Le problème des 2 corps
12. Eléments d’orbite
12.7. Calcul des éléments d’orbite à partir d’observations : Méthode de Laplace
1 0 0
0 cosθ sinθ 0 −sinθ cosθ
et <3(θ) =
cosθ sinθ 0
−sinθ cosθ 0
0 0 1
Remarque. Si, à la place des coordonnées cartésiennes, on désire les coordonnées sphériques deP (distancer, latitudeφet longitudeλ), on peut déterminer d’abordE, puisr etw, et utiliser les relations(3.44)qui donnent directementsinφettan(λ−Ω)en fonction deiet deω+w.
12.7. Calcul des éléments d’orbite à partir d’observations : Méthode de Laplace
Ce paragraphe concerne essentiellement des observations de planètes ou de comètes faites depuis la Terre ; leurs mouvements sont alors supposés héliocentriques, celui de la Terre étant en outre supposé connu. Ces obser-vations donnent uniquement la direction de l’astre (mais pas sa distance). Etant donné un certain nombre de telles observations le problème de la détermination des orbites consiste à trouver une conique ayant un foyer au Soleil, telle qu’elle s’appuie sur les directions géocentriques des observations et telle qu’elle soit décrite suivant la loi des aires (en toute rigueur, les directions d’observation sont d’abord topocentriques, c’est-à-dire vues d’un point de la surface de la Terre, mais, comme les corrections de parallaxe qui donneraient des directions géocentriques ne peuvent être faites qu’en connaissant la distance de l’astre, on néglige pour le moment ces corrections, ce qui revient à négliger les dimensions de la Terre devant cette distance).
Appelons ρ(τ) le vecteur unitaire de la ligne de visée géocentrique de l’astre observé à un instant τ. Sa direction peut être donnée par 2 coordonnées, généralement écliptiques ou équatoriales. Chaque observation fournit donc 2 données indépendantes. Comme une orbite est définie par 6 constantes, il suffit en principe de 3 observations indépendantes pour la déterminer. Cependant, si l’astre observé a un mouvement coplanaire à
celui de la Terre (donc situé dans l’écliptique), il faut 4 observations car une orbite dans ce plan est définie par 4 constantes (par exemple : a, e, ω, tp), et parce que chaque observation dans ce plan ne donne qu’une donnée à savoir la longitude de l’astre. Ceci permet de prévoir qu’un mouvement voisin de l’écliptique sera mal déterminé si l’on dispose de seulement 3 observations. D’une façon générale, il est d’ailleurs souhaitable d’en avoir davantage afin d’atténuer statistiquement l’effet des inévitables erreurs d’observation.
Il existe plusieurs méthodes de détermination d’orbite. Toutes cependant s’efforcent de donner d’abord, par approximations successives, la distance de la Terre à l’astre observé aux instants d’observation : Laméthode de Gausspour les orbites elliptiques (ou d’Olbers pour les orbites paraboliques) part de la connaissance approchée que l’on peut avoir de la constante des aires lorsqu’on dispose de 3 observations espacées de quelques semaines ; en revanche, la méthode de Laplaceque nous allons voir, suppose qu’on ait au moins 3 observations {ρ(τi)}, assez rapprochées dans le temps pour pouvoir déterminer les vecteursρ0,ρ˙0 et¨ρ0 à un instant moyenτ0; cette méthode se prète bien au calcul automatique et a l’avantage de convenir à tout type d’orbite. Son principe est de fournir les vecteurs position et vitesse héliocentrique de l’astre à l’instantτ0, à condition de conna^ıtreρ0, ρ˙0 et
¨
ρ0 à cet instant ; il suffit ensuite d’appliquer le formulaire décrit en§12.5pour obtenir les éléments de l’orbite.
Pour cela, notonsRle rayon vecteur géocentrique du Soleil ; on le connait à chaque instant grâce aux éphé-mérides du Soleil publiées chaque année par exemple dans la Connaissance des Temps. On peut donc aussi en déduire (numériquement) sa vitesse R˙ à un instant quelconque. Soient r et r˙ les vecteurs position et vitesse héliocentriques de l’astre, inconnus au départ et que l’on cherche à déterminer pour l’instantτ0. Soit enfin∆la distance geocentrique de l’astre à cet instant, également inconnue. On a alors, à tout instant :
r= ∆ρ−R (3.106)
d’où l’on tire par dérivation :
r˙ = ˙∆ρ+ ∆ ˙ρ−R˙ (3.107)
¨
r = ¨∆ρ+ 2 ˙∆ ˙ρ+ ∆ ¨ρ−R¨ (3.108)
Comme les mouvements héliocentriques de l’astre et de la Terre sont, en première approximation, des mouve-ments képlériens d’équation :
¨
r =−µr
r3 et R¨ =−µR
R3 (3.109)
on tire de(3.108)et de(3.106)l’équation vectorielle suivante :
∆ ¨ρ+ 2 ˙∆ ˙ρ+ ( ¨∆ + µ∆
r3 )ρ =µ r3 − µ
R3
R (3.110)
Sauf singularité, cette équation représente 3 équations scalaires dont on peut éliminer l’inconnue∆¨ ; il reste : (ρ∧ρ˙)·¨ρ∆ =R·(ρ∧ρ˙) µ
r3 − µ R3
(3.111) 2 (ρ∧¨ρ)·ρ˙∆ =˙ R·(ρ∧¨ρ)
µ r3 − µ
R3
(3.112) De l’équation(3.106)on tire en outre cette relation entre les inconnuesret∆:
r2 =R2+ ∆2−2∆ρ·R (3.113)
On utilise ces équations à l’instantτ0 : Si le produit mixte(ρ0,ρ˙0,¨ρ0)n’est pas nul (c’est-à-dire vecteurs non coplanaires et ρ˙0 6= 0 et ρ¨0 6= 0), (3.111) et (3.113) permettent de calculer r et ∆ à cet instant ; en effet, en reportant dans (3.113)la valeur de ∆donnée par (3.111) en fonction der, on obtient une équation algébrique de degré 8 en r; seules les racines réelles positives satisfont le problème. On pourrait montrer qu’avec R fixé à 1, il y a 3 racines réelles positives (dont celle r = R et∆ = 0), une racine réelle négative, et les autres sont complexes. L’ambiguïté entre les 2 racines positives possibles peut être levée par le signe deρ·Rdans le cas où ces 2 racines encadrent la racine r = R; dans le cas contraire, il faut faire jouer des critères de vraisemblance, ou utiliser des observations supplémentaires de façon à déterminerretr˙ à un autre instant.
Exercice
Dès querest ainsi déterminé, on peut calculer∆et∆˙ par(3.111)et(3.112), puisretr˙ par(3.106)et(3.107), et enfin les éléments d’orbite par le formulaire décrit en§12.5.Si le produit mixte (ρ0,ρ˙0,¨ρ0)est nul, il faut supposer que ¨ρ˙0 est connu et écrire l’équation donnant ¨r˙. On pourra alors trouver de la même façonret∆si le produit mixte(ρ0,ρ˙0,¨ρ˙ )0 est non nul.
Remarque 1. Les valeurs de r et der˙ que l’on détermine par la méthode précédente sont des premières ap-proximations des vecteurs position et vitesse héliocentriques de l’astre ; il faudrait améliorer ces valeurs appro-chées en tenant compte notamment du fait que le mouvement réel de la Terre ne suit pas l’équation simplifiée R¨ =−µR/R3, mais subit l’influence des autres planètes et surtout de la Lune : C’est en effet d’abord le bary-centre du système Terre-Lune qui suit sensiblement un mouvement képlérien autour du Soleil ; le mouvement de ce barycentre est ensuite perturbé par les autres planètes. Dans la détermination deR, il faut donc tenir compte de la position de l’observateur sur la Terre par rapport à ce barycentre en utilisant les éphémérides de la Lune.
Remarque 2. Les lois de la mécanique newtonienne concernent les positions géométrique des astres à un même