Le mouvement sur la trajectoire

Pour obtenir la loi du mouvement sur la trajectoire, il existe de nombreuses méthodes qui exploitent le plus souvent la loi des aires exprimée dans le plan du mouvement :r²dw

dt =G=⇒G(t−t₀) = Rw

w0 r²dw, mais ceci suppose implicitement queGne soit pas nul. Pour traiter simultanément tous les types de mouvements, il faut repartir des équations initiales(3.4)à(3.6)dont on tire :

¨

r·u = (¨ru+ 2 ˙ru˙ +ru)¨ ·u= ¨r−ru˙² =−µ r² r˙² = ˙r²+r²u˙² = 2µ

r + 2h En éliminantu˙²de ces deux expressions, on trouve l’équation :

rr¨+ ˙r² = µ

r + 2h (3.18)

Pour régulariser cette équation enr= 0, on opère le changement de variable :

dt=r dτ (3.19)

dont on tire les opérateurs de dérivation : d

dτ =r d

dt et d²

dτ² =r² d²

dt² +rr˙d

dt (3.20)

Appliquant ces opérateurs à la distancer, on obtient : r⁰ = dr

dτ =rr˙ et r⁰⁰ = d²r

dτ² =r²r¨+rr˙² (3.21)

De sorte que(3.18)se transforme en cette équation du second ordre régulière enr = 0, linéaire et à coefficients constants :

r⁰⁰−2h r=µ (3.22)

Cette équation est valable pour tous les types de mouvement (plan ou rectiligne). Sa solution générale dépend du signe deh, mais contient toujours 2 constantes arbitrairesαetβ:

1. pourh <0:r =− µ

2h +α sin√

−2h τ +β cos√

−2h τ 2. pourh= 0:r = µ

2τ²+α τ +β 3. pourh >0:r =− µ

2h +α sinh√

2h τ +β cosh√ 2h τ

En supposantτ = 0à l’instantt_pdu passage au péricentre, on pourra ensuite intégrer(3.19)en : t−t_p =

Z τ 0

r dτ

et calculerαetβen tenant compte de la valeur deret der⁰à l’instantt_p : r(t_p) =q= p

1 +e et r⁰(t_p) = rr(t˙ _p) = 0 (3.23) On obtient :α = 0etβ =qsih = 0, sinon :α = 0etβ =q+ µ

2h. Selon la nature de l’orbite, on obtient alors les résultats suivants :

1. Pour h < 0, d’après (3.17), l’orbite est elliptique et l’on a : − µ

2h = a demi-grand axe de l’ellipse et q =a(1−e); en posantE =√

−2h τ,n =

√−2h a =p

µ/a³ etM =n(t−tp), on obtient : r =a(1−e cosE) = dτ

dt =adM dE

M =E−e sinE (équation de Kepler) E˙ = na

r et M˙ =n

(3.24)

L’angle E est appelé anomalie excentrique, etM anomalie moyenne; la vitesse angulaire n est appelée moyen mouvement;netasont reliés par la3^ieme loi de Kepler:

n²a³ =µ (3.25)

L’expression générale derdonnée en(3.11)en fonction de l’anomalie vraiewdevient ici : r = a(1−e²)

1 +ecosw (3.26)

Ainsi, r est une fonction périodique dew, deE ou deM, de période 2π. Les trois anomaliesw, E etM s’annullent en même temps, à l’instantt_pdu passage au péricentre ; elles augmentent toutes trois de2πdans le tempsT = 2π

n qui est lapériodedu mouvement elliptique. La3^iemeloi de Keplers’exprime alors aussi : a³

T² = µ

4π² (3.27)

V_retV_⊥désignant les vitesses radiales et orthoradiales, on a ensuite : G=rV_⊥ =r²dw

dt =√

µp =na²√

1−e² (3.28)

˙

r=Vr = nae

√1−e² sinw= na²e

r sinE (3.29)

X =r cosw=a(cosE−e) Y =r sinw=a√

1−e²sinE rX˙ =−na² sinE

rY˙ =na²√

1−e² cosE tan²w

2 = 1 +e

1−e tan² E 2

(3.30)

Exercice

X, Y et Z = 0 sont les coordonnées cartésiennes du point P dans le repère propre Ou₀v₀k du mou-vement képlérien. Si le moumou-vement est rectiligne, seul u₀ = −u est défini et l’on peut prendre v₀ et k quelconques orthogonaux àu₀; avece= 1etw=π, on a alors aussiY = ˙Y = 0. Ces équations sont donc valables dans tous les cas, que le mouvement elliptique soit plan ou rectiligne. On peut considérer qu’une ellipse peut être déduite de son son cercle principal (de centre C et de rayon a) par une affinité de rap-portb/a =√

1−e² appliquée perpendiculairement au grand axe. Ainsi, le pointP est le transformé d’un pointP⁰de ce cercle par cette affinité (cf.figure 1). L’anomalie excentrique s’interprète alors comme étant l’angle polaire E = (CO, CP⁰) de ce pointP⁰ vu du centre du cercle principal. E est ainsi une variable

angulaire permettant toujours de situer P sur l’ellipse, quelle soit plane ou rectiligne. Enfin,w, E etM se confondent lorsque l’ellipse est un cercle. On pourra aussi voir avec l’applet Java contenue dans le fichier MouvElliptKepler.html comment le mouvement képlérien elliptique dépend d’une façon générale de ces 3 anomalies.

2. Pourh > 0, l’orbite est hyperbolique et l’on a : µ

2h =aetq = a(e−1); en posant, de façon analogue au cas elliptique,E =√

2h τ,n=

√2h a =p

µ/a³ etM =n(t−t_p), on obtient : r =a(e coshE−1) = dτ

dt =adM dE

M =e sinhE−E (équation de Kepler) E˙ = na

r et M˙ =n

(3.31)

On a de nouveau la troisième loi de Kepler :n²a³ =µ, puis : r = a(e² −1)

1 +ecosw (3.32)

w, E et M s’annullent en même temps, à l’instant t_p du passage au péricentre, mais le mouvement n’est pas périodique.VretV_⊥désignant toujours les vitesses radiales et orthoradiales, on a ensuite :

G=rV_⊥ =r²dw dt =√

µp =na²√

e²−1 (3.33)

˙

r=V_r = nae

√e²−1 sinw= na²e

r sinhE (3.34)

X =r cosw=a(e−coshE) Y =r sinw=a√

e²−1 sinhE rX˙ =−na² sinhE

rY˙ =na²√

e²−1 coshE tan² w

2 = e+ 1

e−1 tanh²E 2

(3.35)

Comme dans le cas elliptique,X,Y etZ = 0sont les coordonnées cartésiennes du pointP dans lerepère propre Ou₀v₀k du mouvement képlérien, et ces équations sont aussi valables dans tous les cas, que le mouvement hyperbolique soit plan ou rectiligne. On voit que l’orbite hyperbolique est ici la transformée par affinité orthogonale de rapport b/a = √

e²−1, de l’hyperbole équilatère d’équation paramétrique : x=±acoshE ety =asinhEdans le repère décentréCu₀v₀k. (cf.figure 3)

3. Pourh= 0, l’orbite est parabolique et l’on a directement : r =q+µ

2 τ² = dτ dt t−t_p =q τ + µ

6τ³

(3.36)

puis :

G=rV_⊥ =√

µp (3.37)

rr˙ =r V_r =µ τ (3.38) X =r cosw= 1

2(p−µ τ²) Y =r sinw=√

µp τ rX˙ =−µ τ

rY˙ =√ µp

(3.39)

Si le mouvement est plan (petqnon nuls), en définissant de nouveau :M =n(t−t_p)mais avecn= rµ

p³, on peut encore écrire :

r = p

1 + cosw = 1

2(p+µ τ²) =⇒ rµ

p τ = tanw 2 M = 1

2tanw 2 +1

6tan³ w

2 (équation de Barker)

(3.40)

puis :

X =r cosw=q(1−tan² w 2) Y =r sinw=p tanw

2 rX˙ =−√

µp tanw 2 rY˙ =√

µp

(3.41)

Remarque 1. Les formules donnant les coordonnéesXetY deP dans le repère propre du mouvement képlérien auraient pu aussi être obtenues de façon purement vectorielle en appliquant les opérateurs de dérivation (3.20) au vecteurr. En effet, on trouve alors :

r⁰⁰ =r²¨r+rr˙r˙ =−µu+rr˙r˙

Or, en développant µe = ˙r∧(r∧r)˙ −µu et en tenant compte de l’intégrale de l’énergie, on obtient µe = 2hr+µu−rr˙r, de sorte que˙ rsatisfait finalement à l’équation vectorielle suivante, linéaire et à coefficients constants :

r⁰⁰−2hr=−µe (3.42)

Exercice

Les composantes X et Y de r s’en déduisent aisément en fonction de τ ou de E (suivant le signe deh), en utilisant les conditions initiales :

r(t_p) = qu₀ et r⁰(t_p) = rr(t˙ _p) =G∧u₀

Remarque 2. La régularisation de l’équation (3.18) en r = 0 était nécessaire surtout pour le cas où r peut devenir nul, c’est-à-dire pour le mouvement képlérien rectiligne lorsque le pointP “tombe” sur le foyerO. Son

intérêt est particulièrement évident quand, en plus,hest nul, puisque la solution régularisée, polynomiale enτ : r(τ) = ¹₂µτ² et t−t_p = ¹₆µτ³, équivaut à la fonctionr(t) = [(9µ/2)(t−t_p)²]^1/3 dont le graphe présente un point de rebroussement ent =t_p.

0

τ t_p

t r(t)

r(τ)

(t−t_p)(τ)

Cependant, la régularisation n’est pas seulement une méthode intéressante pour l’intégration analytique d’équa-tions sujettes à des singularités ; c’est aussi une technique très efficace pour intégrer numériquement de telles équations. Par exemple, pour intégrer numériquement en fonction de t les équations du mouvement képlérien dont l’une, de la former˙=f(r, w), est singulière enr= 0, on calcule en principer(t+h)connaissant au moins r(t)[h est ici le “pas d’intégration”]. La méthode élémentaire fondée sur le développement de Taylor de r(t) consiste à écrire par exemple :

r(t+h) = r(t) +h f(r(t), w(t))

Cependant, si les conditions initiales conduisent à un mouvement très excentrique, tel querdevient très petit, il faut compenser les fortes variations def(r, w)au voisinage der = 0par des variations correspondantes du pas h, de façon à ce queh f(r, w)reste toujours “assez petit”. L’utilisation d’une méthode d’intégration numérique

“à pas constant” (telles les méthodes d’Adams) ne peut alors convenir. Au contraire, si après avoir changé de

variable indépendante, on cherche à intégrer numériquement les équations régularisées : dr

dτ = r f(r, w) et dt

dτ = r, on peut utiliser une méthode à pas constant pour la variableτ car r f(r, w) reste maintenant fini en r = 0. A un ∆τ constant correspond un ∆t = r∆τ variable avec r. Une méthode à pas constant appliquée aux équations enτ est ainsi équivalente à une méthode à pas variable qu’on appliquerait aux équations ent; la régularisation revient donc à faire une variation automatique du pas ent. Cette façon de régulariser les équations est généralement encore applicable aux mouvements képlériens perturbés.

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