Index et m´ ethodes num´ eriques d’int´ egration

egal `a 1 sans condition restrictive sur la condition initiale (x<sup>0</sup>, y<sup>0</sup>) autre que celle de v´erifier les ´equations alg´ebriques g(x<sup>0</sup>, y<sup>0</sup>) = 0. En fait, l’index vaut 2 et il convient d’imposer `a la condition initiale de v´erifier en plus deux ´equations alg´ebriquement ind´ependantes de g(x⁰, y⁰) = 0.

2.5 Index et m´ ethodes num´ eriques d’int´ egration

La m´ethode num´erique la plus utilis´ee pour r´esoudre les syst`emes alg´ebro-diff´erentiels est la m´ethode de Gear [26, 8]. Au d´epart, cette m´ethode a ´et´e d´evelopp´ee pour int´egrer num´eriquement les syst`emes diff´erentiels ordinaires “raides”, syst`emes qui poss`edent plusieurs

´

echelles de temps diff´erentes⁷. Dans [27], Gear montre que sa m´ethode est particuli`erement adapt´ee `a la r´esolution de syst`emes alg´ebro-diff´erentiels semi-implicites d’index 1, ˙x = f(x, y), 0 = g(x, y) avec ∂

∂yg inversible. En effet, elle permet d’int´egrer directement le syst`eme sous sa forme brute. Ceci est tr`es avantageux si sa taille est grande et sa structure creuse comme c’est le cas pour notre mod`ele de simulation de colonne.

Cependant, lorsque l’index est sup´erieur `a 2, la m´ethode de Gear ne fonctionne plus si bien. Dans un papier r´ecent [68], Petzold fait le point sur la r´esolution num´erique de syst`emes alg´ebro-diff´erentiels par la m´ethode de Gear : si l’index du syst`eme vaut 0 ou 1, la m´ethode converge [29] ; si le syst`eme est semi-implicite d’index 0, 1 ou 2, la m´ethode converge [50, 28] ; si l’index du syst`eme est sup´erieur ou ´egal `a 3 et si ce dernier est non lin´eaire, la m´ethode diverge en g´en´eral et peut fournir des trajectoires fausses.

L’objet de cette sous-section est de montrer que ces r´esultats se comprennent tr`es sim-plement d`es lors qu’on utilise les formes canoniques des th´eor`emes 1 et 2. Pour des raisons de simplicit´e, nous ne consid´erons que la m´ethode de Gear d’ordre 1 qui correspond au sch´ema implicite de discr´etisation d’Euler. Qualitativement, les ph´enom`enes num´eriques sont les mˆemes pour des sch´emas d’ordre sup´erieur.

Soit le syst`eme implicite (Σ), h(x,x) = 0 d’index fini˙ α. Le sch´ema num´erique de r´esolution est le suivant : x<sup>n</sup>, une approximation de la solution `a l’instanttⁿ, x(tⁿ) , ´etant suppos´ee connue, l’approximation xⁿ⁺¹ `a l’instant t<sup>n+1</sup> = t<sup>n</sup>+h de la solution, x(t<sup>n+1</sup>) est alors fournie en rempla¸cant ˙x(t<sup>n+1</sup>), par (x<sup>n+1</sup>−x<sup>n</sup>)/h, c’est `a dire en r´esolvant par rapport `a xⁿ⁺¹

h

xⁿ⁺¹,xⁿ⁺¹−xⁿ h

= 0. (2.2)

7Le syst`eme singuli`erement perturb´e du th´eor`eme de Tikhonov (annexe D) est un exemple typique de syst`eme “raide” (en anglais “stiff”).

L’id´ee de base consiste `a analyser, dans des coordonn´ees canoniques, le sch´ema de discr´etisation construit sur les coordonn´ees a priori non canoniques x. Consid´erons la forme canonique (Σ<sub>c</sub>) du th´eor`eme 1 associ´ee au changement de variable

x−→ξ = Ξ(x) =

Le sch´ema (2.2) s’´ecrit dans les coordonn´ees canoniques



et si (ξ₁ⁿ, . . . , ξ_αⁿ) = 0, le syst`eme ci-dessus se r´eduit `a⁸























ξ₁ⁿ⁺¹ = 0 ξ₂ⁿ⁺¹ = 0

... ξ_αⁿ⁺¹ = 0 ζⁿ⁺¹−ζⁿ

h = Ω (ζⁿ⁺¹,0, . . . ,0).

Dans ce cas, le sch´ema implicite d’Euler surx, induit sur la dynamique r´eelle du syst`eme, ζ˙ = Ω(ζ,0, . . . ,0), ce mˆeme sch´ema de discr´etisation d’Euler dont on connait la conver-gence. Nous voyons donc que si les relations entre x et ξ sont affines, les termes d’ordre 2 disparaissent. Dans ce cas, le sch´ema implicite de discr´etisation d’Euler converge quel que soit l’index. Nous retrouvons donc les r´esultats de convergence ´etablis par Sincovec et al. [81] sur les syst`emes alg´ebro-diff´erentiels lin´eaires.

Nous allons voir que les difficult´es num´eriques viennent du fait qu’en g´en´eral, le change-ment de variables, ξ = Ξ(x), est non lin´eaire et introduit, au niveau de la discr´etisation, des termes d’ordre 2 li´es `a la courbure de Ξ.

Notre analyse de la convergence repose sur deux points. Tout d’abord, il faut s’assurer que (ξ₁ⁿ⁺¹, . . . , ξ_αⁿ⁺¹) reste proche de 0, i.e. que le sch´ema num´erique ne nous ´ecarte pas trop de la vari´et´e d´efinie par ξ₀ = 0, . . . ,ξ_α = 0 sur laquelle se trouve la solution.

Ensuite, il faut v´erifier que le sch´ema num´erique induit sur la dynamique r´eelle du syst`eme ζ˙= Ω(ζ,0, . . . ,0) est convergent.

Pr´ecisons enfin que notre analyse est g´en´erique dans le sens o`u nous ne faisons aucune hypoth`ese sur le changement de variables x = Ξ⁻¹(ξ). Toutefois, pour des changements de variables particuliers Ξ⁻¹, des simplications peuvent apparaˆıtre comme le sugg`erent les paragraphes qui pr´ec`edent o`u Ξ⁻¹ est suppos´e affine.

Les syst`emes implicites g´en´eraux

Preuve de la convergence lorsque l’index est ´egal `a 1 Supposons que l’index α soit ´egal `a 1. Nous montrons que, siξ₁ⁿ= 0, alors

ξ₁ⁿ⁺¹ = 0 ζⁿ⁺¹−ζⁿ

h = Ω(ζⁿ⁺¹,0) +O(h).

8Il suffit d’utiliser le fait queφ_i(ξ,ξ˙₀, . . . ,ξ˙_i−1) = 0 d`es que ( ˙ξ₀, . . . ,ξ˙_i−1) = 0.

On a

Divergence possible lorsque l’index est sup´erieur ou ´egal `a 2 Supposons que l’index α soit ´egal `a 2, les cas o`u α > 2 ´etant tr`es similaires. Nous montrons que, mˆeme

Soient r₂ etp tel que ξ₂ⁿ⁺¹ =O(h^r2) et ζⁿ⁺¹−ζⁿ

h −Ω(ζⁿ⁺¹,0,0) =O(h^p).

Avec ces notations ζⁿ⁺¹−ζⁿ=O(h^min(1,p+1)).

ξ₂ⁿ⁺¹ =φ1

ξⁿ⁺¹,O(kξ₂ⁿ⁺¹−ξ₂ⁿk²+kζⁿ⁺¹−ζⁿk²) h

implique que, g´en´eriquement⁹, r₂ = min(2r₂−1,2 min(1, p+ 1)−1). De mˆeme, ζⁿ⁺¹−ζⁿ+O(kξ₂ⁿ⁺¹k²+kζⁿ⁺¹−ζⁿk²)

h =

Ω

ζⁿ⁺¹,O(kξⁿ⁺¹₂ k²+kζⁿ⁺¹−ζⁿk²)

h ,ξ₂ⁿ⁺¹+O(kξⁿ⁺¹₂ k²+kζⁿ⁺¹−ζⁿk²) h

implique que, g´en´eriquement,p= min(2 min(1, p+ 1)−1,2r2−1, r2−1). Ainsir2 = 1 et p= 0.

Le sch´ema en x n’est donc pas convergent car il induit sur la dynamique r´eelle en ζ une approximation `a l’ordre z´ero en h du sch´ema implicite d’Euler et peut fournir des trajectoires num´eriques compl`etement fausses.

Les syst`emes semi-implicites : convergence si l’index vaut 2

Supposons le syst`eme semi-implicite et l’index ´egal `a 2. Nous montrons que, si ξ₁ⁿ = 0 et ξ₂ⁿ=O(h), alors

ξ₁ⁿ⁺¹ = 0 ξ₂ⁿ⁺¹ = O(h) ζⁿ⁺¹−ζⁿ⁺¹

h = Ω(ζⁿ⁺¹,0,0) +O(h).

La convergence du sch´ema sur les syst`emes semi-implicites d’index 2 tient au fait que, sur leur forme canonique particuli`ere, la dynamique r´eelle du syst`eme ˙ζ = Ω(ζ,ξ˙<sub>1</sub>,ξ˙<sub>2</sub>) ne d´epend pas de ˙ξ<sub>2</sub>. Pour s’en apercevoir, il suffit de r´e´ecrire la forme canonique particuli`ere aux syst`emes semi-implicites du th´eor`eme 2 comme une forme canonique g´en´erale du th´eor`eme 1.

Reprenons les calculs du paragraphe pr´ec´edent en supposant que Ω ne d´epend pas de ξ˙₂. Il est clair que ξⁿ⁺¹₁ = 0.

9Le fait que le rang deφ1(ξ,ξ˙1) par rapport `a ˙ξ1est maximum s’av`ere iciindispensablepour conclure de fa¸con g´en´erique, i.e. quel que soit le changement de variablesx= Ξ⁻¹(ξ).

Soient r₂ et ptel que ξ₂ⁿ⁺¹ =O(h^r2) ζⁿ⁺¹−ζⁿ

h −Ω(ζⁿ⁺¹,0,0) =O(h^p).

Puisque ξⁿ₂ =O(h)

ξ₂ⁿ⁺¹ =φ₁

ξⁿ⁺¹,O(kξ₂ⁿ⁺¹−ξ₂ⁿk²+kζⁿ⁺¹−ζⁿk²) h

implique que, g´en´eriquement, r₂ = min(2r₂−1,2 min(1, p+ 1)−1,1). De mˆeme, ζⁿ⁺¹−ζⁿ+O(kξ₂ⁿ⁺¹−ξ₂ⁿk²+kζⁿ⁺¹−ζⁿk²)

h = Ω

ζⁿ⁺¹,O(kξ₂ⁿ⁺¹−ξ₂ⁿk²+kζⁿ⁺¹−ζⁿk²) h

implique que, g´en´eriquement, p= min(2 min(1, p+ 1)−1,2(min(r₂,1)−1). Ainsi r₂ = 1 etp= 1.