Les techniques utilisées pour pallier les problèmes de réso-

résolution

Lorsque les paramètres sont estimés à l’aide de la transformée de Fourier à court terme [20] [27], les limites dues à la résolution fréquentielle ne permettent pas toujours de séparer les harmoniques des sources d’un mélange : des partiels appartenant à des sources différentes sont susceptibles de se recouvrir, produi- sant ainsi des distorsions non négligeables au niveau des pics spectraux. Ainsi lorsque deux composantes spectrales sont proches, la plus importante peut par exemple cacher la seconde, impliquant des amplitudes et des phases estimées er- ronées, qui sont par la suite utilisées dans la modélisation sinusoïdale des sources.

Plusieurs techniques ont été proposées pour estimer les amplitudes et les phases du modèle sinusoïdal. Toutes basées sur l’ajustement spectral entre le modèle et les observations, elles diffèrent par la longueur de l’intervalle fréquen- tiel sur lequel les recouvrements éventuels sont pris en compte.

Ainsi, pour le iieme_{modèle d’un mélange, exprimé à l’aide de ses phases {φ}i

k}k=1, ··· , Mi tel que : si(n) = Mi X k=1 αikcos(2πf i kn + φ i k) (1.32)

l’analyse à court terme du mélange de Ns sources, à l’aide d’une fenêtre w(n) est telle que : S(f ) = N s X i=1 Mi X k=1 1 2α i k(e j φi kW (f − fi k) + e −j φi kW (f + fi k)) (1.33)

La transformée de Fourier S(f) du mélange est une somme de versions décalées de la transformée de Fourier W (f ) de la fenêtre d’analyse aux fréquences fi

k.

Ajustement spectral : L’ajustement spectral consiste à minimiser l’erreur quadratique moyenne entre le spectre du modèle S(f) donné par (eq. 1.33) et celui des observations X(f ).

En posant pi k = 12α i kcos(φik) et pi(k+Mi) = 1 2α i

ksin(φik) le modèle de spectre s’écrit :

b S(f ) = N s X i=1 Mi X k=1 [pi kR i k(f ) + p i (k+Mi)R i k+Mi(f )] (1.34)

les expressions de Ri

k(f ) et Ri(k+Mi)(f ) étant donnée par :

     Ri k(f ) = W (f − fki) + W (f + fki) Ri (k+Mi)(f ) = j [W (f − f i k) − W (f + fki)] (1.35)

La solution moindres carrés pour les phases et les amplitudes est alors donnée sous forme vectorielle par :

p= (HTH)−1HTS (1.36) p est le vecteur contenant les amplitudes et phases du modèle, H est une matrice dont les vecteurs colonnes sont les Ri

k aux fréquences f i k.

• Interpolation multitrame

Dans leur approche du problème de séparation de deux sources de parole voisée, Quatieri et Danisewicz montrent que ce problème de minimisation est équivalent à la résolution du système d’équations :

   e Hα = 2 ℜ[X(f )] e Hβ= −2 ℑ[X(f )] (1.37)

f = [f1, f2, · · · , fM] est le vecteur contenant l’ensemble des M = M1 + M2 fré-

quences du mélange, rangées par ordre croissant.

L’expression de la matrice, lorsque les contributions des fréquences négatives sont omises est donnée par :

e H =      W (0) W (f1− f2) · · · W (f1− fM) W (f2− f1) W (0) · · · W (f2− fM) ... ... ... ... W (fM − f1) W (fM − f2) · · · W (0)      (1.38)

Le problème de la proximité des fréquences se traduit par un mauvais condition- nement de la matrice eH. Il en résulte que l’inversion de cette matrice, nécessaire à la résolution de (eq.1.37) devient instable.

Mac Aulay et Danisewicz proposent alors de détecter les recouvrements éventuels en imposant une distance fréquentielle minimale entre deux partiels, en dessous

1.4. Des techniques pour améliorer les estimations 35 de laquelle une unique sinusoïde sera utilisée pour représenter les deux voix.

Cette limite étant fixée à 25 Hz, l’estimation des amplitudes et des phases cor- respondantes pour chaque signal source est par la suite obtenue à l’aide d’une “interpolation multi-trame”. Cette dernière utilise les fonctions d’interpolation proposées par Mac Aulay et Quatieri dans la synthèse sinusoïdale d’un signal de parole [13] : Si la kime _{trame contient des fréquences difficiles à résoudre, les}

amplitudes et les phases correspondantes sont interpolées entre la trame (k − q) et la trame (k +p) où p et q sont choisis de telle sorte que leurs paramètres corres- pondants sont résolus. Les fonctions d’interpolation utilisées pour les amplitudes et les phases sont respectivement de type linéaire et cubique. Ces dernières sont présentées par la suite, dans le paragraphe (eq. 1.5.1) consacré à la synthèse har- monique.

• Analyse “Stationary Least squares”

Initialement développée dans un contexte de codage de parole, une autre mé- thode qui cherche à prendre en compte le phénomène d’interférence harmonique pour l’estimation des amplitudes et phases du modèle sinusoïdal fût proposée par Silva et Almeida [34] : Pour des fréquences harmoniques connues, ils développent une procédure d’analyse appelée “Stationary Least squares” (SLS). Cette dernière résout un système d’équations linéaires faisant intervenir des termes de corréla- tion entre spectre du signal composite et transformée de la fenêtre d’analyse. Afin de réduire fortement le coût de calcul, Silva et Almeida diagonalisent la ma- trice du système en négligeant les interférences entre harmoniques séparées d’une valeur supérieure à un certain seuil fixé.

Ils appliquent finalement cette méthode à la séparation de deux locuteurs : les interférences harmoniques pour une différence fréquentielle supérieures à 300Hz sont négligées. Pour les harmoniques très proches (≤ 10Hz), les paramètres sont estimés comme si une unique harmonique était présente, puis l’amplitude de cette harmonique pour chacune des sources, est déterminée à partir des estimations faites sur les trames précédentes.

Des tests d’écoute informels montrent alors une amélioration de l’intelligibilité pour les signaux ainsi synthétisés. Elle se traduit notamment par le fait que le si- gnal interférant est complètement inaudible dans l’écoute du signal cible et seules des distorsions de caractère tonal sont finalement audibles .

• Couplage de trois stratégies de séparation

Toujours dans le cas de deux signaux voisés, Maher a développé dans [12] trois stratégies de séparation des paramètres, qu’il utilise de façon complémentaire . Toutes visent à déterminer la contribution la plus probable de chaque source à partir du spectre court terme du signal composite.

Ainsi après avoir estimé les fréquences fondamentales de chaque voix par la méthode du Two-Way-Mismatch (cf. paragraphe (eq. 1.3.1)), les partiels suscep- tibles d’être "en collision" avec des partiels du second signal sont repérés. L’espace minimum entre partiels adjacents est déterminé, puis les différentes stratégies sont utilisées comme suit :

– si un partiel est à au moins 50 hz de tout autre partiel, la composante cor- respondante est supposée "non-corrompue".

– si deux partiels sont séparés de moins de 50 Hz, mais l’écart entre les deux reste supérieur à 25 Hz, une première stratégie de séparation est appliquée. Elle s’appuie sur la résolution d’un jeu d’équations linéaires similaire à celui de Quatieri et Danisewicz. La différence est que la matrice eH utilisée par Maher dans le système (eq. 1.37), inclue seulement l’effet des transformées W(f) des fréquences les plus proches, plutôt que de tenir compte de l’en- semble des W(f).

– si les deux partiels sont séparés de moins de 25 Hz, une analyse modélisant le phénomène de battement est utilisée.

– cette seconde stratégie est limitée et n’est plus valable lorsque la collision traitée est inférieure à deux périodes de battement. Dans ce cas une troi- sième stratégie de séparation qui utilise des formes spectrales prédéfinies est appliquée. Elles correspondent à des modèles pré-calculés à partir de l’enveloppe spectrale d’instruments ou de voix.

• Lissage spectral

Une troisième méthode d’estimation des amplitudes et phases, au sens des moindres carrés a dernièrement été proposée par Virtuanen et Klapuri dans le cadre de la séparation de signaux musicaux [27]. Supposant que l’enveloppe spec-

1.4. Des techniques pour améliorer les estimations 37 trale des sources étudiées est continue, ces derniers proposent d’utiliser des mo-

dèles d’enveloppe pour obtenir les amplitudes des partiels corrompus :

Les composantes trop proches sont détectées en fixant une distance fréquentielle limite, puis les amplitudes des partiels se recouvrant sont lissées à l’aide de mo- dèles proches du spectre idéal.

Dans une première étude [27], Klapuri et Virtanen proposent de lisser le spectre d’amplitude sur une échelle fréquentielle en bandes critiques détaillée dans [33]. Par la suite, ils proposent d’utiliser différents types de modélisation linéaire du vecteur d’amplitudes. Les modèles sont alors construits en introduisant des trans- formations matricielles. elles permettent de passer d’un espace sous-dimensionné (car les amplitudes estimées pour des harmoniques se recouvrant ont été précé- demment écartées) à un espace de dimension Kn (égal au nombre d’harmoniques

du nime _{signal source). Ainsi dans [28], différentes matrices ont été comparées :}

la matrice identité, une matrice banc de filtres, une matrice polynomiale et une matrice de type transformée de Fourier.

Appliqué à des polyphonies contenant de 2 à 6 voix, dont les fréquences fonda- mentales varient entre 65 et 2100 Hz, ils obtiennent par la première méthode de lissage proposée, une bonne qualité sonore des signaux synthétisés après sépara- tion. La comparaison des modèles d’enveloppe spectrale améliorent ces résultats pour les polyphonies les plus complexes, sauf dans le cas de la transformation polynomiale.