Approche logique et unification de règles usuelles

k : Φ^Kλ 1,k+1 u(x)
≤ t (4.29) Nous avons proposé dans [Le Capitaine and Frélicot, 2008b] une deuxième stratégie, fondée sur un schéma itératif, afin de trouver k. Cet algorithme (voir Algorithme2) est en fait la seconde étape H et se résume comme pour i variant de 1 à c, on fixe h_i(x) = 1 si Φ1,i(µ(x)) ≥ t, où t est un seuil défini par l’utilisateur.

Algorithme 2 : Étape d’assignation H : Lpc→ Lc hc.

Données : Un vecteur u de degrés d’appartenance, un seuil de rejet d’appartenance s, un seuil de

rejet en ambiguïté t.

Résultat : Un vecteur h(x) d’affectation sélective. début si u(1)(x) < s alors hi(x) ← 0 ∀i = 1,c fin siPc i=1hi(x) > 0 alors pour i ← 1 à c faire si Φ1,i(u(x)) ≥ t alors

hi(x) ← 1 fin sinon hi(x) ← 0 fin fin fin retourner h(x) fin Par convention, Φ^Kλ 1,1 u(x)
= u(1)(x) u₍₁₎(x) ^{= 1 (4.30)}

quel que soit le couple de t-normes. Ainsi, Φ^Kλ

1,1 u(x)

est toujours plus grande que t, pour tout t dans [0, 1]. Cette propriété assure que au moins une classe sera sélectionnée, celle correspondant au degré d’appartenance maximum, c’est à dire celle sélectionnée par la règle de classification optimale de Bayes, mais cette fois-ci dans le sens de Chow [Chow, 1970]. En particulier, si l’on fixe t à 1, il n’y aura pas de rejet en ambiguïté³. Également par convention,

Φ^Kλ

0,1 u(x)

= u₍₁₎(x)

u₍₀₎(x) ^{= u(1)(x) (4.31)}

Les résultats expérimentaux seront donnés en section 4.5.

4.3.2 Approche logique et unification de règles usuelles

Dans [Le Capitaine and Frélicot,2009a], nous proposons une nouvelle manière de définir une mesure d’ambiguïté à partir d’implications floues (section 2.2.4). Dans [Hirota and 3. Sauf dans le cas fortement improbable en pratique où u₍₁₎(x) = u₍₂₎(x). Dans ce cas, deux classes seront sélectionnées, ce qui reste cohérent par rapport à la pratique.

4.3. De nouvelles mesures de sélection 109

Pedrycz, 1991], les auteurs proposent de calculer le degré d’égalité entre deux quantités floues x et y par

(x ≡ y) = ¹ 2



(x → y) ∧ (y → x) + (x → y) ∧ (y → x)^ (4.32) où ∧ est le minimum, → est une implication et x est la négation stricte x = 1 − x.

Selon l’implication utilisée, certaines simplifications peuvent être opérées. En particulier, si → respecte le principe de confinement (voir section 2.2.4), et utilisant le fait que 1 est élément neutre de ∧, on obtient

(x ≡ y) = ¹

2 ^{(x → y) + (y → x)}

(4.33) Comme dans le cas des mesures de comparaison, on retrouve encore une fois le rôle clé de la propriété de confinement.

Proposition 4.1 ([Le Capitaine and Frélicot,2009a]). À partir d’un ensemble de c degrés de vérité, triés de manière décroissante : u₍₁₎(x) ≥ · · · ≥ u_(c)(x). Soient les deux prédicats (x est ω_i), de valeur u_(i)(x), et (x est ω_k), de valeur u_(k)(x). La valeur de l’implication si l’observation x est ω_i, alors x est aussi ω_j, ∀j variant de i + 1 à k est une mesure d’ambiguïté donnée par I(u_(i)(x),u_(k)(x)). Plus précisément, dans le contexte du rejet, on définit l’ambiguïté d’ordre k par

Φ_k,I>(u)) = I(u_(k−1)(x),u_(k)(x)) (4.34) Puisque par convention u_(i)(x) ≥ u_(k)(x), on suppose qu’il est plus probable d’associer x à la classe ω_i qu’à la classe ω_k, et on a évidemment I(u_i(x),u_i+1(x)) ≥ I(u_(i)(x),u_(k)>i+1(x)) par non décroissance avec la seconde variable. Introduit dans le schéma de sélection de classes, on obtient

n^?(x,t) = min

k∈[1,c] n

k : I^u_(k)(x),u_(k+1)(x)^≤ t^o (4.35) Puisque I(x,0) = 0 si x 6= 0, c classes sont sélectionnées si I^u_(k)(x),u_(k+1)(x)^ > t pour tout k ∈ [1,c − 1], et ce sans convention supplémentaire, contrairement aux règles de Ha et Horiuchi.

Proposition 4.2 ([Le Capitaine and Frélicot, 2009a]). Soit > = min. Si on utilise la mesure d’ambiguïté engendrée par l’implication résiduelle I_> dans (4.35), on obtient la règle de Ha [Ha, 1997].

Démonstration. On a > = min, l’implication résiduelle I_> associée est donc l’implication de Gödel définie par

I(x,y) =

(

1 si y ≥ x

y si y < x ^(4.36)

Comme u_(k)(x) ≥ u_(k+1)(x), l’implication I_> se réduit à I^u(k)(x),u_(k+1)(x)^= u_(k+1)(x). Insérée dans (4.35), on obtient la règle de sélection

n^?(x,t) = min

k∈[1,c] n

k : u(k+1)(x) ≤ t^o (4.37) ce qui termine la preuve.

Proposition 4.3 ([Le Capitaine and Frélicot,2009a]). Prenons la t-norme >_L de Luka-siewicz. Si on utilise la mesure d’ambiguïté engendrée par l’implication résiduelle I_> dans (4.35), on obtient la règle de Horiuchi [Horiuchi, 1998].

Démonstration. On a > = >_L, l’implication résiduelle I_> associée est donc l’implication de Lukasiewicz définie par

I(x,y) = min(1, 1 − x + y) (4.38) Ici encore, puisque u_(k)(x) ≥ u_(k+1)(x), on a 1 − u_(k)(x) + u_(k+1)(x) ≤ 1. L’implication se réduit donc à I^u_(k)(x),u_(k+1)(x)^= 1 − u_(k)(x) + u_(k+1)(x) Insérée dans (4.35), on obtient la règle de sélection

n^?(x,t) = min

k∈[1,c] n

k : 1 − u(k)(x) + u_(k+1)(x) ≤ t^o (4.39) ce qui est équivalent à

n^?(x,s) = min

k∈[1,c] n

k : 1 − u(k)(x) + u_(k+1)(x) ≤ 1 − s^o (4.40) si l’on pose s = 1 − t. Comme le domaine de t dans la règle de Horiuchi est [0, 1], ce changement de variable est valide, et on obtient enfin

n^?(x,s) = min

k∈[1,c] n

k : u_(k)(x) − u_(k+1)(x) ≥ s^o (4.41) ce qui termine la preuve.

Proposition 4.4 ([Le Capitaine and Frélicot,2009a]). Prenons la t-norme >_A produit. Si on utilise la mesure d’ambiguïté engendrée par l’implication résiduelle I_> dans (4.35), on obtient la mesure de Frélicot & Dubuisson [Frélicot and Dubuisson, 1992].

Démonstration. On a > = >_A, l’implication résiduelle I_>associée est donc l’implication de Goguen définie par

I(x,y) =

(

1 si y ≥ x

y

x si y ≤ x ^(4.42)

Comme u_(k)(x) ≥ u_(k+1)(x), l’implication I_> se réduit à

I^u_(k)(x),u_(k+1)(x)^= u_(k+1)(x)/u_(k)(x). Insérée dans (4.35), on obtient la règle de sélection

n^?(x,t) = min k∈[1,c] ( k : ^u(k+1)(x) u(k)(x) ≤ t ) (4.43) Si l’on pose k = 1, on obtient le rapport proposé dans [Frélicot and Dubuisson, 1992], ce qui termine la démonstration.

L’utilisation d’autres implications résiduelles engendrées par d’autres t-normes, éventuel-lement paramétriques, permet de définir de nouvelles règles. Le schéma proposé représente donc une famille de règles permettant de retrouver les règles existantes, et d’en proposer de nouvelles (autant que de t-normes, c’est à dire une infinité). Comme le choix du couple

4.3. De nouvelles mesures de sélection 111 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u2(x) u1(x)

Fig. 4.6: Degrés d’appartenance aux classes ω1 et ω2 pour x ∈R.

−2 −1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Chow I_>S, ΦHa I_>L, ΦHoriuchi I_>A, ΦF D −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 I>Hγ, γ = 0.5 I>Hγ, γ = 2 I>Dγ, γ = 0.75 I>Dγ, γ = 2

Fig. 4.7: Mesures d’ambiguïté de Chow, Ha, Horiuchi et Frélicot & Dubuisson. Les trois dernières sont également obtenues en prenant respectivement I>_S, I>_L et I>_A dans la règle proposée (gauche). Mesures d’ambiguïté engendrées par les implications de Hamacher et Dombi et pour différentes valeurs de γ (droite).

dual lors de l’utilisation de t-normes (et possiblement le paramètre γ dans le cas des fa-milles paramétriques) est toujours une difficulté en pratique, nous proposons un exemple de comportement des mesures proposées dans le cas de données mono-dimensionnelles com-posées de deux classes ( et ×) de distribution normale, et décrites par un modèle fondé sur une distance aux prototypes (équation (4.4)), voir Fig.4.6. La stratégie de Chow et les valeurs des implications des u(x) fondées sur les t-normes min, produit et de Łukasiewicz, qui correspondent respectivement aux schémas de Ha, Frélicot et Horiuchi, sont tracées sur la Fig. 4.7 à gauche, et celles des implications paramétriques de Dombi et Hamacher le sont à droite. Nous donnons également les valeurs des implications des u(x) fondées sur les familles paramétriques de Yager et Frank en Fig.4.8-(gauche), ainsi que celle obtenues par la famille de Dubois et Prade, Fig. 4.8-(droite).

Les graphiques montrent clairement que les schémas de Chow et Horiuchi (implication de Łukasiewicz) conduisent à rejeter de trop nombreux points, qu’ils soient ambigus (au centre) ou atypiques (à l’extérieur). Au contraire, les schémas fondés sur les implications produits (Frélicot) ou paramétriques (pour autant que le paramètre soit approprié) permettent de différencier les deux situations, et l’on peut donc s’attendre à de meilleurs performances

−2 −1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 I_>Yγ, γ = 0.5 I_>Yγ, γ = 2 I_>Fγ, γ = 0.1 I_>Fγ, γ = 2 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 I_>DPγ, γ = 0.2 I_>DPγ, γ = 0.4 I_>DPγ, γ = 0.6 I_>DPγ, γ = 0.8

Fig. 4.8: Mesures d’ambiguïté engendrées par les implications de Yager et Frank (gauche) et Dubois-Prade pour différentes valeurs de γ (droite).

des schémas paramétriques. En particulier, les valeurs de γ pour les implications suivantes : – Hamacher, avec γ plutôt fort (ici ≈ 2),

– Dombi, γ plutôt faible (ici ≈ 0.75), – Yager, γ plutôt fort (ici ≈ 2), – Frank, γ plutôt fort (ici ≈ 2),

– Dubois-Prade, γ plutôt fort (ici ≈ 0.8).

Remarquons enfin, pour ces dernières, comment le choix du paramètre γ permet de rejeter en ambiguïté et en distance (une grande valeur de γ pour la famille de Hamacher, et une faible valeur pour celle de Dombi), comme précisé dans la discussion. De manière plus générale, on peut définir les stratégies suivantes.

Proposition 4.5 ([Le Capitaine and Frélicot,2009a]). Soit Φ_k(u(x)) une mesure d’ambi-guïté quelconque de u à l’ordre k. Alors, le nombre optimal de classes n^? à sélectionner au sens du critère Φ_k(u) est donné par

n^?(x,t) = min

k∈[1,c] 

k : Φ_k+1(u(x)) ≤ t

(4.44) où l’on prend comme convention u_(c+1)(x) = 0.