1 − > j∈C\Auj = 1 − 1 − ⊥ A∈Pk−1 > j∈C\Auj = ⊥ A∈Pk−1 > j∈C\Auj L’opérateur k
>(u) partage les mêmes propriétés duales que
k
⊥(u) de conditions aux bornes, monotonie et symétrie. Les propriétés duales des propositions 1.2–1.3–1.4peuvent également être démontrées; elles ne sont pas données car les preuves sont pratiquement identiques. Un seul exemple cependant : dans le cas de l’utilisation de (>, ⊥)M,
k
>
i=1,c(u) est exactement la k-ième plus petite valeur de u . Si l’on prend k = 1 et k = c, on obtient respectivement les opérateurs de t-norme et t-conorme.
1.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons donc présenté un aperçu général des opérateurs d’agréga-tion. Cet aperçu ne peut évidemment être complet, tant les outils disponibles sont nom-breux. A ce titre, nous suggérons au lecteur de se référer à [Grabisch et al.,2009]. D’autres opérateurs, tels que les copules, n’ont pas été mentionnés dans ce chapitre, mais mérite-raient qu’on leur porte attention dans un avenir proche, dans la mesure où ils permettent de modéliser des unions et intersections de distributions de probabilités, et sont proches des normes triangulaires. Une introduction claire et concise à ce sujet pourra être trouvée dans le livre de Nelsen [Nelsen,2006].
Nous avons proposé un nouveau couple d’opérateur de similarité d’ordre, le OU flou d’ordre, et son opération duale, le ET flou d’ordre. C’est une généralisation des statistiques d’ordre k à l’aide d’une combinaison de normes triangulaires. Les applications potentielles de cet opérateurs sont multiples. En effet, déterminer si k valeurs parmi n sont fortes et similaires revient dans de nombreux problèmes. Nous citerons, sans être exhaustif, le filtrage médian en traitement d’image, la sélection de valeurs propres (composantes principales), le rejet en classification, ou encore l’appariement d’images.
Comme on a pu le voir tout au long de ce chapitre, les opérateurs d’agrégation ont pour but, avec une seule valeur, de représenter au mieux l’ensemble des valeurs d’entrée. Ceci ne se fait évidemment pas sans une perte d’information. L’objectif est alors de minimiser cette perte d’information, de manière à rendre cet opérateur pertinent. Une façon de minimiser cette perte est de déterminer les éléments caractéristiques, et donc discriminants, d’une série de valeurs. L’apparition des mesures floues, puis des intégrales floues qui leur sont associées, aura permis un pouvoir de modélisation très important, puisque les interactions entre valeurs sont déterminées de cette manière. Cette puissance a évidemment quelques défauts : elle requiert la spécification de nombreuses valeurs pour la définition de la mesure.
1.6. Conclusion 33
Afin de remédier à ce problème, de nombreuses solutions ont été proposées pour diminuer le nombre de valeurs nécessaires.
Dans le chapitre suivant, nous aborderons les notions de similarité entre valeurs d’entrée et/ou de sortie d’opérateurs d’agrégation, ou plus simplement la similarité de vecteurs que l’on pourrait soumettre à un opérateur d’agrégation. On verra que les opérateurs d’agréga-tion tiennent deux rôles distincts lorsque l’on désire évaluer la compatibilité d’observad’agréga-tions. Le premier type de mesures de compatibilité utilisant des opérateurs d’agrégation vise à déterminer les caractères communs de deux objets par le biais d’opérations ensemblistes telles que l’intersection ou l’union. Dans l’autre cas, l’opérateur d’agrégation est utilisé sur les mesures de compatibilité : un vecteur de compatibilité est évalué par un opérateur d’agrégation afin de déterminer certaines particularités, ou tout simplement pour obtenir une valeur scalaire de compatibilité. Nous nous intéresserons principalement à la deuxième situation dans le chapitre qui suit.
Chapitre 2
Similarité de valeurs numériques dans [0,1]
... the similarity of two simple qualities may consist in the slightness difference that exists between them.
— Oswald Külpe
Outlines of psychology (1895)
Résumé : Après avoir introduit le concept de similarité ainsi que les notions voisines et les différentes définitions qui s’y rapportent, le cœur de ce chapitre regroupe nos différentes propositions pour l’évaluation de différents types de similarités : similarité par blocs, simila-rité par une approche logique. Chaque proposition sera agrémentée d’exemples numériques sur des vecteurs ayant valeur dans l’intervalle unité, ainsi qu’une visualisation dans l’hy-percube unité. Différents exemples d’application de ces opérateurs sont enfin proposés pour conclure ce chapitre.
2.1 Introduction
Alors que nous avons utilisé jusqu’à maintenant la notation x = (x1, · · · , xn) pour la description des opérateurs d’agrégation, nous utiliserons indifféremment u = (u1, · · · , uc). Ce changement de notation est dû au fait que les principales applications auxquelles nous nous intéressons utilisent la notation u pour qualifier les degrés d’appartenance aux classes, et que ce nombre de classes est souvent dénoté c.
La similarité entre objets est sans doute la plus utilisée, mais aussi la plus difficile à quan-tifier des mesures de compatibilité [Cross and Sudkamp,2002]. Cette difficulté est liée au fait que la similarité ne possède pas une définition précise autre qu’intuitive. Les notions de si-milarité et de différence sont très liées, certains auteurs allant jusqu’à dire qu’une sisi-milarité n’est rien d’autre qu’une faible différence entre deux objets, [Külpe,1895]. Notons toutefois que définir la dissimilarité comme le complément strict de la similarité fait légitimement débat [Dubois and Prade,1982a]. La suite du chapitre est organisée de la manière suivante. Dans un premier temps, nous donnons et rappelons quelques notions, définitions qui sont liées au concept de similarité, et créons le lien avec les mesures d’ambiguïté, d’incertitude,
et d’imprécision. Nous proposons ensuite de nouveaux opérateurs et de nouvelles mesures fondées sur la combinaison de normes triangulaires. Ces propositions seront illustrées par des exemples numériques ainsi que par des visualisations. Nous donnons enfin quelques ap-plications possibles de ces propositions, et concluons en donnant des perspectives de travail. Lorsque l’on compare deux objets, on désire mettre en avant les relations, et les différences qui existent entre eux. Ceci peut se formuler grâce à des degrés de similarité caractérisant leurs différences et points communs. Les mesures permettant cette comparaison seront citées sous le terme général mesures de compatibilité, parmi lesquelles on trouvera les mesures d’inclusion, de distance, de similarité [Cross and Sudkamp,2002;Della Riccia et al.,2008]. Nous sommes donc bien en présence de deux objets dont on souhaite estimer la compatibi-lité. Inversement, nous aborderons le thème des mesures de caractérisation, comprenant les mesures d’incertitude, spécificité, ambiguïté1, imprécision, entropie, etc ... Dans ce cas, nous souhaitons caractériser, pour un objet les différentes notions précédemment énoncées. Bien évidemment, nous verrons qu’il existe des liens entre ces deux types de mesure.