Systèmes quelconques

Lorsqu’on s’éloigne indéfiniment d’un corps matériel étendu mais fini, son potentiel tend vers celui d’une masse ponctuelle puisqu’alors ses dimensions deviennent négligeables devant sa distance ; dans le même temps, ce potentiel tend vers zéro, comme pour une masse ponctuelle. On se propose de déterminer le potentiel d’un corps quelconque sous forme d’un développement qui soit valable à l’extérieur de ce corps, et qui puisse se réduire, à l’infini, au potentiel d’une masse ponctuelle.

Soient S ce corps (pas forcément solide), D l’espace (ou volume) qu’il occupe, ρ(Q) la masse volumique en Q(l’un de ses points), M sa masse totale, Gson centre de masse. Soit Oijk un repère attaché à S et dans lequel on pourra repérer aussi bien les particules Q qui le composent, que le point extérieur P où l’on désire calculer son potentiel de gravitation. Le point O est à priori quelconque mais choisi dans le voisinage de S et sera généralement confondu avec G; de même la base ijk est pour le moment quelconque. En repérant P par des coordonnées sphériques (r, λ, ϕ) dansOijk, on recherche le potentiel sous forme d’un développement convergent en puissances de1/r, c’est-à-dire de la forme :

U(P) = U₂(r, λ, ϕ) = 1

Ainsi, à condition que les fonctions W_n soient toutes bornées, lorque r est assez grand, le développement de U(P)sera assimilable à son premier terme :W₀

n∆V_nne pourra être nullequelque soitr que si chaque

∆V_nest identiquement nul. Donc chaqueV_nest une fonction harmonique, diteharmonique homogènede degré (−n−1)par rapport à r. Les fonctions W_n, indépendantes de r, sont des fonctionsharmoniques sphériques, restrictions deV_nà la sphère de rayon 1.

Remarque. Les fonctions V_n sont qualifiées d’homogènes car, en les exprimant en coordonnées cartésiennes (x, y, z), elles deviennent homogènes, c’est-à-dire formées de monômes d’un même degré par rapport à l’en-semble des (x, y, z). Alors, comme il y a un nombre fini de monômes de 3 variables et de degré donné, il y a aussi un nombre fini de fonctions harmoniques homogènes d’un même degré donné ; on verra bientôt que V_n peut être décrit par 2n+ 1 monômes. La forme générale de V_n est ainsi un polynôme homogène de ces trois

variables, combinaison linéaire de ces2n+ 1monômes. En revenant aux coordonnées sphériques,V_npeut ainsi s’écrire sous forme d’une combinaison linéaire de2n+1fonctionsWn^(p)(λ, ϕ)qui sont les fonctionsharmoniques sphériques d’ordren: on recherche donc cette fonction sous la forme d’un développement en série de Fourier enλ:

W_n(λ, ϕ) =

Devant être nulle quelque soitP, donc quelque soitλ, cette somme est nécessairement nulle terme à terme ; c’est donc le facteur deexpipλqui est nul pour chaque valeur denet dep. En posants= sinϕetPn^(p)(s) =Cn^(p)(ϕ), ce facteur nul devient l’équation différentielle du second ordre suivante :

n(n+ 1)− p² 1−s²

P_n^(p)−2sdP_n^(p)

ds + (1−s²)d²P_n^(p)

ds² = 0 (4.16)

Manifestement, on a : Pn^(p) = Pn^(−p). On montre que les solutions normalisées de (4.16) sont les fonctions associées de Legendre, ainsi définies :

P_n^(p)(s) = (1−s²)^p/2 2ⁿn!

d^n+p

ds^n+p(s² −1)ⁿ pour p≥0 (4.17) On voit que ces fonctions sont nulles pour p > n. Pourp= 0, ces fonctions sont des polynômes de degrénen s, appeléspolynômes de Legendre:

Pn(s) = P_n⁽⁰⁾(s) = 1 2ⁿn!

dⁿ

dsⁿ(s²−1)ⁿ (4.18)

Il y a donc 2n + 1 fonctions Pn^(p) non nulles, et corrélativement, 2n + 1 fonctions harmoniques sphériques indépendantes d’ordren:

P_n(sinϕ), P_n⁽¹⁾(sinϕ) cosλ, P_n⁽¹⁾(sinϕ) sinλ, . . . , P_n⁽ⁿ⁾(sinϕ) cosnλ, P_n⁽ⁿ⁾(sinϕ) sinnλ

15.4.2. Propriétés des fonctions de Legendre

Les fonctions associées de Legendre interviennent dans les développements en puissances detsuivants :

√ 1

1−2st+t² =

∞

X

n=0

P_n(s)tⁿ (4.19)

(2p)!(1−s²)^p/2t^p 2^pp! (1−2st+t²)^p+1/2 =

∞

X

n=p

P_n^(p)(s)tⁿ (4.20)

Les expressions des membres de gauche sont les fonctions génératrices des fonctions de Legengre. On peut vérifier en effet, en dérivant deux fois ces expressions par rapport àset par rapport àt, que les coefficients detⁿ vérifient l’équation différentielle(4.16)pour toutn. On déduit aussi, par dérivation de ces fonctions génératrices,

que les fonctions de Legendre vérifient les relations de récurrence suivantes :

Dev

(n+ 1−p)P_n+1^(p) (s)−(2n+ 1)s P_n^(p)(s) + (n+p)P_n−1^(p) (s) = 0 (4.21) P_n^(p+2)(s)− 2(p+ 1)s

√1−s² P_n^(p+1)(s) + (n−p)(n+p+ 1)P_n^(p)(s) = 0 (4.22) Il suffit donc de connaîtreP0,P1,P₀⁽¹⁾etP₁⁽¹⁾pour en déduire tous les autresPn^(p). En fait, ces 4 fonctions peuvent être aisément calculées par l’expression(4.17); on obtient :

P₀⁽⁰⁾(s) = 1 P₀⁽¹⁾(s) = 0 P₁⁽⁰⁾(s) =s P₁⁽¹⁾(s) = √ 1−s²

puis les autres fonctions Pn^(p)(s) par récurrence ; celles dont on pourra avoir besoin sont présentées dans le Tableau 4.

Tableau 4. Polynômes et fonctions associées de LegendrePn^(p)(s), avecs = sinϕetc= cosϕ=√ 1−s². Les polynômes de LegendreP_n(s)correspondent à la valeurp= 0.

np 0 1 2 3 4 · · ·

0 1 0

1 s c 0

2 ³₂s²− ¹₂ 3s c 3c² 0

3 ⁵₂s³− ³₂s (¹⁵₂ s²− ³₂)c 15s c² 15c³ 0 4 ³⁵₈s⁴− ¹⁵₄ s²+³₈ (³⁵₂ s³− ¹⁵₂s)c (¹⁰⁵₂ s²− ¹⁵₂)c² 105s c³ 105c⁴ ...

On peut montrer que dans l’intervalle|s| ≤1, on a :|P_n(s)| ≤1pour toutn; alors, le développement(4.19) est absolument convergent pour|t|<1.

On pourrait encore établir cette relation intéressante, diteformule d’addition des polynômes de Legendre: P_n(sinθsinφ+ cosθcosφcosλ) =

n

X

p=0

α_npP_n^(p)(sinθ)P_n^(p)(sinφ) cospλ (4.23) où

α_np =

(1 sip= 0 2(n−p)!

(n+p)! sip6= 0

15.4.3. Développement du potentiel de gravitation

Finalement, le développement du potentiel de gravitation d’un corps quelconque en un pointP extérieur à ce corps et exprimé en fonction des coordonnées sphériques deP, admet la forme générale suivante :

U₂(r, λ, ϕ) =K

∞

X

n=0 n

X

p=0

1

rⁿ⁺¹ P_n^(p)(sinϕ) [c_npcospλ+s_npsinpλ] (4.24) où les coefficients cnp etsnp dépendent de la répartition des masses dans ce corps. La convergence de ce déve-loppement n’est pas toujours assurée sirest trop petit ; cela peut dépendre de la forme du corps. Il convient en fait très bien pour représenter le potentiel de gravitation des planètes ou des satellites dont la forme est voisine d’une sphère ; le développement converge alors généralement jusqu’à la surface du corps.

Si la répartition de matière a la symétrie sphérique autour de O, le développement doit se réduire à un seul terme : seulc₀₀est non nul et vautM.

Si la répartition de matière admet la symétrie de révolution autour d’un axe, en choisissant Oksuivant cet axe, la coordonnéeλmesure alors une longitude autour de l’axe de révolution, et donc le potentiel, qui admet la même symétrie de révolution, ne doit pas dépendre deλ. Seul les coefficientsc_n = c_n0 sont alors différents de zéro et le potentiel est de la forme :

U2(r,−, ϕ) =

∞

X

n=0

cn

P_n(sinϕ)

rⁿ⁺¹ (4.25)

Si, en plus de la symétrie de révolution, le corps admet un plan de symétrie perpendiculaire à l’axe de révolu-tion, le centre de masseGest situé à l’intersection de ce plan et de cet axe ; en prenantO enG, le planOijdans