Synthèse concernant l’approche théorique, la problématique et l’opérationnalisation

Pour nous résumer, nous dirons que notre recherche s’intéresse à certains effets liés à la sémantique des énoncés de problèmes sur les processus de résolution. Il s’agit de faire dénombrer par des élèves du collège des combinaisons de 2 objets pris parmi n. Pour étudier ces effets, nous avons adopté une approche cognitiviste et pragmatique que nous allons résumer à présent avant de présenter notre expérimentation.

Dans cette approche de la résolution de problème (et par conséquent des proces- sus de conceptualisation qui l’accompagnent), les rapports entre l’activité de l’élève et le contexte sémantique donné par l’énoncé s’analysent en terme de représentation du problème. Cette notion peut se définir comme une entité mentale circonstancielle qui entretient avec la situation des liens que Vergnaud (1990) qualifie « d’homomorphes ».

connaissances de nature opératoire du fait des liens qu’elles entretiennent avec certaines règles d’action. Ces connaissances opératoires participent à la modélisation de la situa- tion en ayant souvent recours à des registres sémiotiques pour représenter la situation et opérer dessus. Certain de ces registres sont propres à une discipline scientifiques comme dans les cas de mises en équation algébriques ou le recours à des formules. Mais l’utilisation spontanée d’un schéma procède aussi du recours à un outil de modélisation ayant, dans ce cas un statut plus ou moins privé. En contre partie, l'emploi plus ou moins pertinent ou malheureux de formules ne peut être considéré comme relevant d’une activité de modélisation ce qui interroge du point de vue de la didactique des dis- ciplines l’enseignement de ces formules.

Dans ce cadre-là, notre travail cherche à faire un inventaire des difficultés de résolution liées aux caractéristiques d’une variable de situation définie par les travaux de Dubois (1984) et Batanero, Godino et Navarro-Pelayo (1997). Il s’agit des modèles combinatoires implicites dont les modalités sont la partition, la sélection et la distribu- tion. Cette variable peut jouer comme variable didactique en définissant un certain nombre de situations relatives au champ conceptuel des dénombrements élémentaires. Ce point particulier pose la question de la généralisation et du transfert sémantique entre les différentes situations qui relèvent des mêmes opérations. Cette question justifie l’inventaire que nous voulons produire sur les difficultés de nature sémantiques liées aux caractéristiques contextuelles des différents modèles combinatoires implicites. Ces quelques lignes pour résumer notre approche théorique nous permettent, à présent, de justifier les moyens mis en oeuvre pour analyser notre corpus et rendre compte des ef- fets sémantiques liés aux modèles combinatoire implicites.

Il est courant de commencer une analyse des données recueillies par une étude des performances. Mais se limiter à cet aspect des choses suppose que résoudre un pro- blème est essentiellement déterminée par la présence chez l’élève de connaissances opé- ratoires abstraites et décontextualisées. Or, dans la recherche de Batanero, Godino et Navarro-Pelayo (ibid.), les différences de performances observées selon le modèle com- binatoire implicite montrent que ces derniers ne sont pas des objets neutres sur lesquels porte l’activité mathématique de l’élève. Ils possèdent des caractéristiques qui jouent sur les significations particulières que les élèves élaborent au cours de l’interprétation. Dans

des traces écrites et des justifications qui les accompagnent. Nous considérons ces pro- cédures, ces écritures et ces justifications comme des indices à partir desquels il est pos- sible d’inférer les significations élaborées par les élèves, en relation avec les particulari- tés sémantiques des différentes modalités du facteur modèle combinatoire implicite. Notre objectif est donc bien de proposer un modèle relativement complet qui décrit les interactions entre les représentations des élèves (représentation du problème élaborée, connaissances opératoires mises en œuvre) et les contextes sémantiques des différents problèmes posés.

Les élèves qui constituent nos échantillons n’ont fait l’objet d’aucun enseigne- ment en matière de combinatoire élémentaire. Le choix de cette population est tout de même déterminé par deux points. D’une part, des travaux précédents ont montré qu’il est raisonnable de penser que ces élèves possèdent tout de même un certain nombre de connaissances opératoires relativement effectives en matière de dénombrement élémen- taires. D’autre part, ne possédant pas de procédures expertes, nous faisons l’hypothèse que ces élèves sont donc plus sensibles à l’effet sémantique lié à la nature des modèles combinatoires implicites.

Notre recherche a donc pour objet les significations qui déterminent à la fois les procédures et les raisonnements spontanément mis en oeuvre par des élèves du collège

(classe de 4ème – grade 8) pour certains problèmes qui relèvent du champ conceptuel de

la combinatoire élémentaires. Ce dernier, nous l’avons vu ci-dessus, est délimité par Batanero, Godino et Navarro-Pelayo (1997) en croisant deux facteurs de complexité des tâches mathématiques : les opérations combinatoires (arrangements, permutations et combinaisons) et les modèles combinatoires implicites (sélection, distribution et parti- tion). A ce dernier facteur, nous avons ajouté l’association de 2 éléments pris parmi n en faisant l’hypothèse qu’il s’agit bien là d’une nouvelle modalité possible. Nous avons réduit le facteur « opérations combinatoires » à la seule modalité des combinaisons puisque les travaux de Piaget et Inhelder (1951), de Fischbein et Gazit (1988) et de Ba-

Notre travail est constitué de deux expériences. La première, exploratoire, est organisée sous forme de « devoir sur table ». Les élèves travaillent seuls sur un des pro- blèmes définis par notre protocole expérimental. A partir de cette épreuve nous avons obtenu des données concernant les performances qui ont confirmé l’association comme une nouvelle modalité pertinente du facteur « modèle combinatoire ». Enfin et surtout, elle nous a permis de relever l’ensemble des procédures observables dans le corpus re- cueilli.

La deuxième expérience a pour objectif de saisir les raisonnements et les conceptions qui sous-tendent la mise en œuvre de ces différentes procédures. Cette épreuve est organisée sous forme de travail en groupe (en « ateliers ») au cours desquels des groupes de trois élèves devaient résoudre ensemble un des problèmes de la première expérience avec n=20. Nous présenterons dans cette partie les approches théoriques qui permettent d’approcher le contexte interactionniste et social de cette épreuve. Elle pré- sente, en effet une rupture théorique avec la première dans la mesure où les significa- tions ne sont plus appréhendées comme uniquement relative à l’individu mais comme quelque chose de partagé dans un groupe d’élèves partageant une tâche commune. Weil-Barais et Dumas-Carré (1998, p. 4) signalent que dans ce cadre-là : « Les proposi-

tions n’acquièrent un statut de connaissances qu’en tant qu’elles sont reconnues par les partenaires des échanges. L’élève n’est plus pensé comme un système cognitif isolé mais comme une personne qui utilise des ressources, qui les compare, les évalue, les critique, etc. La connaissance n’est plus conçue comme une relation entre des individus et des objets, mais comme une relation entre des personnes et des propositions qui peu- vent être tenues pour vraie eu égard à des conventions partagées quant aux modes d’appréhension des situations. » Dans ce type d’approche, une analyse du contenu des

échanges entre les élèves a permis d’appréhender les modélisations et les raisonnements qu’ils engagent selon les problèmes posés. Cette observation a ainsi dégagé deux modè- les de résolution dominants avec quelques variantes. Cependant, l’interprétation de l’effet lié à la sémantique des différents problèmes posés reste délicate dans la mesure où il est certainement difficile de dissocier ce qui relève des caractéristiques de chaque modèle combinatoire des propriétés relatives aux objets des collections en jeu.