussite des élèves
EO-G EO-B EO-D
E4 T1+S 11/19 14/18 21/23
E5 T2+ ?S 5/19 4/18 12/23
E6 T2 ?+S 4/19 4/18 6/23
Tableau 27 : Taux de réussite au pré test concernant les items E4 à E6 pour les 3 classes «ordinaires »
De manière très nette nous pouvons voir que E4 est mieux réussi que les 2 autres exercices qui sont d‟ailleurs largement en dessous de la moyenne (EO-D obtient toutefois 12/23 à E5). Nous remarquons également que la classe EO-D a globalement des résultats plus élevés que les 2 autres classes pour cette dernière série d‟exercices. Quant aux 2 autres classes, elles ont des résultats équivalents pour les items E5 et E6. Par contre, les élèves de la classe EO-B ont de meilleurs résultats à l‟exercice E4 que ceux de la classe EO-G.
Bilan des classes «ordinaires»
Premièrement il est nécessaire d‟insister sur l‟influence des consignes ou des interactions enseignants – élèves qui, comme nous l‟avons pointé, peuvent fortement influencer les réponses des élèves. Dans un deuxième temps, en faisant abstraction des cas liés aux consignes, nous constatons que les taux de réussites entre les 3 classes sont assez concordants, à quelques nuances près.
Nous avons, entre autres, pu constater que les élèves de la classe EO-D ont des résultats légèrement plus performants que les autres aux exercices avec des représentations graphiques de points sur des dés et des résultats passablement meilleurs aux opérations numériques. Concernant ce dernier type d‟activités, les élèves des 2 autres classes ont des résultats équivalents hormis pour l‟exercice E4 lorsque « c » est recherché dans l‟opération a + b = c où les élèves de la classe EO-B réussissent mieux que ceux de EO-G. Quant aux problèmes additifs, ce sont les élèves de la classe EO-B qui ont les meilleures performances alors que les 2 autres classes ont des résultats équivalents.
Ainsi, il semble que les élèves de la classe EO-G aient des résultats plus bas que les 2 autres classes, et que ce sont les élèves EO-D qui aient le taux de réussite global le plus élevé. S‟il est important de relever ces divergences, c‟est parce qu‟il est possible qu‟elles influencent les organisations mathématiques et didactiques des enseignantes concernées.
Si l‟on tente maintenant de définir le niveau « initial » des élèves pour le type d‟institutions EO, nous remarquons que les résultats atteints par les 3 classes signifient qu‟une bonne partie des élèves a déjà une certaine notion de l‟addition avant même son introduction officielle en classe,
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mais que ce sont les items les moins complexes qui sont globalement les mieux réussis. 2 exercices sont globalement mal réussis, il s‟agit de E5 et E6. Les exercices E1 et E3 sont également moyennement réussis (soit environ un élève sur deux) dans les 3 classes. On peut également noter que les problèmes et exercices les mieux réussis sont ceux qui impliquent le type de tâche T1 (soit P1, P2, E2 et E4).
Passons maintenant aux classes spécialisées en réalisant le même type d‟analyses.
Les classes spécialisées
Pointons tout d‟abord que l‟écart significatif entre le nombre d‟élèves dans la classe CS-F et les 2 autres rendra délicate la comparaison entre les 3 classes. En effet, nous rappelons qu‟une seule élève est concernée pour la classe CS-L et 2 dans CS-P (1 élèves étant absents). Ce constat est dû au fait que l‟enseignante de la classe CS-F est la seule à introduire l‟addition avec tous ses élèves, soit 875.
P1 à P3
Comme précédemment, nous débutons nos analyses à partir des 3 premiers items du test, soit P1 à P3 correspondants aux problèmes additifs :
Questions Sous-types de tâches Réussite des élèves76 CS-F77 CS-L
CS-P78
P1 T1+∑ 7/7 0/1 1/2
P2 T1+T 7/7 0/1 1/2
P3 T2+∑ 2/7 0/1 0/2
Tableau 28 : Réussite au pré test concernant les items P1 à P3 pour les 3 classes spécialisées
Concernant les trois premiers problèmes (P1 à P3), nous pouvons faire le même constat que dans les classes «ordinaires», à savoir que les 2 premiers items sont mieux réussis que P3, ce qui coïncide avec la difficulté prédite de cette tâche.
Concernant chacune des classes plus particulièrement, nous pouvons observer 3 cas de figures bien distincts. Les élèves de la classe CS-F ne rencontrent aucune difficulté particulière pour résoudre P1 et P2, alors qu‟un seul élève sur deux y parvient dans CS-P et l‟élève de CS-L n‟y parvient pas.
Nous précisons toutefois que les 3 enseignantes reformulent les problèmes. Par exemple dans le cas de CS-L :
Alors, j’y vais. Olivier a quatre petites voitures, François en a trois. Combien en ont-ils à tous les deux ? Hein, si tu les mets ensemble ils en ont combien ? T’arrives { dire ? Non ? Si Olivier a quatre voitures et François il en a trois, s’ils les mettent ensemble ça fait combien ?
75 Une neuvième élève est arrivée en cours d‟année.
76 Nombre d‟élèves qui ont répondu correctement par rapport au nombre total d‟élèves qui ont répondu au test.
77 Un élève est absent le jour de la passation du test initial.
78 Un élève est également absent dans cette classe lors de la passation du test initial.
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Quant au problème P3, il est peu réussi dans la classe CS-F et raté par les élèves des 2 autres
Quant au problème P3, il est peu réussi dans la classe CS-F et raté par les élèves des 2 autres