Dans la m´ethode de descente d’´echelle que nous proposons, les particules ´evoluent librement avec le mod`ele SLM, et suivent l’´ecoulement sans ˆetre contraintes `a rester dans une maille donn´ee. Par cons´equent, `a chaque pas de temps fin δt des particules
sortent du domaine de la simulation. Nos simulations se faisant `a nombre de parti- cules constant, nous devons replacer les particules sorties `a l’int´erieur du domaine. Comme pour la reconstruction de l’atmosph`ere, nous avons ajout´e une ´etape dans l’algorithme de descente d’´echelle qui g`ere la remise des particules qui se trouvent `a l’ext´erieur du domaine. Cette ´etape est appel´ee un conditionnement au domaine. L’id´ee est `a la fois de remettre la particule dans une maille du mod`ele qui contient
un nombre de particules inf´erieur `a la moyenne, et de donner une nouvelle valeur `a la particule en accord avec les champs `a l’int´erieur de sa nouvelle maille.
Le principe du conditionnement au domaine est simple : si une particule sort du domaine d’int´erˆet, elle est remise dans une maille s´electionn´ee par tirage al´eatoire. Le tirage s’effectue suivant la densit´e de particules dans chaque maille. Les mailles `a faible densit´e sont privil´egi´ees.
Apr`es avoir choisi la maille de remise, il faut affecter `a la particule un nouveau couple position-vitesse repr´esentatif du milieu qui l’entoure. Nous avons fait le choix de tirer la nouvelle position de la particule de mani`ere uniforme dans la maille. Si la maille de remise n’est pas vide, nous choisissons une particule au hasard `a l’int´erieur de la maille et nous attribuons sa vitesse `a la nouvelle particule.
Par contre dans le cas tr`es rare o`u la maille de remise est vide, les seules informa- tions dont nous disposons sont donn´ees par le for¸cage et les champs basse r´esolution. Nous affectons alors `a la nouvelle particule la vitesse donn´ee par ces champs, `a la- quelle nous ajoutons un petit bruit blanc pour mod´eliser la variabilit´e sous-maille.
Nous avons fait le choix de g´erer les remises des particules sorties plutˆot que de les contraindre `a rester dans le domaine. Nous aurions pu, par exemple, consid´erer les bords du domaine comme des parois mat´erielles. Nous aurions alors vu apparaˆıtre un ph´enom`ene de r´eflexion des particules sur les parois qui nous a sembl´e peu physique. Nous avons consid´er´e qu’il ´etait pr´ef´erable que les particules soient laiss´ees libres de sortir, ce qui correspond `a des conditions aux limites transparentes.
R´e-´echantillonnage des particules
La libre circulation des particules conduit ´egalement `a l’apparition de zones de convergence et de divergence dans l’´ecoulement global, ce qui induit un d´es´equilibre dans la r´epartition par maille des particules. Pour mod´eliser l’atmosph`ere sous-maille dans l’ensemble du domaine, il faut s’assurer que chaque maille fine contient un nombre suffisamment ´elev´e de particules, tout en pr´eservant les zones de convergence ou de divergence. Apr`es l’´etape de conditionnement qui remet l’ensemble des parti- cules dans le domaine simul´e, nous avons ajout´e une ´etape dite de r´e-´echantillonnage qui lisse le nombre de particules par maille sans l’´egaliser brutalement.
Nous devons ´eviter que certaines mailles ne se vident, puisque sans particule il n’est plus possible de reconstruire le vent et la turbulence sous-maille. Cependant, le r´e-´echantillonnage n’´egalise pas le nombre de particules dans chaque maille. Pour pouvoir repr´esenter les zones de convergence et divergence `a l’int´erieur du fluide le nombre de particules par maille doit pouvoir varier dans une certaine mesure.
La fonction de r´e-´echantillonnage est compos´ee de deux parties. La premi`ere boucle s’assure que les mailles ne contiennent pas trop de particules. Pour ce faire,
nous avons fix´e un seuil maximal par maille Bsup× Nj, o`u Bsup est une constante
choisie exp´erimentalement. Quand une maille contient plus de particules que le seuil d´efini, nous pond´erons les mailles de mani`ere `a favoriser les maille d´eficitaires, et nous tirons al´eatoirement suivant ces poids une maille de remise. Ensuite, comme pour le conditionnement au domaine, nous diff´erencions les cas suivant que la maille de remise est vide ou non.
La seconde boucle s’assure que chaque maille contient suffisamment de particules. Le seuil minimal de chaque maille est not´e Binf×Nj. Quand une maille est d´eficitaire,
nous pond´erons les mailles de mani`ere `a favoriser les mailles exc´edentaires, et nous tirons al´eatoirement suivant ces poids une maille dans laquelle on pr´el`eve une par- ticule. L`a encore la remise s’effectue diff´eremment suivant que la maille d´eficitaire est vide ou non.
Dans nos travaux, la densit´e des particules est constante sur le domaine ´etudi´e, mais pas forc´ement sur l’ensemble des mailles fines `a l’int´erieur de ce domaine. Contrairement aux travaux de Rousseau et al. [110], nous autorisons le syst`eme `a s’´ecarter tr`es localement de l’hypoth`ese d’incompressibilit´e faite dans le mod`ele utilis´e pour le for¸cage.