La figure 9.3 présente la dépendance du temps d’érosion adimensionné par H2/κTen fonction de Ra, en coordonnées logarithmiques. Nous constatons qu’une droite de pente
1. Nous utilisons pour cela le logiciel Comsol.
Figure9.1 – Images de l’évolution typique d’un réservoir pour différents temps (adi-mensionnés par le temps diffusif H2/κT) : (a) t = 0 ; (b) t = 0.06 ; (c) t = 0.2 ; (d) t = 0.3 et (e) t = 0.4. Les paramètres sans dimension utilisés pour cette simulation sont : Ra =7.5×103, B= 2, Le =10, Pr =10 et A =0.8 . L’évolution du système est visualisée par la concentration en sel c. La couleur rouge correspond à c= 1 et le bleu à c= 0.
Figure9.2 – Graphe, en coordonnées logarithmiques, du taux de cisaillement E en fonc-tion du nombre de Rayleigh Ra (B=2, Le =10). La droite représente une loi d’échelle d’exposant 2/3
−1/2 s’aligne sur les points numériques. Puisque nous avons trouvé numériquement que
Figure9.3 – Temps d’érosion adimensionné par H2/κT en fonction du nombre de Ray-leigh, en coordonnées logarithmique (B = 2, Le = 10). Une droite de pente −1/2 s’aligne correctement sur les points numériques.
E ∼ Ra2/3, nous nous attendons, d’après l’équation (8.12), à une loi du type t ∼ Ra−2 puisque le système est bidimensionnel. Notre résultat peut sembler en contradiction avec le modèle proposé par Schmidt & Zhang (2008). Toutefois, celui-ci est valable dans la limite où la diffusion chimique peut être négligée, i.e. lorsque Le>>1. Or, nous sommes numériquement limités à Le = 10, ce qui est une valeur sans doute trop faible pour pouvoir négliger complètement la diffusion de concentration.
La figure 9.4 présente la dépendance du temps d’érosion adimensionné en fonction de B, en coordonnées logarithmiques. Ici, nous constatons que le régime asymptotique est atteint pour B > 1. Pour B ≤ 1, la stratification en deux couches n’est pas stable et leurs renversements sont possibles. Il s’agit donc d’un régime différent de celui de notre étude. Nous nous concentrons donc sur les simulations effectuées pour B > 1. Dans cette gamme le temps d’érosion t varie comme t ∼ B. Cette fois, nous nous attendions, toujours d’après l’équation (8.12) à une dépendance du type t∼ B2.
Le désaccord entre nos résultats et le modèle de Schmidt & Zhang (2008) l’existence de deux types de régime :
– dans le régime diffusif, le mélange se fait uniquement par diffusion de concentra-tion. Son temps caractéristique est proportionnel à h22/κT, qui ne présente pas de
Figure9.4 – Temps d’érosion adimensionné par H2/κT en fonction du nombre de flotta-bilité B (Ra= 104, Le=10). Une droite de pente 1 s’aligne correctement sur les points expérimentaux, pour B>1.
dépendance en Ra ou en B.
– Dans le régime advectif, comme démontré par Schmidt & Zhang (2008), le temps caractéristique d’érosion t est de la forme t∝ Ra−2pour la dépendance en fonction du nombre de Rayleigh et de la forme t ∝ B2pour la dépendance en fonction du nombre de flottabilité.
Dans notre étude, nous avons trouvé t ∝ Ra−1/2 et t ∝ B. Il semble donc que nous sommes dans une situation intermédiaire entre un régime purement advectif et un ré-gime purement diffusif. Nous atteignons ici les limites de notre étude numérique qui ne permet pas d’atteindre des nombre de Lewis Le suffisamment grands. Une étude expé-rimentale où Le >> 1 et où il est possible de suivre la forme de l’interface parait donc indispensable.
Chapitre 10
Etude expérimentale.
10.1 Dispositif et procédure expérimentale.
10.1.1 Dispositif.
Nous utilisons le même dispositif que celui utilisé pour l’étude de la deuxième partie.
Il s’agit donc d’une cuve de dimensions 20×20× 4 cm, aux parois en plexiglas. La convection est entretenue grâce à une plaque de cuivre à la base de la cuve à l’intérieur de laquelle circule de l’eau thermostatée. La surface supérieure est laissée à l’air libre.
Les deux fluides utilisés sont :
– fluide 1 : il s’agit d’eau dans laquelle nous avons introduit une poudre appelée Natrosol. Elle a pour effet d’augmenter la viscosité d’une certaine quantité en fonction du pourcentage en masse de Natrosol dilué (cf. figure 10.1). La viscosité est augmentée par une réaction de polymérisation entre le Natrosol et les mo-lécules d’eau. Elle modifie également la densité, mais dans des proportions très faibles.
– Fluide 2 : il s’agit d’eau salée. Nous pouvons ajuster sa densité en fonction de la quantité de sel dilué. Par ailleurs, afin de visualiser ce fluide une fois dans la cuve, nous avons dissous lors de sa préparation une petite quantité de Rhodamine, un colorant rose fluorescent qui, une fois éclairé par de la lumière verte, restitue une fluorescence de couleur rouge.
Nous disposons également d’une nappe Laser de couleur verte qui permet d’éclairer toute la hauteur de la cuve. Nous plaçons une caméra perpendiculairement à la nappe Laser, elle permet de suivre l’évolution temporelle du système. De plus, nous disposons un thermomètre sur la plaque inférieure et un autre à environ 1 cm sous la surface libre afin d’estimer∆T .
Figure10.1 – (a) Variation de la viscosité et (b) de la densité des solutions de Natrosol en fonction de la quantité de Natrosol ajoutée (Le Bars, 2003).
10.1.2 Procédure expérimentale.
Une fois la préparation des deux fluides terminée, nous procédons pour toutes les expériences de la même façon :
1. nous portons à la température désirée la plaque du bas, la cuve étant vide.
2. Ensuite, nous insérons le fluide dans une majorité du volume de la cuve (jusqu’à environ 18 cm de hauteur) puis mettons en place le thermomètre du haut.
3. Enfin, nous injectons le fluide 2 à l’aide d’une seringue dont l’extrémité a été prolongée par un tube afin d’atteindre le fond de la cuve. Il convient d’insérer le fluide délicatement de façon à constituer un réservoir stable en bas de la cuve, tout en perturbant le moins possible les mouvements convectifs. Nous lançons au même instant l’enregistrement vidéo.