evidence les limitations et les difficult´es auxquelles se heurtent les m´ethodes num´eriques de r´esolution comme la m´ethode de Gear. Enfin, nous proposons, `a partir de l’algorithme d’inversion, une proc´edure explicite ayant un minimum de d´erivations et de manipulations formelles, pour tranformer un syst`eme d’index ´elev´e en un syst`eme d’index 1 pour lequel la m´ethode de Gear converge.
2.2 Syst` emes alg´ ebro-diff´ erentiels et inversion
Consid´erons le syst`eme alg´ebro-diff´erentiel semi-implicite
dx
dt = f(x, u) 0 = h(x, u)
(x ∈ IRn, u ∈ IRm, f analytique `a valeurs dans IRn, h analytique `a valeurs dans IRm).
R´esoudre ce syst`eme alg´ebro-diff´erentiel ou inverser le syst`eme dynamique
dx
dt = f(x, u) y = h(x, u).
en imposant aux sorties y d’ˆetre nulles `a chaque instant, revient exactement au mˆeme.
Ce n’est qu’une question de vocabulaire. Les variables u sont interpr´et´ees comme des commandes, les variables y = h(x, u) comme des sorties, les variables x comme l’´etat, la fonction f(x, u) comme la dynamique en boucle ouverte, la fonction h(x, u) comme la fonction de sortie. En th´eorie de la commande, le probl`eme s’´enonce ainsi : connaissant
1En fait, la notion d’index se rattache `a la notion de rang diff´erentiel de sortie introduite par Fliess [19], aux travaux sur le d´ecouplage par retour dynamique de l’´etat (voir par exemple [62, 13]) et `a l’inversion (voir par exemple [35, 82, 49, 73]). Signalons aussi les liens qui existent ´egalement avec l’approche g´eom´etrique introduite par Byrnes et Isidori dans le contexte de l’annulation des sorties [9]. R´ecemment, un papier de di Benedetto et al. [14] fait le lien entre tous ces travaux et les algorithmes constructifs qu’ils proposent, en utilisant l’approche diff´erentielle-alg´ebrique pr´econis´ee par Fliess [20].
la loi horaire des sorties (ici les sorties sont nulles `a chaque instant), calculer la loi horaire des commandes, u(t) pour t ≥ 0, sachant qu’elles agissent sur les sorties h(x, u) par l’interm´edaire de l’´equation diff´erentielle ˙x = f(x, u). Autrement dit, connaissant les sorties, calculer les entr´ees. D’o`u le nom d’inversion donn´e `a ce probl`eme.
L’inversion de syst`eme est un probl`eme tr`es ´etudi´e et pour lequel des algorithmes g´en´eraux de r´esolution existent. Dans l’annexe A, nous en pr´esentons un. L’id´ee consti-tutive de cet algorithme est en fait ´el´ementaire et repose sur un principe d’´elimination d´ej`a utilis´e par Silverman pour les syst`emes lin´eaires [80]. Pour comprendre ce principe, le plus simple est de consid´erer un exemple, qui ´eclaire les d´eveloppements g´en´eraux parfois lourds de l’annexe A2.
Soit le syst`eme alg´ebro-diff´erentiel suivant :
Etape 0 Il est clair que nous ne pouvons pas calculer u `a partir de 0 = 1 +x1+x1u1u2
0 = x2+x1u1u2.
En effet, le rang de ce syst`eme par rapport `a u est 1 (µ0 = 1, cf. annexe A). Donc n´ecessairement, il contient implicitement une ´equation qui ne d´epend que de x. Pour l’obtenir, il suffit ici de faire la diff´erence entre les deux ´equations. On obtient alors le syst`eme,
0 = 1 +x1+x1u1u2
0 = 1 +x1−x2,
´equivalent alg´ebriquement au syst`eme de d´epart et qui se d´ecompose en deux parties : une premi`ere partie (ici la premi`ere ´equation) dont la d´ependance par rapport `a u1 etu2 est maximum ; une seconde partie (ici la seconde ´equation) qui ne d´epend que de x. Le nom d’´elimination donn´e `a cette m´ethode s’explique alors clairement. En effet, elle consiste
`
a r´e´ecrire, de fa¸con alg´ebriquement ´equivalente, le syst`eme en ´eliminant au maximum la pr´esence de u dans les ´equations.
2Tr`es souvent, lors de la construction de mod`eles dynamiques de syst`emes `a partir de lois physiques, ce principe d’´elimination est utilis´e implicitement en choisissant intuitivement les bonnes variables ind´ependantes pour d´ecrire le syst`eme. Par exemple, pour ´ecrire les ´equations qui r´egissent le comporte-ment dynamique d’un simple pendule, les coordonn´ees cart´esienne ne sont pas les bonnes coordonn´ees.
On leur pr´ef`ere syst´ematiquement les coordonn´ees polaires qui sont parfaitement adapt´ees au probl`eme.
Etape 1 On peut maintenant continuer en d´erivant par rapport au temps la seconde
´
equation3. En utilisant les ´equations relatives `a ˙x, on obtient ainsi un nouveau syst`eme, 0 = 1 +x1+x1u1u2
0 = x1 −x3 +x1u1u2,
alg´ebriquement ind´ependant du pr´ec´edent. Son rang par rapport `a u est toujours ´egal `a 1 (µ0 =µ1 = 1, cf. annexe A). Par soustraction, on obtient le syst`eme,
0 = 1 +x1+x1u1u2 0 = x3+ 1,
alg´ebriquement ´equivalent et en deux parties comme `a l’´etape pr´ec´edente.
Etape 2 On d´erive par rapport au temps la seconde ´equation et on obtient le syst`eme 0 = 1 +x1+x1u1u2
0 = x3+x4+x3u2.
Son rang par rapport `a u est ´egal 2 (µ2 = 2, cf. annexe A). Par inversion de ce syst`eme alg´ebrique, nous obtenons enu en fonction de x :
Fin de la r´esolution En rempla¸cantu par sa valeur dans les ´equations donnant ˙x, on obtient
C’est un syst`eme diff´erentiel ordinaire qui admet, localement au moins, une solution unique si l’on fixe la condition initiale x0. Supposons quex0 v´erifie les deux ´equations ne d´ependant que de x et obtenues lors des deux ´etapes 0 et 1 :
1 +x01−x02 = 0 1 +x03 = 0.
3Si nous avions directement d´eriv´e l’une des deux ´equations de 0 = 1 +x1+x1u1u2
0 = x2+x1u1u2, nous aurions obtenu des termes en ˙udont nous n’avons que faire.
Puisque ˙x3 = 0, on a x3 = −1 `a chaque instant. Il est alors imm´ediat de voir que
˙
x1−x˙2 = 0 et donc que 1 +x1−x2 = 0 `a chaque instant.
Nous avons en fait montr´e que, pour qu’il existe une solution au syst`eme alg´ ebro-diff´erentiel de d´epart ayant comme condition initiale x0 et u0 v´erifiant les ´equations alg´ebriques,
0 = 1 +x01+x01u01u02 0 = x02+x01u01u02,
il faut et il suffit qu’en plus la condition initiale x0 et u0 v´erifie deux autres ´equations, alg´ebriquement ind´ependantes des deux premi`eres, qui sont obtenues au cours des ´etapes 1 et 2 :
Nous voyons donc sur cet exemple l’int´erˆet des m´ethodes d’inversion pour r´esoudre, au moins formellement, les syst`emes alg´ebro-diff´erentiels. Les sections suivantes mettent en œuvre, dans le cas g´en´eral des syst`emes implicites, les diverses id´ees utilis´ees pour traiter cet exemple particulier.