Différentes symétries

La seconde division de notre taxinomie concerne la nature de la symétrie locale utilisée pour définir la position des atomes. Un point p est considéré comme étant au centre de la forme s’il existe deux élémentsAet B sur la surface de cette forme tels que les distances

p´A

et p´B

soient égales. Dans ce cas, A et B sont dits symétriques par rapport à p, et la forme est localement symétrique en p. Pour deux éléments A et B, il existe une infinité de points centrés. Par exemple pour la distance euclidienne, ces points centrés sont sur le plan bissecteur. Chaque formulation sélectionne un seul centre par paire d’éléments de la surface, chaque algorithme de squelettisation définit comment déterminer la paire d’élémentsAet B.

2.1. TAXINOMIE DES FORMULATIONS SQUELETTALES 23

Figure 2.3 – Différentes sphères intérieures tangentes aux points A et B de la surface de

la forme. La sphère maximale Smax (en vert) capture plus de géométrie locale qu’une autre

sphèreS(en rouge). De plus, une sphère non maximale contient plus de volume n’appartenant

pas à l’objet queSmax.

2.1.2.1/ Symétries fondées sur la sphère

En règle générale, les positions des atomes sont calculées à l’aide d’une sphère. Rien n’exclut l’utilisation d’autres primitives géométriques pour la détermination du centre d’une forme. Par exemple, il est possible d’utiliser des ellipsoïdes [Banégas 2001]. Ces autres primitives comportent moins de symétries que la sphère, ce qui rend les calculs plus complexes, sans apporter de réels avantages. Il reste donc commun et pratique de ne considérer que la sphère pour les formulations de squelette surface. Cette sphère devient la donnée élémentaire de la description géométrique de la forme par le squelette.

Pour positionner les atomes, on considère toujours, à notre connaissance, des éléments A

et B de la surface de la forme. Pour des représentations dans R³, ces points A et B seront généralement les sommets d’un maillage ou un échantillonnage choisi de la surface. Une fois ces pointsAetBdéterminés, il reste à y faire passer une sphère, qui puisse capturer au mieux la géométrie de la forme au voisinage de ces deux points. Pour que le centre de symétrie soit pertinent pour le squelette, il convient de prendre des pointsA et B proches l’un de l’autre (voir la notion d’unε-échantillonnage [Ruppert 1993], rappelée dans la section 2.2.3.1). Il existe plusieurs sphères intérieures1passant par deux pointsAetB(voir la figure2.3) mais une seule sphère intérieure maximale tangente. Une telle sphère, notéeSmax, ne peut avoir un rayon plus grand sous peine de plus être intérieure, même si son centre est déplacé (en prenant soin qu’elle reste tangente àAet B). Une sphèreS non maximale capture moins de géométrie de la forme queSmax car le volume de la forme contenu dans Sest plus petit que celui contenu dansSmax. En pratique, les sphères utilisées pour calculer le centre de la forme « sortent » de la forme : une partie du volume qu’elles délimitent n’appartient pas à la forme (voir les renflements de la figure2.3). Ce renflement est plus petit dans le cas d’une sphère maximale. Ainsi, considérer des sphères non maximales conduirait à des squelettes contenant plus d’atomes pour capturer la forme (car chaque sphère capture moins de volume de la forme) et accentuerait le problème des renflements dans l’habillage (voir la section2.3.1).

2.1. TAXINOMIE DES FORMULATIONS SQUELETTALES 25

(nous donnons des raisons à cette absence dans la section2.1.2.3).

La formulation médiane, la plus usitée, propose de placer l’atome au centre de la sphère maxi-male. Cela correspond au squelette introduit par Blum [Blum 1967]. L’atome de la formulation médiane est donc une sphère, associée à d’autres informations (comme des connexions avec d’autres atomes pour former la structure squelettale). La formulation médiane, de par sa po-pularité, possède beaucoup de synonymes avec par exemple la surface médiane, l’ensemble médian ou encore l’axe médian. Parfois certains travaux font des distinctions entre des termes considérés comme équivalents par d’autres. D’autres travaux utilisent le mot squelette comme synonyme de la formulation médiane, considérant cette formulation comme l’unique squelette possible. Nous avons déjà vu qu’il existe une multitude de squelettes et que la formulation médiane n’en est qu’une parmi d’autres. Il est donc nécessaire de toujours préciser quelle formulation est utilisée dans un travail sur les squelettes.

2.1.2.3/ Discussion

Le squelette PISA est mal défini et nous expliquons pourquoi avec un exemple en deux dimensions. Pour un cercle maximal tangent aux points A et B d’un contour, il existe deux arcs _ABŇ, ce qui donne donc deux atomes. Lorsque ce cercle maximal se déplace tout en restant tangent à la forme en au moins deux points, les deux milieux des arcs vont tracer deux courbes distinctes. Ce problème persiste en trois dimensions, à la différence près qu’il existe une infinité d’arcs_ABŇ sur une sphère. Une autre lacune de cette formulation est l’absence de donnée géométrique associée à l’atome. Un tel squelette souffre donc des inconvénients des squelettes courbes (faible capacité de reconstruction) et des squelettes surfaces (complexité de la structure squelettale). Bien qu’intéressante, de par le lien entre les extrema de courbure et les bords du squelette, nous ne pouvons pas considérer cette formulation pour une mise en pratique. Cela nécessitera alors un travail de définition pour poser clairement ce qu’est un bord pour un squelette (voir la section 2.2.3.2pour une définition théorique d’un bord ou la section2.3.3pour notre définition). Nous verrons dans le chapitre 5en quoi ces bords sont importants pour résoudre le problème de la structure squelettale.

La formulation du point milieu a été motivée pour réduire le bruit squelettal en déplaçant les atomes sur les cordes des points de contacts. Pour des sphères maximales tangentes à plus de deux points, il y a plus d’un atome inséré dans le squelette car il y a plus d’une corde. Ces atomes sont alors tous associés à la même donnée géométrique, ce qui introduit une redondance. De plus, le bruit squelettal n’est réduit que visuellement : les données géométriques restent les mêmes, mais l’amplitude visuelle des changements du squelette en réponse à une faible variation de la forme est diminuée. L’intérêt de prendre le milieu de la corde plutôt que le centre de la sphère est donc nul. Cette formulation reste une tentative de correction du principal inconvénient de la formulation médiane : le bruit squelettal. La formulation médiane possède des propriétés intéressantes, notamment le fait que ce sque-lette soit homotopiquement équivalent à l’objet qu’il décrit [Lieutier 2003] (nous expliquons ce terme dans la section 2.3.3). C’est un squelette théoriquement bien défini, qui est intui-tivement compris. Nous choisissons donc cette formulation pour nos travaux. Un atome peut alors être vu à partir d’ici comme une sphère intérieure maximale tangente à la forme décrite par le squelette.

26 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L’ART