Nous avons vu qu’un forçage externe mécanique est susceptible de faire croître l’in-stabilité elliptique. Il peut être effectué grâce à deux rouleaux latéraux déformant un sphéroide (Lacaze et al., 2005) ou un cylindre (Malkus, 1989; Eloy et al., 2003; Her-reman, 2005) de façon à rendre elliptique les lignes de courant de l’écoulement, condi-tion sine qua non de sa déstabilisacondi-tion. Dans les systèmes géo- et astrophysiques, les astres prennent une forme ellipsoidale par interaction gravitationnelle avec leurs plus proches voisins : c’est l’effet de marées (figure 11.4), également responsable sur Terre des marées océaniques. Restons sur Terre pour expliquer ce phénomène. Dans le cadre d’une théorie statique, en appliquant le principe fondamental de la dynamique à la Terre
dans le référentiel géocentrique2, il apparait un champ de gravitation différentielle dans l’équation du mouvement :
X
i
G~i(P)−G~i(T )
, (11.5)
oùG~i(P) est le champ de gravitation créé par l’astre i en un point P de la Terre etG~i(T ) est le champ de gravitation créé par l’astre i au niveau du centre de gravité T de la Terre (figure 11.4). Le champ de gravitation différentielle est responsable de l’effet de marées.
A l’ordre zéro, on peut considérer que seule la Lune contrôle le phénomène. L’influence du Soleil intervient pour moitié par rapport à la Lune et celle des autres astres est négli-geable. Le champ différentiel tend à étirer notre planète selon la direction Terre-Lune, et à la comprimer dans les directions transverses. Il est ainsi possible de modéliser l’effet d’une lune en laboratoire en comprimant le conteneur selon les directions transverses comme l’a initié Malkus (1989). Les noyaux planétaires liquides3 subissent également
Figure11.4 – Le champ gravitationnelG créé par la Lune au centre et à la surface de la~ Terre, et le champ différentiel qui en découle.
ces actions en plus du champ gravitationnel terrestre. En effet, le champ de gravita-tion différentielle, bien que plus petit qu’à la surface terrestre, y est encore présent. Les sphères externe et interne du noyau vont donc se déformer en ellipsoide. De cette façon, la croissance de l’instabilité elliptique (appelée alors également instabilité de marées) est permise, à condition bien sûr que le seuil de l’instabilité soit franchi. Ce seuil critique a été défini par Eloy (2000) :
(ǫ/√
E)c ∼5. (11.6)
2. Il s’agit du référentiel ayant pour origine le centre de la Terre, ses trois axes sont dirigés vers des étoiles “fixes“ très éloignées.
3. par exemple le noyau terrestre externe, présenté par ailleurs dans la partie introductive
De plus, l’instabilité elliptique ne peut croître si la déformation tourne à la même vitesse angulaire que le fluide puisque, dans ce cas, une particule fluide ne "verra" jamais la déformation. Par exemple, ce cas se présenterait pour un système planète-lune pour lequel la rotation propre de la planète serait synchronisée avec la rotation orbitale de sa lune.
Les dispositifs expérimentaux utilisés jusqu’à présent (dont le notre) modélisent de façon sommaire la présence de la Lune. Dans la plupart des cas, il s’agit d’une lune fixe par rapport à la planète. Des dispositifs plus récents (Le Bars et al., 2007; Morize et al., 2010) reproduisent la rotation d’une lune autour de la planète. Ils montrent qu’elle peut avoir de grandes conséquences, comme la génération de vents zonaux. De plus, l’orbite elliptique de la Lune, qui peut être supposée dans le plan de l’écliptique, n’a jamais été pris en compte alors que la distance Terre-Lune varie de 10% lors d’une révolution.
L’application de cette loi d’échelle à divers corps du système solaire donne des ré-sultats contrastés. Comme montré sur la figure 11.5, Io (un satellite de Jupiter) est clai-rement instable. Quant à la Terre, elle se situe très proche du seuil, ce qui laisse à penser que le développement de l’instabilité elliptique est possible (Kerswell, 1994). Ce n’est cependant probablement pas le cas pour la Terre actuelle. Concernant la Terre primi-tive, la présence de l’instabilité elliptique est très probable : en effet, il y a 4 milliards d’années, la Lune était trois fois plus proche de la Terre, provoquant un très fort effet de marées. En outre, à cette époque, la Terre tourne environ deux fois plus vite, son nombre d’Ekman était donc plus petit qu’aujourd’hui d’un facteur 2. Ces deux aspects impliquent que la Terre primitive était instable vis-à-vis de l’instabilité de marées. La présence de l’instabilité de marées dans le noyau aurait pu alors avoir des conséquences à la surface de la Terre, sur le champ magnétique terrestre et sur le flux de chaleur.
Figure11.5 – Stabilité d’un écoulement dans différents corps célestes en fonction du nombre d’Ekman et de l’ellipticité imposée (Lacaze et al., 2006). La zone au-dessus de la droite correspond à un écoulement instable tandis que celle en dessous correspond à un écoulement stable.
Chapitre 12
Etude expérimentale.
Abstract.
The reciprocal influence of convective and elliptical instabilities is studied experi-mentally in an elliptically deformed rotating cylindrical shell with an imposed tempe-rature at the inner cylinder, using the centrifugal force to mimic a radial gravity field.
When the temperature contrast is stabilizing, we observe that the elliptical instability can grow and that the heat flux scales as the inverse of the viscous boundary layer depth.
When the temperature profile is destabilizing, we observe that (i) the elliptical instabi-lity can still grow on established convective motions, that (ii) for the experimental range of parameters, its growth rate progressively decreases when the intensity of convection increases, and that (iii) the elliptical instability modifies the heat transfer when the vis-cous boundary layer is smaller than the thermal one. Scaling laws for both cases are derived analytically and validated experimentally. We conclude that in geophysical and astrophysical systems, thermal effects have to be taken into account when looking for inertial instabilities and that these inertial instabilities have to be taken into account when evaluating heat transfers.
12.1 Introduction.
It is known from the analysis of Kelvin (1880) that rotating flows support inertial (or "Kelvin") waves whose origin comes from the restoring effect of the Coriolis force.
These waves are generally damped by viscosity but they can persist when an external forcing is applied. For instance, the elliptical instability arises in elliptically deformed systems from the triadic resonance between two Kelvin waves and the deformation (Wa-leffe, 1990). Such an instability could be excited in the liquid core of planets that are tidally deformed by close bodies, leading for instance to the generation or induction of a magnetic field (Lacaze et al., 2006; Kerswell & Malkus, 1998). The dynamic of
the elliptical instability has been studied in details following the first experimental ap-proach of Malkus (1989), but always in the isothermal case. However, thermal effects have a fundamental importance in the dynamics of planetary cores. Indeed, convective flows are expected to control heat transfers and dynamo processes in most planets, as for instance in the Earth (see (Roberts & Glatzmaier, 2000) for a review). Convective insta-bilities in rapidly rotating systems are also closely interconnected with inertial waves.
Indeed, recent studies (e.g. (Zhang et al., 2007; Zhang & Liao, 2009)) show that the convective flow can be represented, depending on the value of the Prandtl number, by either a single inertial-wave mode or by a combination of several inertial-wave modes, and is controlled or influenced by the effect of the Ekman boundary layer. Moreover, following the Proudman-Taylor constraint, convective flows in rapidly rotating systems are almost invariant along the axis of rotation (Busse, 1970). Experimentally, Busse and Carrigan (1974) reproduced these columns in a rapidly rotating system submitted to a destabilizing temperature contrast, using the centrifugal force to mimic the planetary radial gravity. In the present paper, we investigate the reciprocal influence of the ellipti-cal instability and thermal effects in a fluid contained in a rotating cylindriellipti-cal shell, by coupling in a single experiment the historical set-ups of Malkus (1989) and Busse and Carrigan (1974). Note that in addition to the geophysical interests, our study could also be relevant in some industrial applications, for instance in the domain of vortex control in the wake of aircraft wings by means of injection of heated or cooled air (D. Sipp et al., 2005).
Le Bars and Le Dizès (2006) studied analytically the linear stability of a rotating flow in an elliptically deformed cylindrical shell with an imposed (stable or unstable) conductive temperature profile. In this case, the elliptical instability comes from the re-sonance of gravito-inertial waves. They concluded that the growth rate of the elliptical instability is a decreasing function of the Rayleigh number Ra, which characterizes the intensity of convection, and that the growth rate surprisingly increases with the inten-sity of stratification. Nevertheless, Le Bars and Le Dizès (2006) did not investigate the non-linear processes of the elliptical instability, and their stability analysis always star-ted from a simple elliptical and non-convective rotating base flow. This paper thus aims at completing these first conclusions by a systematic experimental study. Our purpose is to answer the following three questions : (i) could the elliptical instability grow in the presence of established convective motions ? (ii) How are the growth rate of the elliptical instability and the convective heat flux modified ? And (iii) what is the predo-minant mechanism at the planetary scales ? Note that the same questions are addressed numerically in the ellipsoidal geometry in a companion paper by Cébron et al. (2010).
The paper is organized as follows. In § 2, the set-up and the experimental procedure are presented. In § 3, the influence of the convection on the growth of the elliptical instability is studied experimentally. The experimental results regarding the influence of the elliptical instability on heat transfers are presented in § 4, where general scaling
laws are also derived. Finally, these scaling laws are applied to geo- and astrophysical systems in § 5.