Pour mod´eliser les processus sous-maille nous avons utilis´e un outil emprunt´e aux math´ematiques appliqu´ees : la description d’une fonction de densit´e de probabi- lit´e par un syst`eme de particules. La mod´elisation `a l’aide de syst`emes de particules est d´ej`a r´epandue dans certains domaines de recherche tels que la mod´elisation des syst`emes m´ecaniques (industrie automobile, a´eronautique, etc). En mod´elisation de l’atmosph`ere son usage est beaucoup plus r´ecent. Cette section est en partie un rappel de la pr´esentation que nous avons faite des syst`emes de particules dans la premi`ere partie du m´emoire.
Le syst`eme de particules est utilis´e ici pour d´ecrire la pdf des processus sous- maille. Les particules sont des r´ealisations de l’atmosph`ere simul´ee environnante. Elles transportent les caract´eristiques locales du fluide. Suivant la complexit´e du mod`ele d’´evolution, les particules peuvent transporter des vitesses, des concentra- tions, une temp´erature ou un taux d’humidit´e. Dans ces travaux sur la descente d’´echelle, le mod`ele d’´evolution est simple et ne d´ecrit que l’´evolution de la position et de la vitesse du vent. Les particules sont donc des couples position/vitesse en trois dimensions. En plus d’ˆetre des particules fluides, les particules utilis´ees sont ´egalement stochastiques. La repr´esentation particulaire du vent sous-maille permet donc de calculer les statistiques du vent, et notamment sa variance. A partir du champ de vent particulaire nous avons donc directement acc`es `a la TKE.
De pr´ec´edentes ´etudes ont d´ej`a explor´e les m´ethodes de descente d’´echelle sto- chastiques, d’un mod`ele en points de grille vers un syst`eme de particules. Nous pensons par exemple aux travaux de Bernardin et al. [15], [17]. L’approche que nous proposons est cependant diff´erente. Nous avons choisi de forcer les particules maille par maille en utilisant les champs de grande ´echelle, mais nous n’imposons pas de condition aux bords des mailles ou du domaine. Les particules vivent libre- ment `a l’int´erieur du domaine et peuvent passer d’une maille `a l’autre. Le syst`eme de particules contient ainsi des informations relatives aux diff´erentes ´echelles, des composantes locales du champ sous-maille aux composantes moyennes des grandes ´echelles apport´ees par le for¸cage et ´egalement r´esolue par le mod`ele en points de grille.
Le syst`eme de particules fournit une repr´esentation discr`ete du champ de vent sous-maille. Pour le comparer `a un champ un point de grille, nous moyennons les valeurs des particules qui sont contenues dans chaque maille. En moyennant sur une maille large, nous pouvons comparer le champ particulaire au champ du mod`ele
large et ainsi valider le comportement moyen des particules. En moyennant par maille fine, nous pouvons comparer le champ particulaire au champ haute r´esolution de r´ef´erence. Par exemple, le vent Vk dans une maille `a l’instant k est donn´e par
l’esp´erance suivante : Vk= E(Vk) = 1 N N X i=1 Vik
o`u N est le nombre de particules pr´esentes dans la maille et Vi
k repr´esente la vitesse
de la particule i.
3.4
Le mod`ele lagrangien stochastique
Pour que les particules soient des r´ealisations de l’atmosph`ere turbulence envi- ronnante, il faut d´ecrire leur ´evolution temporelle par un mod`ele physique. Leur ´evolution est donn´ee par un mod`ele local de turbulence. Nous utilisons le mod`ele lagrangien stochastique SLM d´ej`a pr´esent´e dans le chapitre 2, section 5.2. Ce mod`ele est inspir´e des travaux de Pope [104] et de Das et Durbin [35]. Il a ´et´e ´etudi´e en d´etails par Bossy et al., qui ont notamment d´emontr´e qu’il ´etait bien pos´e [23]. Le SLM a ´et´e introduit par Baehr en estimation de la turbulence [12], nous allons l’utiliser ici de mani`ere un peu diff´erente : les param`etres de contrˆole ne seront plus appris de l’observation, mais donn´es par le mod`ele en point de grille.
Le mod`ele SLM est coh´erent avec les lois K41 de Kolmogorov pour la turbu- lence du domaine inertiel [72]. Il d´ecrit l’´evolution de la position X et de la vitesse des particules en trois dimensions. La position ´evolue par int´egration de la vitesse. L’´evolution de la vitesse n’est pas r´egie par les mˆemes ´equations sur l’horizontale et sur la verticale. La vitesse est donc s´epar´ee en deux composantes, la vitesse horizon- tale 2D, V , et la vitesse verticale W . L’´evolution de la vitesse d´epend `a la fois des propri´et´es moyennes et des propri´et´es locales de l’atmosph`ere. Dans les ´equations d’´evolution, on trouve tout d’abord l’influence moyenne des grandes ´echelles `a tra- vers le gradient de pression ∇xp (pour la vitesse horizontale) et l’incr´ement moyen
de vitesse verticale ∆kW. Un op´erateur de moyenne locale, not´e < . > apparaˆıt dans
les ´equations. On le retrouve dans le second terme des ´equations, qui repr´esente la fluctuation locale du vent autour de sa moyenne. Le calcul de la moyenne locale sera rappel´e `a la section suivante. Pour la vitesse verticale on trouve ensuite un terme de flottabilit´e. Le dernier terme des deux ´equations est un terme de disper- sion repr´esent´e par un processus de Wiener. Ce processus de Wiener, not´e ∆B• est
normalis´e par le pas de temps.
Les ´equations du mod`ele SLM sont donc donn´ees par :
Xk+1 = Xk+ Vk δt+ σX∆Bk+1X Vk+1 = Vk− ∇xp δt − C1Kεkk [Vk− < V >] δt + √ C0.εk ∆Bk+1V Wk+1 = Wk+ ∆kW − C2Kεk k [Wk− < W >] δt + g βΓ θ k δt+ √ C0.εk ∆Bk+1W
o`u δt est le pas de temps du mod`ele haute r´esolution, g est la constante de gravit´e,
ε est le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente, abr´eg´e EDR, et K est
l’´energie cin´etique turbulente (TKE). Du cˆot´e des constantes, C0 est la constante de
Kolmogorov, et nous avons choisi C1 = C2 = 12+34C0 comme sugg´er´e par Pope [103].
Dans l’´equation d’´evolution de la position, le processus de Wiener est un terme de diffusion, d’´ecart-type σX.
Le terme de flottabilit´e g
βΓ
θ
k est ici mod´elis´e par une variable gaussienne centr´ee.
C’est un choix simple qui introduit un peu de variabilit´e. Une des prochaines ´etapes pour compl´eter le mod`ele SLM sera d’ajouter une ´equation d’´evolution de la temp´era- ture. Les effets li´es `a la flottabilit´e seront ainsi mieux mod´elis´es.
Le mod`ele SLM a deux param`etres de contrˆole par ´equation sur la vitesse : ε et ∇xppour la vitesse horizontale et ε, et ∆kW pour la vitesse verticale. En reconstruc-
tion de l’atmosph`ere, ces param`etres ´etaient calcul´es `a l’aide du vent reconstruit. En descente d’´echelle, la source d’information ext´erieure au syst`eme de particules utilis´ee pour fermer les ´equations du SLM est le mod`ele de grande ´echelle.
Nous avons calcul´e le gradient de pression ∇xp`a partir du champ de pression en
sortie du Meso-NH `a maille large. Pour l’EDR nous avons utilis´e la variable ”taux de dissipation” de Meso-NH. Nous avons utilis´e cette variable parce qu’elle ´etait directement disponible. Cependant, comme l’EDR est une variable diagnostique, obtenue `a l’aide d’un sch´ema de fermeture, ce choix est discutable. L’EDR apparaˆıt `a deux reprises dans les ´equations : une fois devant le terme de fluctuation et une autre dans la variance du terme de dissipation. Ce param`etre de contrˆole a donc une influence directe sur la dispersion du syst`eme de particules. Ici nous consid´erons que l’´energie se dissipe de mani`ere isotrope, l’EDR est le mˆeme sur les trois com- posantes du vent. En reconstruction de l’atmosph`ere nous n’avions pas d’hypoth`ese d’isotropie, et l’EDR variait d’une composante `a l’autre.
Pour l’´energie cin´etique turbulente K qui apparaˆıt dans les ´equations, nous vou- lons souligner que la TKE utilis´ee dans le mod`ele SLM ne vient pas du mod`ele en points de grille. Nous utilisons la TKE calcul´ee sur le syst`eme de particules. Dans ce calcul l’op´erateur de moyenne locale intervient.