ω = r p0raVperte 2 γ VR 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 Vb /V 0 s’´echappe pi´eg´ee simulation exp´erience 0 10 20 30 40 50 60 VR (mL)
Figure 7.6 Volume critique de rétention. La ligne grise est la
prédiction du modèle : si le volume de la bulle attachée à l’aiguille est au-dessus, la bulle devrait grandir et le bullage continuer, autrement, elle devrait rester piégée et le bullage devrait s’arrêter. Les bulles qui s’échappent effectivement sont indiquées par un marqueur creux, les bulles qui restent par un marqueur plein. La couleur des marqueurs indique le volume du réservoir des différentes expériences (marqueurs ronds) et simulations (triangles), du marron au bleu.
Le paramètre ω rationalise bien les données, dans le sens où il divise le diagramme de la figure7.6en deux domaines : l’un regroupant tous les cas où le bullage s’arrête (do-maine gris foncé) et l’autre regroupant tous les cas où le bullage continue (do(do-maines gris clair et blanc). Cependant, la séparation entre les deux domaines s’opère à des volumes nettement plus faibles que le volume de rétention prédit par le modèle ther-modynamique : les bulles de la zone gris clair croissent alors qu’elles sont plus petites que le volume de rétention.
Ce modèle purement statique est donc insuffisant. Par ailleurs, les photographies de la figure 7.5ont déjà permis de souligner que le phénomène est très rapide, il faut donc ajouter un ingrédient cinétique.
7.3 Contribution hydrodynamique
Juste après le détachement de la bulle précédente, la vitesse de croissance de la nouvelle bulle n’est pas nulle, comme illustré sur la figure 7.7.
Si l’inertie propre de la bulle est négligeable, ce n’est pas le cas du liquide qui l’envi-ronne [78,79]. Cette énergie cinétique peut permettre à la bulle d’atteindre le volume critique de rétention Vc, de franchir la barrière énergétique et donc d’être libérée. Ainsi, juste après le détachement d’une bulle, le bullage pourrait continuer si la somme des énergies thermodynamique et cinétique est supérieure à la barrière énergétique. La contribution hydrodynamique est illustré sur la figure 7.8.
0 50 100 150 200 t/τγ −10 −5 0 5 10 Qb /Q 0 90 95 0 5 0 50 100 150 200 t/τγ −10 −5 0 5 10 Qb /Q 0 90 95 0 5
Figure 7.7 Débit au cours d’un bullage.
Débit volumique Qb de croissance de la bulle attachée à l’aiguille, rapporté au débit Q0 = V0/τγ, en fonction du temps, rapporté au temps inertio-capillaire τγ = p
ρ ra3/γ. Ce débit est calculé en dérivant par rapport au temps le volume de la bulle attachée à l’aiguille : Qb = ∂tVb. Insert. Détail de l’évolution du débit volumique juste après le détachement de la bulle précédente.
bulle précédente
Figure 7.8 Illustration des effets
hydrodynamiques : lignes de cou-rant mesurées sur les expériences numériques juste après le détache-ment de la bulle précédente.
Énergie cinétique de masse ajoutée
d’une bulle croissant au sommet d’une aiguille
Nous devons évaluer l’énergie cinétique du liquide environnant la bulle, appelée énergie cinétique de masse ajoutée. Pour cela, nous modélisons le champs de vitesse autour d’une bulle croissant sur une aiguille comme la somme de deux contributions : celle d’une sphère en expansion et celle d’une sphère en translation, car le centre de la bulle s’élève tandis qu’elle grandit. Ces deux contributions correspondent à des problèmes classiques de mécanique des fluides. Leur somme s’écrit :
u(r, t) = Rb2 r2 Qb Ab er+Rb3 r3 ub cos θ er+1 2 sin θ eθ (7.12) où Qb = ∂tVb est le débit de croissance de la bulle, Ab sa surface, Rb son rayon de courbure, ubest la vitesse verticale du centre de courbure, et r et θ sont les coordonnées dans le référentiel sphérique.
Comme dans le modèle thermodynamique, nous supposons que la bulle est une sphère tronquée et nous décrivons sa position avec l’angle α, comme présenté sur la figure7.3. Le rayon de courbure Rb et la surface Ab peuvent alors être exprimés en fonction de l’angle α et le rayon de l’aiguille ra :
Rb = sin αra , Ab= 2π ra2 1 − cos α sin2α
Nous estimons l’énergie cinétique de masse ajoutée Ec en intégrant la densité d’éner-gie correspondant à ce champ de vitesse sur le cône Cα semi-infini de demi-angle au sommet α, comme représenté sur la figure7.9:
Ec=y Cα
1
𝒞𝛼
®
Figure 7.9 Cône d’intégration.
L’énergie cinétique du liquide en-vironnant la bulle est intégré sur le cône Cα de demi-angle au som-met α représenté en violet sur le schéma.
Une fois adimensionné, le résultat de cette intégration s’écrit :
e Ec= 4 sin α1 " (1 + cos α)Qeb Qeb 3 + e ub 2 !
+2 + cos α (1 + cos α)4 (1 + cos α) ueb2 #
où Qeb est le débit de croissance de la bulle adimensionné par l’échelle de débit Q0 = V0/τγ, avec τγ le temps inertio-capillaire τγ =p
ρ ra3/γ etueb la vitesse du centre de courbe de la bulle adimensionnée par ra/τγ.
Pour plus de lisibilité, cette expression de l’énergie cinétique peut être écrite :
e
Ec= f1(α)Qeb2+ f2(α)Qebueb+ f3(α)ueb2 (7.14) où f1, f2 et f3 sont trois fonctions de l’angle α :
f1(α) = 1 + cos α12 sin α , f2(α) = 1 + cos α8 sin α et f3(α) = 2 + cos α (1 + cos α)16 sin α (1 + cos α) Avec l’expression (7.14), il suffit de mesurer expérimentalement la vitesse du centre de courbure de la bulle ub, son débit de croissance Qb et son volume Vb, juste après le détachement de la bulle précédente pour estimer son énergie cinétique de masse ajoutée. Cette énergie peut alors être ajoutée à l’énergie potentielle fournie par le modèle thermodynamique (7.11) pour prédire si la bulle a l’énergie nécessaire pour franchir la barrière énergétique.
Comparaison avec les expériences
L’énergie totale Gb+ Ec est calculée pour chaque bulle observée dans les expériences et les simulations. Ces énergies sont reportées sur la figure 7.10 en fonction du para-mètre ω.
Les données expérimentales et numériques sont en bon accord avec le critère énergé-tique du modèle thermodynamique, et ce, sans paramètre ajustable. Aussi, en connais-sant les paramètres de la bulle juste après le détachement de la précédente, nous pou-vons prédire si la nouvelle bulle s’échappe ou non. En revanche, cela ne permet pas directement de prédire le nombre de bulles libérées lors d’un événement de bullage.
0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 √ ω = r p0raVperte 2 γ VR 0, 0 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 2, 5 (G b + Ec )/G 0 0 10 20 30 40 50 60 VR (mL)
Figure 7.10 Énergie critique de rétention. La ligne grise est la
prédiction du modèle : si l’énergie de la bulle attachée à l’aiguille est supérieure, la bulle devrait grandir et le bullage continuer, autrement, elle devrait rester piégée et le bullage devrait s’arrêter. Les bulles qui s’échappent effectivement sont indiquées par un marqueur creux, les bulles qui restent par un marqueur plein. La couleur des marqueurs indique le volume du réservoir des différentes expériences (ronds) et si-mulations (triangles), du marron au bleu.