Sommes symétriques

Les opérateurs auto-duals ont été étudiés dans [Calvo et al.,2002], où un tel opérateur est construit comme la moyenne entre un opérateur d’agrégation et son dual. Un cadre plus général est proposé plus récemment par Maes et al. [Maes et al.,2005]. Initialement, Silvert [Silvert,1979] avait introduit des opérations permettant de fusionner deux ensembles flous de manière à ce que le complément de la combinaison soit la combinaison du complément, en d’autres termes,

1 − SS(x1, · · · ,x_n) = SS(1 − x1, · · · ,1 − x_n) (A.20) où l’opérateur SS est appelé somme symétrique. Silvert montrera ainsi que les sommes symétriques sont des opérations continues, non décroissantes, commutatives que l’on peut écrire sous la forme

SS(x,y) = ^{f (x, y)}

f (x, y) + f (1 − x, 1 − y) ^(A.21) où f est une fonction continue croissante respectant f (0,0) = 0. Dans l’esprit des combi-naisons convexes décrites à la section précédente, cette fonction f peut être une t-norme ou une t-conorme. On pourra ainsi remarquer que si l’on prend f (x, y) = x · y, on obtient l’opérateur de renforcement complet défini dans l’exemple1.2.

Annexe B

Théorie des ensembles flous

Cette annexe introduit de façon assez brève des éléments et définitions de la théorie des ensembles flous. Les propriétés de la théorie classique des ensembles seront utilisés afin d’introduire leurs équivalents flous. Ce chapitre ne se voulant absolument pas exhaustif, le lecteur pourra se référer à [Dubois and Prade, 1980; Bezdek et al., 1999a;Dubois and Prade,2000] pour plus d’informations. Par la suite, nous dénoterons

– X = {x1, · · · ,x_n} le (supposé fini) univers de discours,

– C(X) et F (X) les ensembles de tous les ensembles stricts et flous de X, respectivement, – f_A(x), ∀x ∈ X, la fonction d’appartenance d’un ensemble flou A sur X.

Dans un ensemble classique A ⊂ X, A dénote une collection d’éléments. Les éléments x ∈ X peuvent ou non appartenir à l’ensemble A. Contrairement à l’ensemble classique, l’ensemble flou utilise une fonction d’appartenance pour chaque x, dénotant ainsi à quel point (degré) l’élément x appartient à A.

Définition B.1. Un ensemble flou A sur X est défini par la donnée d’une application

f_A: X → I (B.1)

f_A(x) 7→ [0, 1] (B.2)

où f_A(x) s’interprète comme le degré d’appartenance de x à A.

Evidemment, cette définition est la simple extension de la définition stricte, où f_A(x) peut prendre les valeurs 0 ou 1.

Définition B.2. Le support d’un ensemble flou A est l’ensemble des éléments pour

les-quels le degré d’appartenance n’est pas nul

Supp(A) = {x ∈ X : f_A(x) > 0}

Définition B.3. Le noyau d’un ensemble flou A est l’ensemble des éléments pour lesquels

le degré d’appartenance vaut 1

N oyau(A) = {x ∈ X : f_A(x) = 1}

Définition B.4. Un ensemble flou A est dit normal lorsque son noyau est non-vide, en

d’autres termes, on peut trouver un x tel que f_A(x) = 1.

Définition B.5. L’α-coupe d’un ensemble A est défini par A_α = {x ∈ X : f_A(x) ≥ α} Si l’on utilise l’inégalité stricte, alors l’α-coupe sera dite stricte.

On peut dès lors formuler les opérations ensemblistes floues usuelles sur deux ensembles flous A et B :

Egalité A = B ∀x ∈ X, f_A(x) = f_B(x) (B.3) Inclusion A ⊆ B ∀x ∈ X, f_A(x) ≤ f_B(x) (B.4) Intersection A ∩ B ∀x ∈ X, f_A∩B(x) = min(f_A(x),f_B(x)) (B.5) Union A ∪ B ∀x ∈ X, f_A∩B(x) = max(f_A(x),f_B(x)) (B.6) Complémentaire A^¯ ∀x ∈ X, fA¯(x) = 1 − f_A(x) (B.7) De manière plus générale, l’union et l’intersection d’ensembles flous peuvent être définies via les normes triangulaires. On peut donc modifier les équations (B.5-B.6) et obtenir

Intersection A ∩ B ∀x ∈ X, f_A∩B(x) = >(f_A(x),f_B(x)) (B.8) Union A ∪ B ∀x ∈ X, f_A∩B(x) = ⊥(f_A(x),f_B(x)) (B.9) Les deux lois fondamentales en théorie ensembliste classique sont le principe du tiers exclu (A ∪ ¯A = X) et le principe de non-contradiction (A ∩ ¯A = ∅). Ces deux principes ne sont pas respectés en théorie des ensembles flous.

Nous terminerons ce bref aperçu de la théorie des ensembles flous en présentant rapide-ment une dérivée de celle-ci : la théorie des possibilités [Zadeh, 1978; Dubois and Prade, 1988]. Si nous considérons un ensemble de référence X, la croyance en un événement dé-fini sur X est complètement déterminée par la connaissance des degrés de nécessité et de possibilité.

Définition B.6. Une mesure de possibilité Π est une fonction définie sur l’ensemble des

parties de X, P(X), à valeurs dans I telle que

Π(X) = 1, Π(∅) = 0 (B.10)

∀A, B ∈ X, Π(A ∪ B) = max(Π(A), Π(B)) (B.11)

Définition B.7. Une mesure de nécessité N est une fonction définie sur l’ensemble des

parties de X, P(X), à valeurs dans I telle que

N (X) = 1, N (∅) = 0 (B.12)

∀A, B ∈ X, N (A ∩ B) = min(N (A), N (B)) (B.13) Par analogie aux fonctions d’appartenance des ensembles flous, on peut utiliser une fonction attribuant un degré de possibilité à tout élément x de X.

Définition B.8. Une distribution de possibilité est une fonction π : X → I telle qu’il

Annexe C

Familles de Normes Triangulaires

Nous présentons dans cette section des informations liées aux familles de normes trian-gulaires paramétriques que l’on retrouve régulièrement dans la littérature, et qui n’auront, par manque de place et par mesure de concision, pas été développées dans le corps prin-cipal de ce manuscrit. Pour chaque couple, nous introduirons leur définition, ainsi qu’une visualisation sur le carré unité. Cette approche graphique permettra ainsi une meilleure compréhension de l’importance, et des particularités qu’induisent l’introduction d’un para-mètre dans ces couples. Pour l’ensemble des iso-surfaces représentées dans cette section, la couleur rouge correspond à une valeur importante, et la couleur bleue à une valeur faible.

C.1 Aczél-Alsina

Initialement introduite dans [Aczél and Alsina, 1984], cette famille est la seule pour laquelle quels que soient p,q dans λ ∈]0,1[∪]0,∞[, le nombre ^{log p}_{log q} est irrationnel, et pour tout (a,b) ∈ [0,1]², on a >(a^p,b^p) = >(a,b)^p, de même que >(a^q,b^q) = >(a,b)^q. La norme triangulaire d’Aczél-Alsina >_AAλ est définie par

>_AAλ(a,b) =        >_D(a,b) si λ = 0 >_M(a,b) si λ = ∞

exp^− (log a)λ+ (log b)^λ
1/λ

si λ ∈]0,∞[ où λ ∈ [0, + ∞], voir la première ligne de la Fig.C.1.

La conorme triangulaire d’Aczél-Alsina ⊥_AAλ est définie par

⊥_AAλ(a,b) =        ⊥_D(a,b) si λ = 0 ⊥_M(a,b) si λ = ∞

1 − exp^− − (log(1 − a))λ+ (− log(1 − b))^λ
1/λ

si λ ∈]0,∞[ où λ ∈ [0, + ∞], voir la seconde ligne de la Fig.C.1.

Les fonctions génératrices de >_AAλ sont définies par

t(a) = (− log a)^λ si additive θ(a) = exp(−(− log a)^λ) si multiplicative

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Fig. C.1: Première ligne : Iso-surface de >AA_λ pour λ = 0.75 et λ = 2. Deuxième ligne : Iso-surface de ⊥AA_λ

pour λ = 0.75 et λ = 2.

À noter que l’on voit aisément que si l’on fixe λ = 1, on obtient la famille (>,⊥)_P. Par ailleurs, toutes les normes triangulaires générées par cette famille sont continues, à l’excep-tion du cas où λ = 0.