La modélisation sinusoïdale

Les méthodes d’estimation basées sur la modélisation sinusoïdale sont au- jourd’hui devenues des plus courantes et sont par exemple très utilisées dans le

1.3. L’estimation de fréquences fondamentales multiples 25 Codage ou l’Analyse/Synthèse. L’idée est d’introduire un “à priori” sur l’harmo-

nicité du signal, en le modélisant par une somme de sinusoïdes.

Les premiers gros travaux datent des années 80 et sont dûs à Quatieri et Mac Au- lay : Ils s’intéressent alors à l’analyse et la synthèse d’un unique signal de parole voisée [19]. Ce modèle trés performant, est étendu peu après au cas de mélanges voisés par Quatieri et Danisewicz, chaque source étant modélisée par une somme de sinusoïdes caractérisées par leurs fréquences, amplitudes et phases[20].

• L’estimateur des moindres carrés

Soit un signal analysé sur une fenêtre de longueur N, pour laquelle l’hypothèse de stationnarité est vérifiée, la modélisation sinusoïdale est donnée par :

s(n) =

M

X

k=1

(Akcos(2πfkn) + Bksin(2πfkn)) (1.22)

Les paramètres du modèle, supposés constants, sont alors les M couples d’ampli- tudes {Ak, Bk} et les fréquences correspondantes fk.

Hypothèse d’harmonicité : Il est possible d’introduire une hypothèse sup- plémentaire sur l’harmonicité du modèle, en supposant que les fréquences sont en relation harmoniques telles que fk = k ×f0. f0 est alors la fréquence fondamentale

du modèle.

Cette hypothèse à l’avantage de diminuer le nombre de paramètres à estimer, mais rend également le modèle moins flexible et dans certains cas plus irréaliste, comme par exemple pour des signaux musicaux qui sont clairement caractérisés par leur inharmonicité, tel que le piano.

Application aux mélanges : Une manière d’estimer les paramètres harmo- niques des modèles de sources est d’utiliser la méthode d’estimation par les moindres carrés. Cette dernière minimise l’écart quadratique entre valeurs ob- servées et valeurs attendues. Pour un mélange x(n), constitué de Ns sons harmo-

niques, on a alors ; J(Aik, B i k, f i k) = N_X−1 n=0 |x(n) − Ns X i=1 si(n)|2 (1.23)

Sous forme matricielle cette expression devient : J(Aik, B

i k, f

i

k) = |x − Ωµ|2 (1.24)

x est le vecteur des N données d’observation. µ= [µ1, µ2, · · · , µNs]

T _{est telle que}

le vecteur des amplitudes µi s’écrit :

µi = [Ai1, .., AiMi, B

i

1, .., BMi i] (1.25)

Ω est la matrice des cosinus-sinus dépendant des fréquences {fi

k}. son expression

est mise sous la forme Ω = [ Ω1Ω2 · · · ΩN s] avec :

Ωi(f) =      cos(2πfi

1(p)) ··· cos(2πfMi (p)) sin(2πf1i(p)) ··· sin(2πfMi (p))

... ... ... ... ...

cos(2πfi

1(p+1)) ··· cos(2πfMi (p+1)) sin(2πf1i(p+1)) ··· sin(2πfMi (p+1))

... ... ... ... ... cos(2πfi 1(N −1)) ··· cos(2πfMi (N −1)) sin(2πf i 1(N −1)) ··· sin(2πfMi (N −1))      (1.26)

L’estimation par la méthode des moindres carrés des amplitudes est obtenue à l’aide :

bµ = (ΩH_Ω)−1_ΩH_{x (1.27)}

Les fréquences fi

k sont estimées en réintroduisant bµ dans la fonction coût (eq.

1.24). On montre alors que la minimisation de l’écart quadratique par rapport aux fréquences revient à maximiser la quantité suivante :

K(fi

k) = x [Ω(ΩHΩ)−1ΩH] x (1.28)

et on a :

bfi_k = argmax[K(fi

k)] (1.29)

La matrice (ΩH_{Ω) est inversible lorsque les fréquences {f}i

k} sont toutes diffé-

rentes, car les vecteurs colonnes de Ω sont ainsi indépendants. L’estimation par la méthode des moindres carrés ne peut donc s’appliquer telle quelle pour des

1.3. L’estimation de fréquences fondamentales multiples 27 sources possédant des harmoniques communes.

La fonction (eq. 1.28) est une fonction multivariables qui possède en général plu- sieurs maxima locaux et qui rend le problème d’optimisation difficile à résoudre. Toutefois, on peut montrer que pour des écarts fréquentiels supérieurs à la limite de Fourier, la méthode est équivalente à l’utilisation dans le domaine fréquentiel du périodogramme.

En pratique, les fréquences fondamentales sont estimées pour chaque segment en localisant les maxima de leur FFT, et les amplitudes correspondantes sont dé- terminées par (eq. 1.27). On notera d’ailleurs que la simplicité d’utilisation de la FFT a contribué à la popularité de cette méthode d’estimation.

Une des premières utilisations de cet estimateur pour la séparation de deux locuteurs, a été proposée par Quatieri et Danisewicz [20]. Ils s’intéressent plus particulièrement aux performances de l’estimation des moindres carrés en la com- parant à deux autres méthodes : la première estime tous les paramètres (ampli- tudes et fréquences) du modèle à l’aide du périodogramme, tandis que la seconde méthode estime les amplitudes par échantillonnage fréquentiel du spectre du si- gnal à partir de fréquences supposées connues.

Les conclusions de cette étude comparative sont obtenues par le biais de tests d’écoute. Ces derniers montrent que l’approche moindres carrés avec ou sans in- formation a priori sur les fréquences, apparaît dans les deux cas beaucoup plus performante que la méthode d’échantillonnage fréquentielle. Lorsqu’aucune infor- mation a priori n’est disponible, c’est-à-dire lorsque l’estimation de la fréquence fondamentale et de l’amplitude sont toutes deux requises, la suppression de l’in- terférence apparaît réalisable pour des sources de même intensité.

Pour déterminer les pertes de performance dues à l’estimation de la fréquence fondamentale elle-même, une autre série de tests a été effectuée, comparant ce cas à celui intégrant la connaissance a priori de la fréquence fondamentale. Au- cune différence essentielle dans la suppression n’a été observée, mais d’un point de vue perceptif l’estimation semble rendre le signal désiré légèrement moins naturel.

A la suite du travail de Quatieri et Danisewicz , d’autres méthodes utili- sant l’analyse-synthèse sinusoïdale ont été proposées. Etant donné que la qualité sonore des signaux séparés va dépendre très fortement de l’estimation des pa- ramètres de modèle, des estimateurs de fréquence fondamentale se voulant plus performants que celui de la minimisation par les moindres carrés ont été présen- tés :

En 1997, Benincasa propose d’améliorer la méthode de séparation de Quatieri en déterminant les paramètres moindres carrés du modèle à l’aide d’une méthode d’optimisation non-linéaire. Il effectue alors cette dernière en développant une programmation quadratique séquentielle [21].

• La modélisation quasi-sinusoïdale

En 1993, Chazan, Stettiner et Malah proposèrent une méthode de séparation qui utilise non plus un modèle exactement périodique, mais un modèle où la fréquence fondamentale peut varier linéairement dans l’intervalle d’analyse [22]. Cette hypothèse de quasi-périodicité permet d’utiliser des trames de signal plus longues tout en palliant les problèmes d’inharmonicité des signaux de paroles. L’expression du modèle quasi-périodique est alors donnée par :

hk(t) = L(φ(t))

X

k=1

Ckexp (jkφ(t)) (1.30)

φ(t) est une fonction de distorsion. Sa dérivée représente la fréquence fondamen- tale instantanée ϕ(t) du signal voisé :

φ(t) = 1₂αt2_{+ 2πβt}

ϕ(t) = αt + β