Choix d’un critère de sélection

On s’intéresse ici plus particulièrement à l’étude du critère de sélection. Ce dernier est utilisé pour déterminer l’ordre harmonique d’une fréquence estimée

2.3. Etude de la méthode d’estimation 73

méthode coût

principe du MDL (161 × 21) +(161 × 21)= 6762 (Kay & Nagesha)

principe (161 × 1) + (5 × 21)= 3486 du critère d’ordre

Tab. 2.3 – Complexité de la méthode : comparaison avec la méthode initiale de Kay et Nagesha [41].

par la méthode des Moindres Carrés.

Les simulations présentées dans le paragraphe (2.3.3), utilisent le critère de Rissanen. Elles montrent une diminution notable des sous-harmoniques détectées, mais le critère ne permet pas de réduire à zéro ce taux de détection.

Cette constatation reste en accord avec les résultats théoriques du critère MDL, selon lesquels il aurait tendance à surestimer l’ordre d’un modèle. Pour le modèle CARDH, une surestimation du nombre d’harmonique se traduit alors par une fréquence estimée égale à une sous-harmonique. On peut alors supposer que le choix du critère de Rissanen pour l’estimation de la fréquence fondamentale n’est pas optimal.

On se propose donc d’étudier un second type de critère, afin d’améliorer la dé- tection de l’ordre harmonique. Les expressions des deux critères, en fonction du nombre d’observations N sont rappelées dans le tableau suivant :

critère MDL Hannan-Quin β 0.5 ln N 2c × ln(ln N ), c > 1

Tab. 2.4 – Facteur de pénalité β pour les critères de Rissanen et d’Hannan-Quinn. La figure (Fig. 2.10) présente la valeur de la pénalisation en fonction du nombre de paramètres d’un modèle pour le critère de Hannan-Quinn où le coefficient β est tel que 2c = {1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4} et pour le critère de Rissanen.

Les deux critères sont équivalent pour 2c ≈ 1.68.

Dans la suite, le principe du critère d’ordre est appliqué selon la méthode pré- sentée au paragraphe (2.3.1).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 100 200 300 400 500 600 700

Pénalisation en fonction du nombre de paramètres du modèle

nombre de paramètres (Q)

Pénalisation (Q

β

)

2c

Fig. 2.10 – Pénalisation en fonction du nombre de paramètres du modèle : (-) critère de Rissanen - (· · · ) critère de sélection du type "Hannan-Quinn" pour 2c = {1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}

• Cas du signal harmonique dans un AR(10)

Afin de rendre compte des différents comportements des critères, on détermine pour 2c = {1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}, les pourcentages de fréquences fondamentales, de sous-harmoniques et de sur-harmoniques estimées par la méthode basée sur le cri- tère d’ordre. Les figures (Fig. 2.11) et (Fig. 2.12) présentent les résultats obtenues en fonction du RSB, pour deux mélanges différents. Les fréquences fondamentales réduites de la partie harmonique sont respectivement f0 = 0.0945 et f0 = 0.024.

La valeur 2c et plus précisément le critère, est alors choisie de telle sorte que le pourcentage de fréquences fondamentales estimées soit maximum, c’est-à-dire que l’on cherche à minimiser la détection de sous-harmoniques due à une péna- lisation trop faible de la log-vraisemblance (eq. 2.22), ainsi que la détection de sur-harmoniques due à une pénalisation trop forte. Les résultats obtenus pour les différentes pénalisations, montrent que le cas 2c = 3 permet d’obtenir le meilleur compromis entre les détections de sous-harmoniques pour f0 = 0.0945 et de sur-

harmoniques pour f0 = 0.024.

Il également possible de comparer la répartition des fréquences estimées présentée sur la figure (Fig. 2.11), a celle obtenue par l’estimateur de Kay et Nagesha et illustrée par la figure (Fig. 2.3). Ainsi, si les ambiguïtés d’octave ne sont pas prises en compte, les deux estimations sont équivalentes pour des RSB supérieurs à 0 dB. En dessous de cette valeur, les performances de notre méthode apparaissent un peu moins bonnes. Ce résultat s’explique par l’introduction de la méthode des Moindres Carrés, dont les performances se dégradent pour ces faibles valeurs de RSB (cf. paragraphe (2.3.4)).

2.3. Etude de la méthode d’estimation 75

−10 −5 0 5 10 15 20 25 30

0 50 100

pourcentage de fondamentales et de sous−harmoniques estimées en fonction du terme de pénalité du critère Hannan−Quinn

β = 1.5ln(ln(N)) f₀= 0.094 f₀ / 2 f₀ / 3 f₀ / 4 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 β =2 ln(ln(N)) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 RSB (dB) β = 3 ln(ln(N)) a) b) c) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100

pourcentage de fondamentales et de sous−harmoniques estimées en fonction du terme de pénalité du critère de sélection Hannan−Quinn

β =3 ln(ln(N)) f₀=0.094 f₀ / 2 f₀ / 3 f₀ / 4 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 β =3.5 ln(ln(N)) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 RSB (dB) β =4 ln(ln(N)) d) e) f)

Fig. 2.11 – Pourcentage de fréquences fondamentales et de sous-harmoniques estimées en fonction du RSB. Cas d’un signal harmonique de fréquence fonda- mentale f0 = 0.0945 dans un bruit AR et pour différents critères de sélection : a)

2c = 1.5 - b) 2c = 2 - c) 2c = 2.5 - d) 2c = 3 - e) 2c = 3.5 - f) 2c = 4.

−10 −5 0 5 10 15 20 25 30

0 50 100

pourcentage de fondamentales et de sur−harmoniques estimées en fonction du terme de pénalité du critère Hannan−Quinn

β =1.5 ln(ln(N)) f₀=0.024 f₀× 2 f₀× 3 f₀× 4 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 β = 2 ln(ln(N)) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 RSB (dB) β = 2.5 ln(ln(N)) a) b) c) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100

pourcentage de fondamentales et de sur−harmoniques estimées en fonction du terme de pénalité du critère Hannan−Quinn

β =3 ln(ln(N)) f₀=0.024 f₀× 2 f₀× 3 f₀× 4 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 β =3.5 ln(ln(N)) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 RSB (dB) β =4 ln(ln(N)) d) e) f)

Fig. 2.12 – Pourcentage de fréquences fondamentales et de sous-harmoniques estimées en fonction du RSB. Cas d’un signal harmonique de fréquence fonda- mentale f0 = 0.024 dans un bruit AR et pour différents critères de sélection : a)

−100 −5 0 5 10 15 20 25 30 5

10 15 20

a) nombre moyen de coefficients AR estimés en fonction du terme de pénalité du critère Hannan−Quinn

nombre de coefficients 2 c= 1.5 2 c= 2 2 c= 2.5 2 c= 3 2 c= 3.5 2 c= 4 −100 −5 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20

b) nombre moyen de coefficients AR estimés en fonction du terme de pénalité du critère Hannan−Quinn

RSB (dB) nombre de coefficients f 0 = 0.0945 f 0 = 0.024

Fig. 2.13 – Nombre moyen de coefficients AR estimés par la méthode du critère d’ordre, lorsque la fréquence fondamentale du signal source est correctement es- timée. Cas d’un signal harmonique dans un bruit AR (P = 10) : a) f0 = 0.0945

- b) f0 = 0.024.

regarder l’influence du critère de sélection sur le nombre de coefficients autoré- gressifs estimé. Les résultats sont illustrés sur la figure (Fig. 2.13).

• Cas d’un mélange de deux signaux harmoniques

Pour un mélange harmonique dont les fréquences fondamentales sont f01 =

0.0945 et f02= 0.074, on détermine à nouveau le pourcentage de fréquences fon-

damentales et de sous-harmoniques estimées, lorsqu’un critère de sélection du type Hannan-Quinn est utilisé. Le terme de pénalité appliqué est tel que 2c = 3. Les pourcentages obtenus, ainsi que le nombre moyen de coefficients AR estimé, en fonction du RSS des deux signaux, sont présentés sur la figure (Fig. 2.14). La fréquence estimée par la méthode basée sur le critère d’ordre, permet d’ob- tenir l’une des deux fréquences fondamentales, quelque soit la puissance entre les deux sources. En général, la fréquence fondamentale obtenue correspond au signal prédominant du mélange.

2.4. Conclusion 77