Les param`etres turbulents EDR et TKE sont des variables du mod`ele lagran- gien stochastique utilis´ees pour l’´etape de pr´ediction. De mani`ere classique, ces pa- ram`etres sont estim´es en temps long : on utilise une moyenne temporelle sur plusieurs minutes. Dans nos travaux, les param`etres turbulents sont calcul´es en temps r´eel en utilisant le syst`eme de particules. Une moyenne spatiale instantan´ee remplace donc la moyenne temporelle. Les m´ethodes de calcul de l’EDR et de la TKE ont ´et´e intro- duites au chapitre 2. Dans ces travaux, nous nous sommes concentr´es sur la validation
des estimations de TKE. Les estimations d’EDR ne seront que bri`evement illustr´ees. Les estimations usuelles de la TKE `a partir d’observations de vent utilisent deux hypoth`eses physiques. La turbulence est suppos´ee stationnaire et ergodique [133]. Sous ces hypoth`eses la moyenne spatiale et la moyenne temporelle sont ´equivalentes [88]. Par cons´equent, l’´energie cin´etique turbulente est calcul´ee en utilisant la va- riance du vent V en trois dimensions sur un intervalle de plusieurs minutes T . Pour chaque boˆıte contenant trois observations du WindCube, la TKE classique est donn´ee par :
TKE = 1
T
PT
k=1(Vk− < V >T)2
o`u < . >T est la moyenne temporelle et Vk le vecteur vent `a l’instant k.
Comme les particules transportent les propri´et´es physiques de l’atmosph`ere, la moyenne et la variance spatiales du vent peuvent ˆetre estim´ees `a chaque pas de temps. Notre m´ethode de calcul pr´esente donc l’avantage d’all´eger les contraintes de stationnarit´e et d’ergodicit´e. Au lieu de supposer l’atmosph`ere turbulente station- naire durant dix minutes, nous supposons la stationnarit´e par intervalle de quatre secondes seulement. A chaque instant, la variabilit´e spatiale du vent est repr´esent´ee par le syst`eme de particules, la TKE peut donc ˆetre calcul´ee de la mani`ere suivante :
TKE(k) = 1 N PN i=1 <(V i k− < Vk >)2 >
o`u N d´esigne le nombre de particules par boˆıte, et < . > repr´esente la moyenne spatiale approch´ee par la moyenne sur les particules. Cette estimation de la TKE est calcul´ee `a chaque pas de temps k et dans chaque boˆıte en utilisant le vent recons- truit et les particules mises `a jour. Nous avons donc acc`es `a la fois `a la variabilit´e temporelle, mais ´egalement `a la variabilit´e spatiale de la turbulence.
Pour comprendre l’apport des techniques particulaires, les estimations de TKE obtenues avec les deux m´ethodes sont pr´esent´ees sur la figure 4.15. La figure illustre la TKE estim´ee sur une p´eriode de deux heures pour une boˆıte. La TKE classique est obtenue avec une moyenne temporelle sur dix minutes. La TKE estim´ee `a partir du syst`eme de particules est quant `a elle repr´esent´ee avec le pas de temps de quatre secondes. La TKE classique est donc repr´esent´ee par des paliers longs de dix minutes alors que la TKE estim´ee avec les particules est faite de pics. Cette figure illustre clairement l’apport de l’algorithme de reconstruction : la TKE ainsi estim´ee d´ecrit finement la variabilit´e temporelle de la turbulence. Ce niveau de pr´ecision n’est pas accessible par la m´ethode classique. L’intermittence de la turbulence montr´ee par la TKE particulaire semble r´ealiste. Cependant, l’information suppl´ementaire apport´ee par la reconstruction particulaire n´ecessite d’ˆetre valid´ee.
0 10 2 4 6 8 1 3 5 7 9 4 p.m. 5 p.m. 6 p.m. m2s-2
Figure 4.15 – S´eries temporelles de la TKE classique (noir) et estim´ee par l’algo- rithme de reconstruction (rouge), pour la journ´ee du 26/08/2010 de 16h `a 18h. La TKE classique est calcul´ee par intervalle de 10 minutes.
2 4 1 3 5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24h
Figure 4.16 – S´eries temporelles de TKE pour la journ´ee compl`ete du 26/08/2010 : en noir la TKE classique, en rouge la moyenne par intervalle de 10 minutes de la TKE estim´ee par la m´ethode de reconstruction de l’atmosph`ere turbulente.
L’approche naturelle pour valider notre estimation de la TKE est de moyen- ner les estimations instantan´ees par intervalle de dix minutes, et de comparer ces moyennes aux estimations classiques. La figure 4.16 illustre cette comparaison. Les estimations de TKE sont repr´esent´ees pour un cycle diurne complet, sur la journ´ee du 26/08/2010. Il y a deux ´el´ements importants `a remarquer sur cette figure. Tout d’abord, sur la p´eriode nocturne, nous remarquons une nette surestimation de la TKE par l’algorithme de reconstruction. Cette surestimation s’explique par le mod`ele lagrangien stochastique utilis´e pour l’´evolution temporelle des particules. Ce mod`ele est un mod`ele local de turbulence qui n’est pas adapt´e `a la mod´elisation des ´ecoulements peu turbulents. Quand la turbulence n’est pas d´evelopp´ee, le mod`ele a tendance `a en cr´eer artificiellement. Par contre, en journ´ee (grossi`erement de 8h `a 18h, heure locale) les deux estimations de la TKE sont tout `a fait coh´erentes. Quand le r´egime turbulent est bien install´e, l’algorithme de reconstruction est capable d’es- timer correctement la turbulence moyenne. Nous pouvons d’ailleurs remarquer que la TKE particulaire est parfois inf´erieure `a la TKE classique, ce qui ´eloigne les ques- tions sur le biais des estimations `a partir du syst`eme de particules qui auraient pu naˆıtre `a la vue des r´esultats nocturnes.
En moyenne, la TKE particulaire est donc coh´erente avec la TKE classique. Cependant cette validation moyenne n’est pas suffisante pour valider l’allure tr`es intermittente des estimations instantan´ees. Comme cette variabilit´e n’est pas acces- sible avec les m´ethodes usuelles de mesure de la turbulence, nous n’avons pas pu aller plus avant dans la validation des estimations en temps r´eel.
Remarque sur l’anisotropie de la turbulence
De nombreuses travaux ont d´emontr´e le caract`ere anisotrope de la turbulence dans la couche limite atmosph´erique [85]. Si l’anisotropie de la turbulence est un ph´enom`ene bien connu, sa mod´elisation demeure difficile.
Le mod`ele physique utilis´e pour l’´evolution temporelle des particules est un mod`ele local de turbulence, localement coh´erent avec les lois de Kolmogorov K41. Ces lois ont ´et´e ´etablies pour la turbulence homog`ene et isotrope. Le mod`ele la- grangien stochastique que nous avons choisi a ´et´e d´evelopp´e pour mod´eliser une atmosph`ere turbulente stratifi´ee [35]. Ici nous appliquons le mod`ele physique de mani`ere locale en nous appuyant partiellement sur le d´ecoupage en boˆıtes. Pour rester proches du domaine de validit´e du mod`ele nous l’appliquons `a chaque fois `a des volumes restreints. Cette appliquation locale du mod`ele a l’avantage d’autoriser l’´ecoulement turbulent `a varier `a la fois sur l’horizontale et sur la verticale.
Si le mod`ele lagrangien stochastique ne mod´elise pas directement l’anisotropie de la turbulence, la mise `a jour des particules par l’observation nous assure de la coh´erence des estimations avec la physique de l’atmosph`ere. L’algorithme de recons- truction de l’atmosph`ere devrait donc ˆetre capable de repr´esenter l’anisotropie de la
16h 17h 18h 16h 17h 18h 16h 17h 18h 0.3 0.2 0.1 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 m2.s-2
Figure 4.17 – S´eries temporelles des trois composantes de la TKE pour une boˆıte. Les deux premiers graphiques repr´esentent les composantes horizontales. Le gra- phique du bas repr´esente la contribution de la vitesse verticale `a la TKE.
turbulence.
Pour le v´erifier, nous avons trac´e sur la figure 4.17 la contribution des trois composantes du vent `a la TKE. Nous remarquons que la contribution de la vi- tesse verticale est nettement inf´erieure `a celles des composantes horizontales. Cette diff´erence se retrouve ´egalement sur le trac´e de l’EDR. La figure 4.18 repr´esente l’EDR associ´ee aux trois composantes du vent : l’ordre de grandeur de l’EDR pour la vitesse verticale est inf´erieur d’un facteur dix `a l’EDR pour la vitesse horizontale. L’algorithme de reconstruction de l’atmosph`ere permet donc la mod´elisation de la turbulence anisotrope `a partir d’observations provenant d’un lidar Doppler 3D.