En se basant sur une étude bibliographique, nous avons choisi de mener notre étude avec deux modèles énergétiques différents que nous comparerons par la suite : les simulations ab initio et avec un potentiel empirique.
1.4.1 Les calculs Ab initio
Nous utilisons pour les calculs ab initio le code pwscf (Plane-Wave Self Consistent Field) qui fait partie de la suite quantum espresso [145]. Ce code est basé sur la théorie de la fonctionnelle de la densité où les électrons de valence sont décrits par une base d’ondes planes. Notre choix du code pwscf est basé sur la compa- raison établie par Clouet [10] entre ce code et le code siesta où les électrons de valence sont décrits par une base localisée simple correspondant à une combinaison linéaire d’orbitales pseudo-atomiques. Ces travaux montrent que pwscf permet une meilleure précision et présente une meilleure parallélisation.
Nos calculs ont été faits dans l’Approximation du Gradient Généralisé (GGA) avec la fonctionnelle d’échange et de corrélation de Perdew, Burke et Ernzerhof (PBE). Nous avons préféré l’utilisation de la GGA plutôt que la LDA (Approxima- tion de la Densité Locale) du fait que cette approximation aboutit à un meilleur accord avec l’expérience pour la prédiction des constantes élastiques et des para- mètres de maille [146].
Nous utilisons l’approximation du pseudo-potentiel pour les électrons de cœur tandis que les électrons de valence sont décrits à l’aide d’une base d’ondes planes en utilisant une énergie de coupure de 28 Ry dans le cas du zirconium et de 48 Ry dans le cas du titane. Les pseudo-potentiels utilisés pour modéliser l’oxygène, le zirconium et le titane sont de type ultra-doux de Vanderbilt avec les électrons de la couche 3s et 3p dans le cas du titane et 4s et 4p dans le cas du zirconium, traités comme semi-cœur. Ces pseudo-potentiels ont donné un bon accord avec l’expérience pour l’étude des dislocations dans le zirconium [10] et pour l’étude de la diffusion de l’oxygène dans le titane [147].
Pour la densité d’états électroniques, nous utilisons une fonction d’élargissement de type Methfessel-Paxton avec un élargissement de 0.3 eV. Tous les calculs sont faits avec un maillage de points k de 14×14×8 pour la cellule primitive et avec une densité de points k équivalente pour les boîtes de simulation de taille plus grande. Les atomes sont relaxés jusqu’à ce que toutes les composantes des forces atomiques soient inférieures à 10 meV/Å voire 2 meV/Å pour les calculs nécessitant une convergence stricte. L’influence de ce critère de convergence sera discutée plus tard pour certains calculs. Ces différents paramètres de calculs ont été optimisés pour l’étude de la dislocation vis dans le zirconium dans de précédents travaux [10].
CHAPITRE 2. OUTILS DE MODÉLISATION 1.4.2 Les calculs en potentiel empirique
Pour les calculs effectués en potentiel empirique dans le zirconium, nous uti- lisons le potentiel de Mendelev # 3 [148]. Ce potentiel est dérivé de la méthode EAM (pour Embedded Atom Method) développée par Daw et Baskes [105]. Il s’agit d’un potentiel dit à plusieurs corps où les forces d’interaction entre deux atomes dépendent de la distance entre ces deux atomes mais aussi de l’environnement local au travers d’une fonction d’immersion non-linéaire. Les paramètres de ce potentiel ont été ajustés pour reproduire entre autres les valeurs ab initio des énergies de fautes d’empilement prismatique et basale dans le zirconium calculées par Domain et al. [149].
Les calculs ont été faits avec un critère d’arrêt sur les forces de 0.1 meV/Å. On utilise un algorithme de minimisation du type "gradient conjugué" pour tous les calculs sauf les calculs de barrières réalisés avec la méthode NEB où cette dernière fait appel à un algorithme de minimisation du type "trempe".
Table 2.1 – Propriétés d’un cristal parfait de zirconium calculées par différents modèles énergétiques de simulations atomiques et comparées aux résultats expéri- mentaux : paramètre de maille a, rapport c/a de la maille hexagonale, constantes élastiques relaxées Cij [150] et contribution élastique interne aux constantes élas-
tiques δC12 [10].
Zr Ti
Expt. EAM PWSCF Expt. PWSCF a (Å) 3.232 3.234 3.230 2.951 2.936 c/a 1.603 1.598 1.601 1.585 1.583 C11 (GPa) 155. 142. 140. 176.1 168.7 C33 (GPa) 172. 168. 168. 190.5 191.9 C12 (GPa) 67. 75. 70. 86.9 89.3 C13 (GPa) 65. 76. 65. 68.3 77.3 C44 (GPa) 36. 44. 26. 50.8 42.5 C66 (GPa) 44. 33.5 35. 44.6 44.6 δC12 (GPa) 5.33 11.5
Avant de commencer, ces deux méthodes ont été testées pour calculer les constantes élastiques et les paramètres de maille du zirconium dont les résultats sont présentés dans le tableau 2.1.
2
Calculs de faute d’empilement généralisée
Le but des calculs de faute d’empilement généralisée dans un plan cristallogra- phique quelconque est d’abord d’étudier la possibilité de dissocier une dislocation dans ce plan, grâce à l’existence d’une faute d’empilement stable dans ce même plan. De plus, la détermination de l’énergie de faute permet une description approchée
CHAPITRE 2. OUTILS DE MODÉLISATION
du cœur de la dislocation ainsi que de la contrainte de Peierls pour le glissement dans le plan étudié grâce au modèle de Peierls-Nabarro [151]. Ainsi, les γ-surfaces peuvent permettre une comparaison des différents systèmes de glissement potentiels ainsi qu’une prédiction du système le plus facile à activer.
Figure 2.1 – Modèle de construction des boîtes de simulation pour les calculs de faute d’empilement généralisée. Les vecteurs de périodicité minimale ~u1 et ~u2
définissent la surface de la faute. Le vecteur ~u3 définit la périodicité des boîtes de
simulation hors du plan de la faute. La hauteur h est la distance qui sépare deux plans de faute. Le repère (x,y,z) correspond au repère utilisé pour la faute prismatique.
Cette méthode a été développée initialement pour l’étude des fautes d’empile- ment stables dans les BCC [152]. La notion d’une surface γ repose sur la construction du profil de l’énergie d’une faute d’empilement généralisée dans un plan donné. La construction de cette surface se fait comme décrit sur la figure 2.1. En partant d’un cristal parfait, on définit un plan de coupe, et on fait glisser suivant ce plan les deux blocs l’un par rapport à l’autre suivant un vecteur de translation ~f [31]. Ce vecteur
~
f , appelé vecteur faute, sera une fraction d’un vecteur du réseau. Afin de maintenir le cristal dans la structure de la faute, la relaxation des atomes n’est permise que selon la direction perpendiculaire au plan de la faute. En répétant la même procé- dure pour différents vecteurs faute ~f on arrive à tracer une surface qui représente l’énergie de faute d’empilement par unité de surface pour un plan de coupe donné. Cette surface est appelée surface γ. Afin de pouvoir appliquer les conditions aux limites périodiques en n’introduisant qu’une seule faute dans la cellule, le vecteur de périodicité hors du plan de la faute sera modifié de la même quantité que le vecteur faute appliqué (voir Fig. 2.1). Ceci permet de ne pas introduire des surfaces libres dans la boîte de simulation. Les conditions aux limites périodiques entrainent une succession d’images périodiques de plans de fautes séparés par une distance h
CHAPITRE 2. OUTILS DE MODÉLISATION les uns des autres, où h correspond à la hauteur de la cellule. Cette hauteur doit être optimisée afin d’éviter les interactions éventuelles entre la faute et ses images périodiques sans conduire à un système contenant un très grand nombre d’atomes.
Afin de mieux comprendre l’usage et l’utilité de cette technique, deux exemples seront décrits ci-dessous où le plan prismatique et le plan basal seront étudiés dans le zirconium pur. Ces deux plans correspondent aux plans principaux de glissement observés dans les métaux HCP [20, 31].