Tenseur des contraintes de tension de surface

Pour implémenter les contraintes Marangoni dans Basilisk, nous adaptons le travail d’Abu-al-Saud et al. [59] à la description de l’interface par la méthode des volumes de fluide. Notons qu’il ne s’agit donc pas d’ajouter les contraintes Marangoni mais de changer la manière dont la tension de surface est implémentée, avec une formulation qui inclut ces contraintes. Comme dans le travail d’Abu-al-Saud et al., l’implémentation n’est faite qu’en deux dimensions. Cependant, une voie à suivre pour l’adapter à trois dimensions sera proposée à la section 3.3.7.

C E dI<0 F B A D dI<0 x x + 𝛥 𝛴

a Schéma d’une surface de contrôle Σ dont les faces gauche et droite sont intersectées par une in-terface, respectivement en F et E. La distance dI quantifie la dis-tance algébrique entre le centre de la face et le point d’intersection de l’interface avec cette face.

𝜎xx 𝜎yx 𝜎xx 𝜎yx 𝜎xy 𝜎yy 𝜎xy 𝜎yy 𝛴

b Signification physique des différentes composantes d’un tenseur de contraintes σ. Les termes diago-naux, σxxet σyy, correspondent aux contraintes qui s’appliquent selon la normale à une face : ce sont des contraintes de compression ou d’extension. Les termes non diagonaux, σxy et σyx, correspondent aux contraintes qui s’appliquent tangentiellement aux faces : ce sont des contraintes de cisaillement. Figure 3.15 Schémas illustrant l’écriture du tenseur des contraintes

de la tension de surface en intégrant les forces s’exerçant sur une surface de contrôle.

Pour discrétiser les forces de tension de surface, ces dernières sont intégrées sur une surface de contrôle carrée Σ, représentée sur la figure 3.15a, de longueur ∆ et inter-sectée par l’interface I. Il s’agit d’une surface de contrôle car le calcul est mené en deux dimensions, mais cette surface correspond dans l’idée à un volume de contrôle. L’intégration de la tension de surface sur la surface de contrôle Σ permettra d’établir l’action de cette tension sur chacune de ses faces et donc de définir un tenseur de contraintes de tension de surface σγ, dont la signification des différentes composantes est illustrée sur la figure3.15b. Exprimer l’action de la tension de surface sous la forme d’un tenseur de contrainte présente deux avantages : premièrement prendre en compte

les termes qui s’appliquent tangentiellement sur une face de la surface de contrôle et deuxièmement mener à un schéma conservatif. En effet la contrainte qu’un élément de fluide exerce sur l’élément voisin, le voisin l’exerce en retour sur le premier : c’est tout le sens du théorème de flux – divergence appliqué à la divergence d’une contrainte. Comme la pression saute d’une valeur à une autre au sein d’une même surface de contrôle à cause de la pression de Laplace, la pression est intégrée conjointement avec la tension de surface sur la surface de contrôle Σ. Le calcul étant fait en deux dimensions, la force résultante F` est une force par unité de longueur, elle s’écrit

F_`= −^I

∂Σp n_Σd` + (γ t)<sub>E</sub>− (γ t)<sub>F</sub> (3.23) où d` est l’élément de longueur sur les faces de la surface de contrôle. Cette expression a été obtenue directement, en faisant le bilan des forces sur la surface de contrôle. Cependant, le théorème de flux – divergence et les formules de dérivée de la tangente permettent de montrer qu’elle correspond aussi à l’intégration des forces volumiques f de pression et de tension de surface :

{ Σ fdS ≡^{ Σ [− ∇ p + (−γ κ n + ∂sγ t) δ`(x<sub>I</sub>)] dS = −<sup>I</sup> ∂Σp n<sub>Σ</sub>d` +^Z EF^∂s(γ t) ds = F`

où ds est l’élément de longueur curviligne de l’interface. L’expression de la force ré-sultante linéique F` (3.23) est projetée sur l’axe horizontal x :

F<sub>`,x</sub>=<sup>Z</sup> CD<sup>p</sup>d` −^Z AB^pd` + (γ tx)<sub>E− (γ t</sub>x)<sub>F</sub> =<sup>Z</sup> CF<sup>p</sup>d` +^Z FD^pd` −<sup>Z</sup> AEpd` −^Z EB^pd` + (γ tx)_E− (γ tx)_F (3.24) Sur les segments qui incluent le milieu de la face, CF et AE, la pression est assimilée à la pression au centre de la face ˆp. Sur les segments restants, FD et EB, il faut la corriger avec le saut de pression de Laplace :

sur CF et AE : p ≈ ˆp sur EB : p ≈ ˆp− γ κ sur FD : p ≈ ˆp+ γ κ

Nous introduisons d_I, la distance algébrique entre le centre d’une face et l’intersection avec l’interface, comme représenté sur la figure 3.15a. Elle est comptée positivement lorsque l’interface est au-dessus du centre de la face, négativement sinon. Aussi :

DF =∆_/2+ dI(x) et AE =∆_/2+ dI(x + ∆) avec dI(x) < 0 et dI(x + ∆) > 0

Avec ces notation les intégrales de la pression sur les deux faces s’écrivent : Z CD^pd` =<sup>Z</sup> CF<sup>p</sup>d` +^Z FD^pd` ≈ [∆ ˆp+ (∆<sub>/2</sub>+ dI) γ κ] (x) et <sup>Z</sup> AB<sup>p</sup>d` =^Z AE pd` +<sup>Z</sup> EB<sup>p</sup>d` ≈ [∆ ˆp− (∆_/2− dI) γ κ] (x + ∆)

Dans les deux cas, l’intégrale de la pression sur une face f s’écrit : Z

f^pd` ≈ ∆ ˆp− sign(dI) (∆_/2− |dI|) γ κ où sign est la fonction signe. Aussi, la force résultante (3.24) s’écrit :

F_x = − [∆ ˆp− sign(dI) (∆_/2− |dI|) γ κ] (∆ + x)

+ [∆ ˆp − sign(dI) (∆_/2− |dI|) γ κ] (x) (3.25) + (γ tx)_{E− (γ t}x)_F

Cette force peut être écrite comme la divergence discrète d’un tenseur de contraintes σ_γ, dont les différentes composantes sont illustrées sur la figure3.15b :

F_`,x= ∆ [σγ,xx− ˆp] (∆ + x) − ∆ [σγ,xx− ˆp] (x) avec σγ,xx = ^γ

∆ [tx+ sign(d_I) (∆_/2− |dI|) κ] (3.26) La composante selon y de la résultante F` est beaucoup plus simple puisque les faces supérieures et inférieures ne sont pas intersectées par l’interface :

F<sub>`,y</sub>=<sup>Z</sup> DA pd` −^Z CB pd` + (γ ty)_{E− (γ t}y)_F = ∆ ˆp(y) − ∆ ˆp(y + ∆) + (γ ty)_E− (γ ty)_F

Les composantes γ ty s’appliquent parallèlement sur les faces x et x + ∆ de la surface de contrôle. Elles correspondent donc au terme σγ,yx du tenseur des contraintes :

F_`,y= −∆ [ˆp(y + ∆) − ˆp(y)] + ∆ [σγ,yx(x + ∆) − σγ,yx(x)] avec σγ,yx= ^γ

∆^ty (3.27)

Ce calcul a été mené sur un cas particulier, mais x et y ne jouent pas de rôle particulier. Les expressions (3.26) et (3.27) des composantes du tenseur des contraintes σγ sont donc générales. Leur validité n’est conditionnée que par l’existence d’une intersection de l’interface avec la face en question. Les composantes yy et xy se déduisent par permutation des indices :

σ_γ,xx = ^γ

∆[tx+ sign(dI) (∆_/2− |dI|) κ] si la face verticale est intersectée (3.28a) σ_γ,yy = ^γ

∆[ty + sign(d_I) (∆_/2− |dI|) κ] si la face horizontale est intersectée (3.28b) σγ,xy = ^γ

∆^tx si la face horizontale est intersectée (3.28c) σ_γ,yx= ^γ

∆^ty si la face verticale est intersectée (3.28d) S’il n’y a pas d’intersection avec la face associée, la composante est nulle : la tension de surface n’exerce pas de contrainte sur cette face.

Le tenseur des contraintes établi permet de décrire les efforts d’extension et de cisaille-ment que la tension de surface exerce sur une petite surface de contrôle coupée par une interface. La force volumique de pression et de tension de surface qui s’exerce sur le fluide s’écrit alors comme la divergence du tenseur des contraintes σγ− ˆp1 :

f = ∇· (σγ− ˆp1) en effet ^x Σ fdS =^I ∂Σ(σγ− ˆp) nΣd` = −<sup>I</sup> ∂Σ p n<sub>Σ</sub>d` + (γ t)_{E− (γ t)F} = F`

Pour calculer numériquement la force de tension de surface qui s’exerce sur une cellule, il reste donc à discrétiser cette divergence et à estimer numériquement chacune des composantes du tenseur des contraintes σγ (3.28).