3.2 Le rejet de perturbations avec stabilit´ e
3.2.1 Le rejet de perturbations sur le mod` ele en 5 compartiments
Le mod`ele de commande est donc
(les fonctions fj sont d´efinies par (3.17)). Les sorties sont y1 et y2. Les commandes sont L et V. Les perturbations sontF et zF.
Existence et stabilit´e
Th´eor`eme 7. Consid´erons le mod`ele agr´eg´e en 5 compartiments (3.20). Supposons que la fonction k soit continˆument d´erivable de [0,1] dans [0,1], k(0) = 0, k(1) = 1, dxdk >0 et k(x) < x pour tout x ∈ ]0,1[. Soit x, l’´etat stationnaire associ´e aux entr´ees L > 0, V >0, F >0 etzF ∈]0,1[ v´erifiant L < V < L+F. Les valeurs stationnaires des sorties sont not´ees y1 et y2. Alors, localement autour dex, les deux propositions qui suivent sont vraies :
(i) il existe une loi de commande unique d´ependant de x1, xr, xs, xn et F telle que la dynamique des sorties en boucle ferm´ee soit
avec φ1 et φ2 des fonctions r´eguli`eres arbitraires s’annulant au point stationaire
o`u les fonctions Yr−2 et Xn−s−1 sont d´efinies par les relations du point (ii) du lemme 2 ;
(ii) si la dynamique des sorties, φ1(y1) et φ2(y2), est choisie asymptotiquement stable, alors le syst`eme (3.20) avec la loi de commande solution de (3.21) est asympto-tiquement stable ; autrement dit, la dynamique des z´eros est stable.
Preuve de (i) Comme le montre l’annexe A, la commande est obtenue en d´erivant les sorties par rapport au temps. La loi de commande v´erifie n´ecessairement
( f1(x1, xr, L, V) = φ1(y1) fn(xs, xn, L+F, V) = φ2(y2).
En utilisant les relations (3.17), Let V v´erifient n´ecessairement
V (Yr−2(L/V, x1, xr)−x1) = φ1(y1)
(L+F)Xn−s−1((L+F)/V, xs, xn)−(L+F −V)xn−V k(xn) = φ2(y2).
Consid´erons le changement de variables suivant L
C’est bien un changement de variable autour du point stationnaire car rrre <1 et donc L= rrre
Le jacobien de ce syst`eme par rapport `arr etre est diagonal au point stationnaire9 : Les in´egalit´es (3.8) du lemme 2 sont donc satisfaites pour Yr−1 et Xn−s−1 :
∂Yr−1
Ce qui montre que le jacobien est inversible au point stationnaire. Le th´eor`eme des fonctions implicites permet alors de conclure.
Preuve de (ii) Comme les dynamiquesφ1 etφ2sont choisies asymptotiquement stables, il suffit de v´erifier que la dynamique des z´eros (voir l’annexe A et [9]) est asymptotiquement stable. Nous allons montrer directement la stabilit´e locale en utilisant le crit`ere de Routh-Hurwitz (voir [24] par exemple) sur le lin´earis´e tangent au point stationnaire.
La loi de commande est donn´ee localement par
L = Ξ1(x1, xr, xs, xn, F, φ1(x1), φ2(xn)) V = Ξ2(x1, xr, xs, xn, F, φ1(x1), φ2(xn)),
o`u Ξ1 et Ξ2 sont des fonctions continˆument d´erivables. Le syst`eme boucl´e est donc d´ecrit
9Au point stationnaire,φ1=φ2= 0 et doncYr−2−x1= 0 etXn−s−1−(1−re)xn−rek(xn) = 0. Ce qui simplifie les calculs du jacobien.
par
Les dynamiques de x1 et xn sont d´ecoupl´ees et stables par hypoth`ese. La stabilit´e est donc assur´ee si la dynamique des z´eros, obtenue en fixant φ1 `a 0, φ2 `a 0, x1 `a y1 et xn `a y2 dans (3.22), est asymptotiquement stable. C’est `a dire, si
A partir de maintenant et jusqu’`a la fin de cette d´emonstration, nous supposons im-plicitement que toutes les fonction sont ´evalu´ees au point stationnaire. De plus, pour des raisons de clart´e dans les formules, nous notons ∂
∂xr
10Nous avons utilis´e (3.6) pour la deuxi`eme ´equation de fa¸con `a ne faire intervenir que des fonctions Ym.
Les in´egalit´es (3.8) du lemme 2 impliquent que
En utilisant (3.17), le syst`eme (3.23) s’´ecrit Hrdxr au point stationnaire impliquent que
∂
∂xs(ξr−ξ1) = 0.
Sym´etriquement,
∂
∂xr(ξs−ξn) = 0.
En cons´equence, la matrice jacobienne A s’´ecrit
A =
avec Les valeurs propres λ deA sont solutions de
ou, de fa¸con ´equivalente, de
Des calculs similaires montrent que
a3 >0, a1−b2 <0, b1−a4 <0, b3 >0, b1+b4 <0.
et
β1 =−b1+b4
Hs , β2 =−b1−a4
Hs , β3 = b3 HF.
α1,α2, α3,β1, β2 β3 sont strictement positifs. Le polynˆome caract´eristique de Aest alors λ3+ (α1 +β1+α3+β3)λ2+ (α1β1+α3α2+α3β1+β3β2+β3α1)λ+α2α3β1 +β2β3α1. Ses coefficients v´erifient les in´egalit´es de Routh-Hurwitz (voir [24], page 176) :
α1+β1+α3+β3 > 0 α1β1+α3α2+α3β1+β3β2+β3α1 > 0 α2α3β1+β2β3α1 > 0
(α1+β1+α3+β3)(α1β1+α3α2+α3β1+β3β2 +β3α1) > α2α3β1+β2β3α1. Ceci termine la preuve de la proposition (ii) du th´eor`eme.
Synth`ese en temp´erature de la commande
La loi de commande donn´ee par (3.21) d´epend des compositions du distillat et du r´esidu (x1 et xn), mais aussi du d´ebit d’alimentation et des compositions sur les plateaux d’agr´egation r et s. En pratique, les compositions des produits sont mesur´ees ainsi que le d´ebit d’alimentation. En revanche les compositions internes ne le sont pas. Cependant elles peuvent ˆetre estim´ees `a l’aide de temp´eratures.
Soit Tr la temp´erature sur le plateau d’agr´egation en rectification r. Soit Ts la temp´erature sur le plateau d’agr´egation en ´epuisement s. Si ces deux temp´eratures sont mesur´ees elles peuvent ˆetre consid´er´ees comme des sorties du syst`eme (3.20). En effet, l’´equilibre thermodynamique entre le liquide et la vapeur implique que les temp´eratures sont fonctions des compositions liquides xr etxs :
Tr = Θ(xr) Ts = Θ(xs).
Ainsi, nous pouvons remonter aux compositions (xr, xs) et ainsi calculer la loi de com-mande (3.21).
En r´esum´e, si les compositions du distillat et du r´esidu, (x1etxn), le d´ebit d’alimentation F, la temp´erature de rectification Tr et la temp´erature d’´epuisement Ts sont mesur´ees, la loi de commande peut ˆetre calcul´ee en r´esolvant le syst`eme alg´ebrique de dimension 4 suivant :
f1(x1, xr, L, V) = φ1(y1) fn(xs, xn, L+F, V) = φ2(y2)
Θ(xr) = Tr Θ(xs) = Ts.
(3.27)
Les 4 inconnues sont xr, xs, Let V.
Cette synth`ese en temp´erature de la loi de commande suppose que les compositions du distillat et du r´esidu sont mesur´ees. Si x1 et xn ne sont pas mesur´ees, la d´emarche pr´ec´edente peut ˆetre modifi´ee afin de les remplacer par deux temp´eratures additionnelles l’une en rectification et l’autre en ´epuisement. En effet, il est facile de voir que les temp´eratures sur les plateaux 2 `ar−1 et s+ 1 `a n sont fonctions uniquement de x1,xr, xs, xn, L,F et V. Par exemple, si l’on dispose des temp´eratures de tˆete T2 et du plateau de fond Tn, alors la commande est donn´ee par le syst`eme alg´ebrique de dimension 6
En d’autres termes, il est possible de remplacer des capteurs de compositions, en g´en´eral coˆuteux et introduisant des retards, par des capteurs de temp´eratures peu chers et instantan´es. De plus, les positions des temp´eratures peuvent ˆetre choisies de fa¸con que le syst`eme ci-dessus, dont la solution fournit les deux commandes L et V, soit le mieux conditionn´e possible. Ceci constitue un crit`ere simple et ne faisant intervenir que des ´equations statiques, pour choisir une bonne instrumentation en temp´erature de la colonne.
Enfin, les raisons pour lesquelles de nombreux auteurs (voir par exemple [61]) sugg`erent des cascades de r´egulation temp´erature/composition s’expliquent tr`es simplement ici : l’information contenue dans les temp´eratures de rectification et d’´epuisement ´equivaut `a celle des variables de l’´etat lent.