Nom Connecteur Expression
Dombi, [Dombi,1982a] > 1 + 1 − x
x γ + 1 − y y γ1/γ!−1 γ ∈ [0, ∞] ⊥ 1 − 1 + x 1 − x γ + y 1 − y γ1/γ!−1
Frank, [Frank,1979] > logγ1 +(γ
x− 1)(γy− 1) γ − 1 γ ∈ [0, ∞] ⊥ 1 − logγ1 +(γ 1−x− 1)(γ1−y− 1) γ − 1 Hamacher, [Hamacher, 1978] > x y γ + (1 − γ) (x + y − x y) γ ∈ [0, ∞] ⊥ x + y + (γ − 2) x y 1 + (γ − 1) x y
Yager, [Yager,1980] > max1 − (1 − x)γ+ (1 − y)γ1/γ
,0
γ ∈ [0, ∞] ⊥ min xγ+ yγ1/γ
,1
Dubois-Prade, [Dubois and Prade,1980] > xy
max(x,y,γ)
γ ∈ [0, 1] ⊥ 1 − (1 − x)(1 − y)
max((1 − x),(1 − y),λ) Tab. 1.2: Couples de normes triangulaires paramétriques parmi les plus utilisés.
1.3.2 Combinaisons de normes triangulaires
Il existe également de nombreux opérateurs fondés sur les normes triangulaires, et où celles-ci sont combinées en fonction d’un élément neutre ou absorbant défini : uninormes et nullnormes, respectivement. Nous citerons aussi la classe des sommes symétriques, ainsi que les combinaisons convexes linéaires ou exponentielles. Ces opérateurs sont généralement construits dans le but d’obtenir un comportement dit de compensation (voir section1.1.3) : les caractères conjonctifs et disjonctifs des normes triangulaires sont associés. Par mesure de concision, ces opérateurs sont détaillés en AnnexeA.
1.4 Intégrales et mesures floues
1.4.1 Mesures floues
Le concept de mesure est très important en mathématiques, en particulier pour la théorie des intégrales. Ces mesures classiques sont supposées respecter l’additivité. Bien que cette propriété soit intéressante dans certains cas, il apparaît que dans des applications de la théorie de la décision, la théorie des jeux et l’intelligence artificielle, il devient indispensable de définir des mesures non-additives. Un exemple criant de ce genre de situation est le travail d’un groupe de personnes. Si l’on représente l’efficacité d’une personne par une mesure, il est évident que l’efficacité globale du groupe ne sera pas l’addition des différentes mesures mais dépendra bien des interactions entre les personnes.
Sugeno [Sugeno, 1974] propose donc de remplacer cette notion d’additivité par de la monotonie, et introduit ainsi les mesures floues, qui sont en fait des mesures non additives
monotones. On pourra tout de même observer que cette notion de mesure floue existait avant cette introduction sous des noms différents. En particulier Choquet [Choquet,1954] les avait décrites sous le nom de capacité.
Définition 1.8. Une mesure floue (discrète) sur X est une fonction d’ensemble µ : P(X) →
[0,1], où P(X) dénote l’ensemble des parties de X, ayant les propriétés suivantes :
(P1) µ(A) ≤ µ(B) si A ⊆ B monotonie (1.41)
(P2) µ(∅) = 0 condition aux bornes (1.42)
(P3) µ(X) = 1 condition aux bornes (1.43)
On notera que la propriété (P3) n’est pas indispensable pour définir une mesure floue, et une mesure respectant cette propriété sera dite normale. L’interprétation de cette mesure peut être assez variée, mais elle sert généralement à exprimer l’importance de la combinaison des critères A ⊆ N . Ceci permet ainsi de modéliser les diverses interactions entre critères et de leur donner un poids. Ainsi définies, les mesures floues requièrent la spécification de 2n− 2 coefficients. Afin de faciliter leur utilisation, plusieurs approches ont été considérées dans la littérature. En particulier, nous détaillerons ici les mesures restreintes, c’est à dire des mesures satisfaisant des contraintes supplémentaires, qui permettent de s’affranchir de spécifier l’ensemble de tous les 2n− 2 coefficients. Sugeno [Sugeno,1974] introduit ainsi les λ-mesures floues. Celles-ci sont en fait des mesures normalisées et λ-additives. Si l’on pose λ ∈ [−1,∞], une manière d’obtenir, une fois les poids pour les singletons fixés, les mesures correspondant à l’union de deux sous-ensembles disjoints de critères A et B est
µ({A,B}) = µ({A}) + µ({B}) + λµ({A})µ({B}) (1.44) Puisque cette mesure est normalisée, on a alors :
λ + 1 = n Y i=1 1 + λµ({xi}) (1.45)
Cette équation permet de déterminer la valeur de lambda correspondante. Dubois et Prade [Dubois and Prade, 1982b] proposent les mesures floues ⊥-décomposables. Celles-ci res-pectent µ(∅) = 0 et µ(X) = 1 et l’on calcule µ({A,B}) par l’intermédiaire d’une t-conorme; si A ∩ B = ∅ :
µ({A,B}) = ⊥µ({A}), µ({B}) (1.46) On peut ainsi obtenir des mesures de probabilités (⊥L), possibilités (⊥M) ou λ-mesures floues selon la t-conorme utilisée. Dans [Trillas and Alsina,1993], Trillas et Alsina proposent une définition générale fondée sur des relations d’ordre ≺. Ils introduisent ainsi les ≺-mesures floues respectant (P2), (P3) de la Définition1.8 et :
(P1’) si x ≺ y , alors µ(x) ≤ µ(y) (1.47) Plus tard, Grabisch [Grabisch, 1997] introduit les mesures floues k-additives. La repré-sentation est cette fois-ci fondée sur une décomposition polynomiale de fonctions pseudo-booléennes. Dans ce cas, la définition complète d’une mesure k-additive requiert Pk
i=1Cni coefficients. Une proposition visant encore à réduire la complexité de calcul des 2n− 2 coef-ficients consiste à supposer que tous les indices n’ont pas la même importance vis-à-vis de
1.4. Intégrales et mesures floues 23
la décision à prendre. Les auteurs [Miranda et al.,2002] introduisent ainsi les mesures floues p-symétriques. À partir de la notion d’ensembles d’indifférence, ils proposent une nouvelle équation de mise à jour où le nombre de coefficients nécessaires à la définition de la mesure floue dépend du nombre d’ensembles d’indifférence (c’est à dire p) et de leur cardinalité res-pective (dont la somme vaut n). Plus récemment, à partir du travail de Edwards [Edwards, 1953] sur les probabilités déformées5, Narukawa et Torra proposent une nouvelle famille de mesures, voir [Narukawa and Torra, 2005]. Dans ce cadre, une mesure floue µ est une probabilité déformée si elle est représentée par une distribution de probabilité P sur X et une fonction f strictement croissante avec P .
À noter aussi que la théorie des fonctions de croyance et de plausibilité peut aussi rentrer dans ce cadre, puisque une fonction de masse est également une mesure floue avec une règle de mise à jour propre [Shafer,1976]. Plus récemment encore, les bi-capacités ont été intro-duites afin de gérer les situations où l’on doit faire face à des échelles bi-polaires [Grabisch and Labreuche,2005a;b], mais ceci sort du cadre de ce tour d’horizon. Nous terminerons ce paragraphe sur les mesures floues en précisant que des outils de caractérisation et d’inter-prétation existent, en particulier la transformée de Möbius, l’indice de Shapley [Shapley, 1953], et le concept d’interaction entre critères [Murofushi and Soneda, 1993; Grabisch, 1997].
1.4.2 Intégrale de Choquet
Une intégrale par rapport aux mesures floues (dans ce contexte, on parlait de capacité) qui viennent d’être évoquées est introduite par Choquet [Choquet,1954]. Initialement vue dans le domaine continu où l’intégrale de Choquet de f par rapport à µ s’écrit
Z 1 0
µ({x|f (x) ≥ v})dv, elle sera ensuite proposée dans sa version discrète.
Définition 1.9. L’intégrale de Choquet discrète de x ∈Rnpar rapport à une mesure floue µ est définie par
Cµ(x) =
n X
i=1
x(i)µ(A(i)) − µ(A(i+1)) (1.48) où (·) est une permutation sur N telle que x(1) ≤ · · · ≤ x(n). Par ailleurs, A(i) dénote l’ensemble {(i), · · · ,(n)}, et par convention A(n+1)= ∅. On pourra écrire (1.48) de manière équivalente :
Cµ(x) =
n X
i=1
µ(A(i))x(i)− x(i−1) (1.49)
Un aspect particulièrement intéressant de l’intégrale de Choquet est qu’elle permet de généraliser un certain nombre d’opérateurs d’agrégation déjà évoqués, selon les mesures floues que l’on se donne. Ainsi, on pourra obtenir les opérateurs minimum, maximum, des statistiques d’ordre, la moyenne arithmétique et moyenne pondérée, et enfin la moyenne or-donnée pondérée OWA. Cette intégrale est monotone, continue et idempotente, et présente évidemment un comportement de compromis. Elle est de plus stable par transformation linéaire positive, elle est donc adaptée à l’agrégation de valeurs cardinales, à la différence de l’intégrale de Sugeno décrite ci-après.
1.4.3 Intégrale de Sugeno
En 1974, Sugeno introduit les concepts de mesure floue et d’intégrales floues, intégrales classiques au sens de Lebesgue mais par rapport à une mesure floue [Sugeno,1974] :
Définition 1.10. L’intégrale de Sugeno discrète de x ∈Rnpar rapport à une mesure floue µ est définie par
Sµ(x) =
n _
i=1
x(i)∧ µ(A(i)) (1.50) où (·) est toujours une permutation sur N telle que x(1)≤ · · · ≤ x(n), A(i) dénote l’ensemble {(i), · · · ,(n)}, et par convention A(n+1)= ∅.
Cette définition utilise les opérateurs minimum et maximum, mais plusieurs auteurs ont proposé l’utilisation de t-normes, si bien que la définition suivante parait importante.
Définition 1.11. La quasi-intégrale de Sugeno discrète de x ∈ Rn par rapport à une mesure floue µ est définie par
Sµ(x) =
n _
i=1
x(i)>µ(A(i)) (1.51) où (·) est une permutation sur N telle que x(1) ≤ · · · ≤ x(n). Par ailleurs, A(i) dénote l’ensemble {(i), · · · ,(n)}, et par convention A(n+1)= ∅.
De la même manière que l’intégrale de Choquet généralisait des opérateurs d’agrégation assez variés, l’intégrale de Sugeno permet elle aussi d’obtenir d’autres opérateurs d’agréga-tion. Parmi eux, on recensera les opérateurs minimum, maximum, des statistiques d’ordre, et enfin les minimum et maximum pondérés. Cette intégrale est monotone, continue et idempotente, et présente évidemment un comportement de compromis. La souplesse de la représentation de l’information grâce aux intégrales floues a conduit à son utilisation dans de nombreux domaines, et en particulier en décision multi-critères [Grabisch and Labreuche, 2008], décision dans l’incertain [Sabbadin, 1998], et en reconnaissance de formes [Bezdek et al.,1999b;Grabisch,2000b]. Cette intégrale de Sugeno est mieux adaptée à l’agrégation de valeurs ordinales. Ceci implique donc que pour combiner les mesures floues et les va-leurs de la fonction, il faut qu’elles appartiennent au même sous-domaine, et doivent dans un sens dénoter le même concept [Torra and Narukawa,2006]. Puisque les mesures floues modélisent une notion d’importance, de confiance dans les sources, ceci devrait être le cas pour f . En somme, l’intégrale de Sugeno parait appropriée lorsque l’utilisateur veut obte-nir une mesure de confiance globale du système. Enfin, nous noterons que cette intégrale procède par saturation : elle recherche l’importance (confiance) dépassant un certain degré, puis réalise une opération de compromis entre les valeurs sélectionnées. Un autre point de vue consiste à voir cette combinaison comme la disjonction de conjonctions, en d’autres termes obtenir le couple fonction-mesure floue maximum. À chaque fois qu’il faut gérer des situations incertaines, où des réponses discordantes peuvent apparaître, et qu’il faut prendre une décision en tenant compte de ces prises de position, on retrouve le concept d’intégrale, qui permet de modéliser la situation via l’introduction de mesures floues adap-tées. C’est ainsi qu’elles sont utilisées en classification, traitement d’image [Tahani and Keller,1990; Shi et al., 1998], fusion de classifieurs [Kuncheva, 2004;Temko et al., 2008], systèmes d’inférence floue [Torra and Narukawa,2006], etc ...