L’inventaire des combinaisons possibles peut être produit sur un certain nombre de figures. Dans ce cas, l’élève utilise les propriétés spatiales du plan à la fois pour repé- rer et différencier les objets de la collection (ils occupent des positions distinctes) et organiser méthodiquement l’énumération.
Afin de pouvoir l’analyser, nous faisons référence registre de la graphique tel qu’il a été décrit par Bertin (1977). Pour cet auteur, la graphique a pour fonction de transcrire dans le plan les relations d’ordre, de différence ou de proportion entre objets par des variations visuelles identiques du signifiant (ibid. p. 176-232). Ce dernier est donc caractérisé par des relations spatiales équivalentes à celles de l’objet représenté. Les propriétés perceptives de la figure, orientées sur la feuille selon l’ordre convention- nel de lecture (de haut en bas, de la gauche vers la droite) peuvent servir de repères or- donnés pour organiser de façon méthodique l’énumération. Par les repères spatiaux qu’elle fournit, la graphique permet d’engager une énumération méthodique au même titre que l’utilisation de l’alphabet ou de numéros.
Les problèmes que nous posons aux élèves qui ont participé à notre expérimen- tation concernent ce que Bertin nomme des données à une composante : l’énumération porte sur les objets d’une seule collection. Par conséquent, le mode de représentation le plus adapté pour des combinaisons serait la figure en réseau rectiligne ou circulaire. Voici deux exemples de représentation de combinaisons de 4 objets pris 2 à 2 :
Figure 1 : Réseau rectiligne et réseau circulaire.
gure peut être facilitatrice pour l’élaboration d’une réponse juste, surtout si le nombre d’objets de la collection est important.
Ainsi, l’inventaire sur figure s’appuie sur les propriétés d’ordre de la graphique et l’organisation spatiale des objets dans le plan. Ces derniers sont distingués par la place qu’ils occupent les uns par rapport aux autres. En principe, il n’est pas nécessaire de les identifier par des caractéristiques spécifiques (numéros, lettres, formes). Voici quelques exemples :
Exemple 6 : Elève 217, problème Aslt 20-4 n=4.
L’Exemple 6 présente un réseau en ligne. Les objets sont identifiés par des let- tres, mais cela est inutile pour en énumérer les combinaisons possibles. Ces derniers sont représentés par des lignes reliant méthodiquement les différents objets selon un ordre spatial (de haut en bas), du premier au dernier. Cette figure renvoie à une même organisation de l’activité que l’énumération sur liste de l’Exemple 3 selon la procédure « élément constant ».
Nous savons que les réseaux en arbres s’adaptent mieux pour inventorier les ar- rangements et les permutations du fait de leur caractère ordonné (cf. Fischbein, Pampu et Minzat, 1970). L’Exemple 7 montre le cas d’un élève qui procède à une énumération sur arbre. Il se retrouve avec un inventaire de paires ordonnées (ou couples : 1-2 avec 2- 1, par exemple) et il est obligé de barrer les réponses redondantes en justifiant de cette façon : « […] mais il y a 6 répétitions […] ».
Exemple 7 : Elève 154, problème Sél 4-20 n=4.
Exemple 8 : Elève 228, problème Asgm 4-20 n=4.
L’Exemple 8 présente une figure qui renvoie au réseau circulaire de Bertin. Il apparaît dans l’explication de l’élève que ce dernier assimile la figure à un quadrilatère, chaque objet est représenté par un des sommets : « Je le trouve en pensant à un carré et
à ses diagonales. » L’interprétation semble ainsi s’appuyer sur une figure, le quadrila-
tère, dont certaines caractéristiques (4 côtés et 2 diagonales) participent certainement à la modélisation de la situation. Ce processus semble proche de ce que nous avons évo- qué dans l’introduction sous le terme de transfert sémantique par analogie et qui permet de résoudre un problème en empruntant des connaissances opératoires issues d’une si- tuation relativement mieux maîtrisée (cf. sous I.3.A, p. 12). Cette analogie semble pro- duire une représentation tellement prégnante de la situation que certains élèves peuvent se passer de tracer la figure pour énumérer les combinaisons possibles, comme dans l’Exemple 9 :
Exemple 9 : Elève 195, problème Dis 4-20, n=4.
Il serait faux de croire que la figure en réseau est la seule possibilité de représen- ter et de traiter la situation dans le registre de la graphique. Les figures suivantes (Exemple 10 et Exemple 11) montrent la situation et son traitement sous forme de ta- bleaux.
Exemple 10 : Elève 134, problème Dis 20-4 n=4.
Exemple 11 : Elève 264, problème Par 4-20 n=4.
Avec ce type d’outil sémiotique qui utilise aussi les propriétés d’ordre et d’orientation du plan, l’élève peut organiser son action pour énumérer méthodiquement les groupes possibles. Un tableau croise deux ensembles de données ; dans nos exem-
propos, et qui vient appuyer notre remarque, que les figures de ces deux exemples ne représentent pas le contexte sémantique : ce n’est pas une grille qui est dessinée ou un groupe d’enfants. Ces réponses représentent directement le traitement de la situation à l’aide d’un outil sémiotique approprié, ce qui demande déjà une certaine décontextuali- sation par rapport au contenu de l’énoncé.
Il existe cependant des formes intermédiaires entre le tableau et la figure. Elles fonctionnent comme un tableau par juxtaposition des appariements possibles mais reste relativement contextualisée en représentant non seulement le traitement de la situation mais aussi les objets qui la constituent. Dans l’Exemple 12, les différentes parties du jeu des gendarmes et des voleurs sont inscrites dans le temps (puisqu’il ne faut qu’une équipe de deux gendarmes pour jouer à chaque fois) et l’inventaire des appariements possibles est, par conséquent, représenté par étages successifs. Ici, le contexte est repré- senté puisque la réponse montre six fois de suite le groupe de 4 enfants qui jouent. Cet exemple est proche du tableau en ressemblant beaucoup à l’Exemple 10 dans son fonc- tionnement.
Exemple 12 : Elève 284, problème Sél 4-20 n=4.
L’Exemple 13, relatif à Dis, présente la même façon une juxtaposition des pos- sibles en étapes successives bien que la situation ne soit pas inscrite dans le temps : il ne peut y avoir que deux cases cochées à la fois sur la grille (alors que plusieurs groupes de deux randonneurs peuvent se saluer en même temps). Cette fois encore, et contrairement
à l’Exemple 10, le contexte est représenté par des dessins de grilles Nous avons à la fois une représentation de la situation et de son traitement.
Exemple 13 : Elève 038, problème Dis 4-20 n=4.
Une autre forme de traitement sémiotique était possible dans ce cas : certains élèves ont procédé à une énumération sur une seule figure représentant la grille. Cela donne quelque chose de proche d’un réseau circulaire (comme dans l’Exemple 8) qui serait inscrits dans une grille de quatre cases (Exemple 14). Cet exemple ne correspond donc plus du tout au fonctionnement d’un tableau.
Exemple 14 : Elève 311, problème Dis 20-4 n=4.
2. Définition des classes de réponses
Pour aborder la manière dont les différentes sortes de réponses produites par les élèves se distribuent selon chaque modèle combinatoire implicite, il est avant tout né-
Les réponses justes et intermédiaires sont regroupées dans la classe des réponses pertinentes dans la mesure où elles font l’objet d’une « activité combinatoire » telle que nous l’avons défini ci-dessus (p.41). Les réponses strictement fausses ne font pas appa- raître les indices d’une activité combinatoire.