Les procédures arithmétiques que nous venons de décrire permettent de trouver le nombre de combinaisons possibles d’une collections d’objets quelconques quelqu’en soit l’effectif. Cependant, quand ce dernier est peu important, il est plus simple de pro- céder à une simple énumération. Toute la difficulté réside alors dans l’organisation de l’inventaire des combinaisons possibles.
Nous présentons, à ce sujet, quelques travaux ayant relevé certaines procédures spécifiques et qui peuvent apporter quelques éclaircissements sur ce point. Ces dernières ont été mises en œuvre par des sujets jeunes (de 8 à 10 ans environs). Elles concernaient essentiellement des énumérations de couples possibles d’un produit cartésien ou de permutations entre les objets d’une collection. Bien que la tâche liée à notre protocole expérimental demande aux élèves de dénombrer des combinaisons, nous considérons que toutes les conduites correspondantes relèvent de ce que Vergnaud et Cohen (1969) appellent une « activité combinatoire ». Pour notre travail, nous définissons cette notion comme une activité spécifique qui, selon les situations, énumère et dénombre, d’une façon ou d’une autre, des arrangements, des permutations ou de combinaisons.
a. Les procédures observées par Vergnaud et Cohen (1969)
Cette étude a donc pour objet l’activité combinatoire des enfants d’environ 8 ans. L’épreuve consiste à leur faire déterminer successivement, d’une part, les couples d’un produit cartésien de deux ensembles distincts de cardinal 3, d’autre part, les cou- ples d’un produit cartésien d’un ensemble avec lui-même, enfin, les permutations de 3 éléments et les permutations de 4 éléments.
Sans entrer dans les détails, les procédures systématiques trouvées sont les sui- vantes :
- Procédures utilisant l’ordre alphabétique : AB, AC, AD, etc. Cette procédure se retrouve en terme « d’énumération systématique » chez Maury et Fayol (1986, cf. ci- dessous).
- Procédures symétriques : CD, DC, etc. Cette procédure n’est pas pertinente pour
- Procédures circulaires : AB, BC, CD, etc. que l’on retrouve chez Maury (ibid.). Elle est insuffisante pour énumérer tous les possibles de nos problèmes puisqu’elle n’associe chaque objet qu’à son voisin.
- Procédures consistant à garder constant le premier élément et énumérer les per- mutations possibles des autres éléments selon une autre procédure : ABCD, ACDB, ADBC, etc. Cette procédure est nommée « élément constant » chez Mendelsohn (1981, cf. ci-dessous).
- Procédures consistant à placer un des objets aux différentes places possibles du terme : YABC, AYBC, ABYC, etc. Cette procédure est appelée « permutations cir- culaires » chez Mendelsohn (ibid.).
Ces deux dernières procédures ne sont pas pertinentes pour nos problèmes puis- que les dénombrements ne portent pas sur des permutations mais des combinaisons.
b. Les procédures observées par Mendelsohn (1981)
Mendelsohn étudie les différents niveaux d’organisation de l’énumération des permutations par des enfants d’environ 10 ans. Ces niveaux de conduite se répartissent depuis l’activité de base qui consiste à modifier un terme pour en obtenir un second (par exemple : ATRI ! IRTA) jusqu’à l’organisation globale d’un plan d’ensemble qui régit les différentes transformations à appliquer selon un certain ordre. Ils présentent ainsi différents niveaux de procédure :
- Le tâtonnement empirique,
- Les algorithmes simples qui peuvent prendre différentes formes : " Elément constant : ATRI, AIRT, ARIT (déjà évoqué ci-dessus). " Terme inversé : ATRI, IRTA.
" Permutations circulaires : ATRI, TARI, TRAI, TRIA (procédure vue chez Vergnaud et Cohen, ibid.).
" Récurrence : le sujet construit les termes possibles de trois lettres et place la quatrième lettre à droite de chaque terme.
" Combinaisons de blocs inversés : AT IR, TA RI, IR AT, RI TA, etc. - Les procédures complexes pour lesquelles une règle algorithmique est complétée par une deuxième. Cette dernière s’applique à chaque terme produit par la première règle:
1. ATIR ! 4. ATRI 2. ARTI ! 5. ARIT 3. AIRT ! 6. AITR
(les numéros indiquent l’ordre d’énumération)
- Les procédures à plan unique pour lesquelles la règle complémentaire s’applique à chaque pas de la règle initiale :
1. ATIR ! 2. ATRI 3. ARTI ! 4. ARIT 5. AIRT ! 6. AITR
- Les méta procédures pour lesquelles le sujet se représente l’ensemble des trans-
formations possibles sans être obligé de les construire. Il commence l’énumération puis, une fois la règle comprise, il l’utilise pour répondre par des calculs :
1. RATI 2. RAIT 3. RTAI 4. RTIA 5. RIAT 6. RITA
c. Les procédures observées par Maury et Fayol (1986)
Cette expérience étudie les procédures mises en œuvre par des élèves de 9 et 10 ans sur des situations se référant à la combinatoire et mettant en jeu des circuits électri- ques (cf. aussi page 11). Dans une première expérience, les élèves doivent identifier la seule pile et la seule lampe qui fonctionnent parmi quatre piles et quatre lampes. Dans une deuxième expérience, ils doivent découvrir la seule connexion existante entre quatre bornes à droite et quatre bornes à gauche d’un circuit électrique.
La tâche demandée correspond à l’énumération d’un produit cartésien. Les pro- cédures qui ont été observées sont les suivantes :
- Enumérations systématiques : l’élève fixe un une pile et essaie toutes les ampou-
les avant de passer à la seconde pile. Cette procédure et la suivante sont aussi pré- sentes dans l’étude de Vergnaud et Cohen (ibid.).
- Enumération partitive : l’élève ne relie que les plots de gauche et de droite qui se
font face.
- Enumération croisée : l’élève fixe un plot à gauche et essaie successivement les
plots à droite. Ensuite, il fait pareil en fixant cette fois un plot à droite.
Nous retiendrons donc l’énumération systématique comme procédure d’énumération qui permet de dénombrer de façon organisée les combinaisons possibles dans nos problèmes.