On peut penser que généralement le champ de gravitation d’un système matériel est connu ; cela dépend en fait du degré de connaissance que l’on a de la répartition de leurs masses, ce qui n’est pas toujours

le cas en mécanique céleste. Si ces masses sont inconnues, ou mal connues, c’est l’observation des mouvements qui permettra éventuellement de les déterminer, par comparaison avec les mouvements théoriques déduits des équations du mouvement et dans lesquelles les masses sont laissées sous forme de paramètres indéterminés.

4.5. Théorème de l’énergie cinétique

Considérons le cas général d’un système(S)composé de pointsPi de massesmi subissant un ensemble de forces F(P_i). En multipliant membre à membre l’équation fondamentale de chaque point par la vitesse de ce point, et en sommant pour tous les points de(S), on obtient :

X

Pi∈(S)

m_iΓ(P_i/R_a)·V(P_i/R_a) = X

Pi∈(S)

F(P_i)·V(P_i/R_a) (1.40) Le membre de gauche n’est autre que la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique de (S) dans Ra, tandis que celui de droite représente lapuissancedansRade toutes les forces appliquées sur(S)aux pointsPj :

dT(S/Ra) dt = d

dt



 1 2

X

Pi∈(S)

m_i[V(P_i/R_a)]²



= X

Pi∈(S)

m_iΓ(P_i/R_a)·V(P_i/R_a) et

P({F(P_i)|P_i ∈(S)}/R_a) = X

Pi∈(S)

F(P_i)·V(P_i/R_a)

La puissance de certaines forces peut être nulle. Par exemple, on a vu que les forces intérieures à un système forment un torseur nul ; si ce système est un solide, on montre que la puissance de ces forces est nulle dans tout repère. Autre exemple : Si un système est soumis à des liaisons dites ‘sans frottement’ ou ‘idéales’, cela signifie que les forces d’interaction correspondantes ont une puissance nulle (ou ne consomment pas d’énergie).

En éliminant ainsi les forces dont la puissance est nulle, il peut arriver que les forces restantes aient une puissance dont l’expression soit la dérivée par rapport au temps d’une fonction W_S, dite fonction de forces,

c’est-à-dire que l’on a :

X

Pi∈(S)

F(P_i)·V(P_i/R_a) = dW_S dt On obtient alors, par intégration, l’intégrale première de l’énergie cinétique:

T(S/R_a) = W_S+h (1.42)

oùhest une constante d’intégration. La quantité−W_Sest appeléeénergie potentiellede(S), et T(S/R_a)−W_S est l’énergie totale qui est ainsi constante ; on dit que le système conserve son énergie, ou que c’est unsystème conservatif.

Ce cas intervient par exemple si l’ensemble des forces de champ appliquées en chaque pointP_iest le gradient enP_id’une fonctionW_S, fonction des coordonnées de ces points ; en effet, en notantx_i,y_ietz_iles coordonnées deP_idans le repère galiléenR_a=Oi₀j₀k₀, on peut alors écrire :

F(P_i) =grad_PiW_S = ∂W_S

∂x_i i₀+∂W_S

∂y_i j₀+ ∂W_S

∂z_i k₀ et en déduire :

X

Pi∈(S)

grad_PiW_S· dRaOPi

dt = X

Pi∈(S)

∂WS

∂x_i x˙_i +∂WS

∂y_i y˙_i+ ∂WS

∂z_i z˙_i = dWS

dt (1.43)

C’est donc notamment le cas des systèmes de particules ou de solides sans contacts mutuels et en interaction gravitationnelle. De tels systèmes sont conservatifs.

Remarque . L’intégrale de l’énergie cinétique peut aussi exister dans des mouvements relatifs correspondant à des repères non galiléens.

5. Mise en équations et résolution des problèmes de mécanique céleste

La Mécanique Céleste qui nous intéressera particulièrement concerne les mouvements des divers corps du système solaire, qu’ils soient naturels ou artificiels. Avant de mettre en équations ces mouvements, il faut définir géométriquement le système, en choisissant notamment les coordonnées, ou plus généralement les variables, qui soient les mieux adaptées. On verra que ce choix est délicat car de lui dépend la plus ou moins grande complexité des équations. Il faut ensuite analyser les forces en présence et les exprimer en fonction des variables choisies.

Notons que les systèmes étudiés en Mécanique Céleste sont en mouvement sous l’action presque exclusive de la gravitation et que les forces de liaison sont rarement impliquées.

On peut alors appliquer les théorèmes généraux pour chaque partie du système dont on veut étudier le mou-vement en particulier, et en y distinguant bien les forces intérieures des forces extérieures. En effet, bien que l’on sache que le système solaire comprend le Soleil, les grosses planètes, les satellites de ces planètes, les pe-tites planètes, les comètes· · ·, et qu’en toute rigueur, ces corps n’étant pas des masses ponctuelles, il faille tenir compte de leur forme, la résolution globale des équations du mouvement de l’ensemble du système solaire n’est pas réaliste. On est amené à étudier séparément des sous-systèmes simplifiés, représentant une certaine approxi-mation du système réel. Par exemple, on peut décomposer le système solaire en considérant à part le Soleil et tout ou partie des grosses planètes assimilées à des masses ponctuelles, en négligeant donc la forme des planètes et l’influence de leurs satellites ; d’un autre côté, le système des satellites d’une planète peut être étudié à part, en tenant compte de l’influence du Soleil et de la forme de la planète sur chaque satellite, et éventuellement en négligeant les attractions réciproques des satellites entre eux ou l’attraction qu’ils subissent de la part des autres planètes. Ce sont en fait les caractéristiques physiques des masses en présence (en particulier leur grandeur et leur répartition spatiale) qui permettent de simplifier plus ou moins les systèmes en négligeant les forces qui donneraient des effets non mesurables à un niveau de précision donné. On verra notamment que de nombreux systèmes sont ainsi assimilables à des systèmes de 2 corps subissant seulement des perturbations de la part des autres corps.

L’objet de ce cours sera ainsi de présenter des méthodes de résolution de problèmes simplifiés mais cepen-dant représentatifs, à un niveau de précision donné, de mouvements réels de satellites ou de planètes. La mise en équations de ces mouvements et leur résolution pourra éventuellement être faites aussi par les méthodes hamil-toniennes décrites dans la partie 2 et qui représentent une autre façon d’utiliser les principes fondamentaux de la mécanique générale.