Performance de l’estimateur LS

Comme nous avons vu précédemment, l’hypothèse asymptotique suppose que pour un nombre d’observations N grand, l’estimation des paramètres harmo- niques du modèle CARDH peut être obtenue sans prendre en compte les para- mètres de bruit. Dans cette approximation, on peut alors substituer l’estimateur du Maximum de Vraisemblance de la fréquence fondamentale (ML) par celui de la méthode des Moindres Carrés (LS). Ce paragraphe illustre les performances de ces deux estimateurs lorsqu’ils sont déterminés sur des fenêtres de longueur égale N = 200.

• Cas d’un mélange "signal harmonique dans un AR (10)"

Les performances des estimateurs LS et ML sont illustrées par l’intermédiaire du biais (eq. 2.26) et de l’écart quadratique moyen (eq. 2.27) : la figure (Fig. 2.6) comparent les résultats obtenus pour les deux méthodes, dans le cas d’un signal harmonique de fréquence fondamentale f0 = 0.053 dans un bruit AR.

L’estimateur ML suppose le nombre de paramètres autorégressifs p = 10 connu, tandis que pour la méthode des Moindres Carrés, qui ne prend pas en compte la partie bruitée, on a p = 0. Les RSB varient de −10 dB à +30 dB.

−10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028

fréquence réduite moyenne estimée par la méthode des moindres carrés (LS)

moyenne f₀ / 2 = 0.0265 estimé LS estimé ML −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 −400 −300 −200 −100 0

écart quadratique moyen entre l’estimé fréquentiel LS et la sous−harmonique f 0 / 2=0.0265 RSB (dB) rmse (dB) estimé LS estimé ML

Fig. 2.6 – Moyenne et écart quadratique moyen de la fréquence estimée par la méthode des Moindres Carrés (·) et le Maximum de Vraisemblance (⋆) en fonction du RSB(dB). Cas d’une fondamentale recherchée dans l’intervalle [0.02 0.1]. Application à un signal harmonique dans un AR caractérisé par f0 = 0.0053

et p = 10.

Tout comme l’estimateur ML, l’estimateur LS est capable de déterminer une valeur sous-harmonique de f0. Il reste tout de même un peu moins performant

que l’estimateur ML pour des RSB inférieurs à 3 dB. Ce résultat est quelque peu attendu, puisque l’estimateur LS ne prend pas en compte la partie bruitée du modèle, que l’on ne peut cependant plus négliger pour de tels niveaux de bruit.

2.3. Etude de la méthode d’estimation 69 Nous avons vu précédemment que l’intervalle de recherche de la fréquence fon-

damentale utilisé est [0.02,0.1]. Puisque la probabilité d’estimation d’une valeur sous-harmonique est supérieure à celle de la fréquence fondamentale, on peut ré- duire cet intervalle fréquentiel pour rechercher directement une sous-harmonique. Dans ce cas, il est alors également intéressant de regarder la moyenne et l’écart quadratique moyen obtenu lorsque l’estimation par les Moindres Carrés est ap- pliqué à un intervalle fréquentiel réduit à une octave : les fréquences que l’on cherche à estimer sont comprises entre 0.02 et 0.04. Afin d’obtenir une précision équivalente à l’estimation LS précédente, le pas entre deux fréquences est égale- ment réduit.

La figure (Fig. 2.7) présente alors la moyenne et l’écart quadratique obtenu pour l’intervalle de recherche [0.02,0.04], en fonction du RSB.

Les résultats obtenus sont équivalents à ceux obtenus sur l’intervalle [0.02, 0.1] et montrent ainsi qu’il est possible d’estimer directement une sous-harmonique de la fréquence fondamentale par la méthode des Moindres Carrés, en réduisant l’intervalle de recherche à l’octave [0.02,0.04].

−10 −5 0 5 10 15 20 25 30 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028

fréquence réduite moyenne estimée sur l’octave [0.02;0.04] pour un signal sinusoidal (f

0=0.053) dans un AR(10) moyenne f₀ / 2 = 0.0265 estimé LS −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 −400 −300 −200 −100 0 RSB (dB) rmse (dB)

écart quadratique moyen entre la fréquence estimée et la sous−harmonique d’ordre 2 pour un signal sinusoidal (f

0=0.053) dans un AR(10)

estimé LS sur l’octave [0.02;0.04]

Fig. 2.7 – Moyenne et écart quadratique moyen de la fréquence estimée par la méthode des Moindres Carrés (·) en fonction du RSB(dB). Cas d’une fondamen- tale recherchée dans l’intervalle [0.020.04]. Application à un signal harmonique dans un AR caractérisé par f0 = 0.0053 et p = 10.

• Cas d’un mélange de deux sources harmoniques

Dans cette application, on considère deux mélanges harmoniques différents : le premier est un mélange de deux signaux harmoniques de fréquences fondamen- tales assez éloignées f01= 0.074 et f02 = 0.0945, tandis que le second correspond

à deux fréquences fondamentales proches f01= 0.092 et f02= 0.0945.

Leur proximité est à prendre au sens de la résolution de Fourier : pour N = 200 observations, l’écart entre les deux dernières fréquences reste inférieur à la ré- solution (1/N ) et ces dernières ne peuvent alors être résolues par des méthodes basées sur la transformée de Fourier.

La figure (Fig. 2.8) présente le pourcentage des sous-harmoniques estimées par la méthode des Moindres Carrés en fonction du rapport de puissance des deux signaux harmoniques, noté RSS (dB). Ce dernier est défini à partir des puissances P1 et P2 respectives aux fréquences fondamentales f01 et f02 comme :

RSS (dB) = 10 log₁₀(P1 P2

) (2.28)

Le pourcentage est calculé pour chaque ordre sous-harmonique {1, 2, 3, 4} et une fréquence est supposée correctement estimée lorsqu’elle est égale à l’une des deux sous-harmoniques (eq. 2.25). −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 0 20 40 60 80 100

a) répartition des sous−harmoniques estimées par la méthode des moindres carrés pour un mélange harmonique (f

0 1 =0.074 & f 0 2 =0.0945) pourcentage (%) ordre 1 ordre 2 ordre 3 ordre 4 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 0 20 40 60 80 100

b) répartition des sous harmoniques estimées par la méthode des moindres carrés pour un mélange harmonique (f

0 1 =0.092 & f 0 2 =0.0945) RSS (dB) pourcentage (%) ordre 1 ordre 2 ordre 3 ordre 4

Fig. 2.8 – Pourcentage de fondamentales et de sous-harmoniques estimées par la méthode des Moindres Carrés. Cas de mélanges de 2 sources harmoniques où : a) f01= 0.074 et f02= 0.0945. b) f01= 0.092 et f02= 0.0945.

2.3. Etude de la méthode d’estimation 71

L’estimateur des Moindres Carrés permet l’estimation correcte de l’une des fréquences fondamentales dans un mélange harmonique de deux sources et ce même pour des fréquences fondamentales proches.

En règle général, c’est-à-dire pour des RSS 6= 0dB, l’estimé LS correspond au signal harmonique prédominant dans le mélange.

• Cas d’un mélange de 5 sources harmoniques

Le cas d’un mélange de 5 sources, dans lequel le rapport de puissance entre la source prédominante et l’ensemble des quatre autres sources varient de 0 dB à 30 dB est ici traité. Cette simulation a pour but de montrer que l’estimation d’une fréquence fondamentale ou de l’un de ses sous-multiples par la méthode des Moindres Carrés reste performante en présence d’autres sources harmoniques. La figure (Fig. 2.9) présente alors le pourcentage de fréquences estimées corres- pondant à la source de plus grande énergie dans le mélange, en fonction du rap- port de puissance RSS (dB). Les fréquences du mélange sont {f01 = 0.0230, f02 =

0.0255, f03 = 0.0305, f04 = 0.0355, f05 = 0.0405}. f01 est choisie comme la fré-

quence fondamentale du signal prépondérant et le rapport de puissance RSS est donné par :

RSS (dB) = 10. log10(

P1

Pt

) (2.29)

où Pt est la puissance de l’ensemble des 4 autres signaux.

La figure (Fig. 2.9) met en évidence la possibilité d’estimer la fréquence fon- damentale d’une source, ou bien l’une de ses sous-harmoniques, même lorsque cette source est contenue dans un mélange allant jusqu’à 5 sources harmoniques et dont le RSS reste faible.

0 5 10 15 20 25 30 0 20 40 60 80 100 120 Pourcentages (%) RSS (dB)

Répartition des sous−harmoniques estimées par la méthode des moindres carrés pour la source prédominante dans un mélange de 5 sources harmoniques

ordre 1

Fig. 2.9 – Pourcentage de fondamentales et de sous-harmoniques estimées pour la source prédominante (f01) d’un mélange de 5 sources harmoniques par la méthode

des Moindres Carrés (LS) : f01 = 0.0230, f02 = 0.0255, f03 = 0.0305, f04 = 0.0355

et f05 = 0.0405.