Energie d’une orbite et vitesses cosmiques

Pb

⁵

Pb

⁶

Pb

⁷

En mécanique spatiale, on étudie le mouvement orbital de corps artificiels qui peuvent être des satellites d’une planète ou des sondes spatiales en transit dans le système solaire ; on peut alors toujours considérer que leur masse est négligeable devant celle de cette planète ou devant celle du Soleil. On peut même considérer qu’en première approximation, lorsqu’un tel corps est dans le “voisinage” d’une planète de masse m, il ne subit que l’attraction de celle-ci, assimilable à celle d’un point ou d’une sphère de même masse, et qu’en dehors de ce voisinage, il ne subit que l’attraction du Soleil de masseM. Ce voisinage, presque sphérique, constitue lasphère d’influencede la planète, dont la définition et le rayon seront précisés en §6-24.4 à propos du mouvement des N corps. Disons seulement ici que dans ce voisinage, l’influence de la planète est “supérieure” à celle du Soleil.

Dans le voisinage de la planète, le mouvement du corps est donc représentable par un mouvement képlérien planétocentrique associé à une constanteµ=Km, et à l’extérieur de ce voisinage, par un mouvement képlérien héliocentrique de constante µ = KM; les planètes elles-mêmes peuvent être considérées comme ayant en première approximation des mouvements képlériens héliocentriques de constanteµ = K(M +m). Dans cette approximation, tous les mouvements du système solaire sont donc képlériens, chaque corps P étant attiré à chaque instant par un seul centreOde constanteµ.

Dans le cas où P décrit autour de O une orbite elliptique de demi-grand axe a, avec 2h = −µ/a < 0, l’intégrale de l’énergie s’écrit encore :

|r˙|² = 2µ r − µ

a (3.83)

Exercice

Si l’orbite est circulaire de rayonr = a, on en déduit la vitesse circulaireà la distancer et pour la constante d’attractionµ, notéeV_c(r):

V_c(r) = rµ

r (3.84)

Notons qu’implicitement le vecteur vitesse est alors normal au rayon vecteur. Inversement, on peut dire que si le point P est lancé à la distance r du point O avec une vitesse égale à la vitesse circulaire à cette distance et dirigéeperpendiculairementàOP, l’orbite deP est nécessairement circulaire.

α r0

P

a

|r˙₀|=p µ/r₀

ae O

Plus généralement, si l’orbite a une excentricité e et un demi-grand axea, aux points de l’ellipse oùr=a (c’est-à-dire aux extrémités du petit axe) on a une vitesse parallèle au grand axe et de module égal à pµ/a. L’angle α entrer et r˙ en ce point est tel que cosα = e. Donc, si on lance le point P à une dis-tance r₀ du point O avec une vitesse p

µ/r₀ égale à la vitesse circulaire à cette distance mais inclinée d’un angleαsurOP, l’orbite deP est elliptique avec e = cosα,a = r₀ et le grand axe de cette ellipse est

parallèle à la vitesse initiale. (3.84b)

Exercice

Dans le cas d’une orbite parabolique (h = 0), on a seulement :

|r˙|² = 2µ

r (3.85)

La vitesse correspondante est lavitesse paraboliqueà la distanceret pour la constanteµ; notéeV_p(r), on a donc aussi :

V_p(r) = √

2V_c(r) (3.86)

Il n’y a plus ici de contrainte sur la direction de la vitesse. Donc, si on lance le point P à une distance r₀ du pointO avec une vitesse égale à la vitesse parabolique à cette distance, l’orbite deP est parabolique, quelle que

soit l’orientation de cette vitesse lors du lancement. L’orbite parabolique éloigne le pointP du pointO jusqu’à l’infini. On dit queV_p(r)est aussi lavitesse de libérationà la distanceret pour la constanteµ. C’est la vitesse qu’il suffit juste de donner au pointP pour l’éloigner à une distance infinie du pointO, et pour qu’il “y arrive”

avec une vitesse nulle. Ainsi, selon que la vitesse initiale donnée à la distancerest inférieure, égale ou supérieure àV_p(r), l’orbite est nécessairement elliptique, parabolique ou hyperbolique respectivement.

Exercice

Pour laplanète Terre, de rayonR '6378km et de constanteµ= 398600km³s⁻², la vitesse circulaire à la sur-face de la Terre (vitesse de satellisation) vaut7,905km.s⁻¹; la vitesse de libération correspondante (à la surface de la Terre) est√

2fois plus grande : 11,18km.s⁻¹. De même, dans le système solaire où la constanteµ vaut environ39,4769UA³.an⁻², la vitesse circulaire en un point situé à 1 UA du Soleil est égale à6,2831UA.an⁻¹ soit29,785km.s⁻¹; la vitesse de libération du système solaire à 1 UA vaut alors42,122km.s⁻¹.

Dans le cas d’une orbite hyperbolique (2h=µ/a=V_∞² >0), on peut écrire :

|r˙|² = 2µ r +µ

a =V_p² +V_∞² (3.87)

A l’infini, le vecteur vitesse est porté par l’une ou l’autre des asymptotes ; sur l’une, la vitesse est dirigée vers le centreCde l’hyperbole, tandis que sur l’autre, elle éloigneP deC; l’angleδentre les asymptotes orientées dans le sens du mouvement deP à l’infini, représente ladéviationdeP due à l’attraction deO par l’intermédiaire de la constante d’attractionµ. On a :

δ =π−2(π−w_∞) avec cosw_∞ =−1/e =⇒ sin(δ/2) = 1/e En utilisant les relations :q=a(e−1),b=a√

e²−1eta=µ/V_∞², on obtient encore : sinδ

2 = 1

1 + qV_∞² µ

(3.88)

et aussi :

sin² δ

2 = 1

1 + b²V_∞⁴ µ²

(3.89)

Exercice

La première relation permet de calculer la déviation obtenue pour une vitesse donnée à l’infini, en fonction de la distanceqau péricentre ; la seconde donne cette déviation en fonction debqui représente la distance du foyer O à l’asymptote, c’est-à-dire aussi la distance au pointO à laquelleP serait passé s’il n’avait pas été attiré par ce point.

Ces formules sont intéressantes pour évaluer par exemple la déviation subie par une sonde spatiale ou par une comète lorsque celle-ci, se rapprochant d’une planète, traverse sa sphère d’influence ; on peut alors considérer qu’en première approximation, dans ce voisinage, le mouvement d’une particule est uniquement dû à l’attraction de la planète (problème de deux corps). Si S désigne la sonde ou la comète, et P la planète rencontrée, leurs vitesses héliocentriques sont notées respectivementV(S/R)etV(P/R). La vitesse planétocentrique deSest notéeV(S/R_P), oùR_P est un repère d’origine P en translation par rapport àR. La vitesse planétocentrique deS à l’entrée de la sphère d’influence deP est :

V^e(S/R_P) =V^e(S/R)−V^e(P/R) =V^e_∞ (3.90) Après avoir “contourné” la planète en passant à la distance minimaleq, le pointS sort de la sphère d’influence avec une vitesse planétocentriqueV_∞^s déviée de l’angleδ(V_∞^e etV^s_∞ont même module). La vitesse héliocen-trique deSà cet instant est alors :

V^s(S/R) = V^s(S/R_P) +V^s(P/R) = V^s_∞+V^s(P/R) (3.91)

δ

V^e(P/R)

V^e(S/R) V^e(S/R_P)

=V^e_∞ V^s(P/R)

V^s(S/R) V^s(S/RP) = V^s_∞

P

sphère d’influence

entrée sortie

Pb

⁵

Si l’interaction deS avec P dure un temps négligeable, on pourra considérer que les vitessesV^e(P/R)et V^s(P/R)sont égales. Selon le sens de la déviation subie par S dans le repère planétocentrique, la nouvelle vitesse héliocentriqueV^s(S/R)peut être de module supérieur ou inférieur à celui deV^e(S/R); il en résulte pourSun gain ou une perte d’énergie (échangée avec la planète), et donc une orbite lui permettant de s’éloigner ou de se rapprocher davantage du Soleil. C’est ce mécanisme, appelétremplin gravitationnel, qui est utilisé par les sondes spatiales pour atteindre par exemple Saturne grâce à un survol adéquat de Jupiter (sondes Voyager 1 et 2), ou qui explique que de nombreuses comètes périodiques, initialement sur des orbites héliocentriques paraboliques, aient été “capturées” par Jupiter lors d’un survol de celui-ci, transformant la parabole initiale en ellipse.

Dans le document Cours de Mécanique céleste classique (Page 136-140)