Bissecteurs et classification des atomes : Medial Scaffold

L’autre manière traditionnelle de calculer précisément les positions des atomes utilise les bissecteurs [Culver 1999,de Oliveira 2003]. Tout comme pour les diagrammes de Voronoï, la surface de la forme est approchée par un ensemble de points P “ tpiu (ou un ensemble de triangles). Pourpi etpj deP, le bissecteurBppi, pjq est la surface équidistante de ces deux éléments :Bppi, pjq “ tpPR3:dpp, piq “dpp, pjqu.

La méthode des bissecteurs commence par calculer l’ensemble des Bppi, pjq pour chaque paire d’éléments deP. La majorité des bissecteurs est ensuite élaguée, en retirant toutes les parties deBppi, pjqqui sont plus proches depk PP, tel quepk ‰pietpk ‰pj (pi etpj sont appelées les sources du bissecteur). Ainsi, l’ensemble des bissecteurs est réduit àpHppi, pjqqi,j

où :Hppi, pjq “ tpPR3 : dpp, piq “dpp, pjq “ ri,j et @k ‰i, j, dpp, pkq ą ri,ju. Autrement dit, ^ŤHppi, pjq est l’ensemble des points ayant au moins deux plus proches points sur la surface de la forme à squelettiser, ou encore l’ensemble des faces du diagramme de Voronoï deP(voir la section2.2.3.1). Un atome du squelette est centré sur un pointpPHppi, pjqXF

avec un rayon égal àri,j.

La méthode des bissecteurs souffre de la même complexité algorithmique que les diagrammes de Voronoï : elle nécessite une grande quantité de temps pour produire un résultat. Ce temps d’exécution est d’autant plus difficilement accepté que la majeure partie des bissecteurs est supprimée. Aussi, ces deux méthodes se concentrent sur l’obtention des atomes, délaissant la structure squelettale. Comme nous l’avons annoncé dans le chapitre 1, cette structure est pourtant nécessaire à l’utilisation pratique du squelette. Ce point de vue est également partagé dans un ensemble de travaux [Leymarie 2001, Leymarie 2003, Leymarie 2007] que nous désignons par Medial Scaffold (échafaudage de la surface médiane en Français), qui est aussi le nom donné par les auteurs au squelette produit (ouShock Scaffold). L’idée clef

duMedial Scaffoldest la classification des sources des bissecteurs et des atomes.

La majeure partie des bissecteurs est élaguée, de sorte que certains bissecteurs disparaissent totalement. En deux dimensions, une méthode [Tek 1998, Tek 2003] considère uniquement les bissecteurs nécessaires en utilisant une méthode de flux. Le type de flux en question est celui induit par le feu de prairie dans la formulation de Blum [Blum 1967]. Une carac-téristique intéressante de ce flux est qu’il permet, en théorie, de calculer des propriétés qualitatives du squelette [Blum 1978, Tek 2003], comme déterminer si un atome fait partie d’un bord. L’algorithme duMedial Scaffoldchoisit spécifiquement les sources de ce flux, ap-pelées sources des chocs, de sorte que seule une portion des bissecteurs est effectivement calculée. Lorsque deux ondes de propagation de ce flux se rencontrent / s’entrechoquent, nous obtenons le centre d’un atome (aussi appelé choc). Cette méthode a été ensuite étendue en trois dimensions [Leymarie 2003]. Elle est censée combiner tous les avantages des autres squelettisations sans en avoir les inconvénients, avec par exemple la précision des méthodes des diagrammes de Voronoï et des bissecteurs sans leur grande complexité algorithmique. Pour rester clairs, nous ne donnerons pas les détails complets de la méthode, notamment comment choisir les sources, comment propager le flux à partir de ces sources et les diffé-rentes discrétisations nécessaires. Nous renvoyons aux diffédiffé-rentes références accompagnant nos explications si le lecteur désire des approfondissements.

La méthode résultante [Leymarie 2001, Leymarie 2003, Leymarie 2007] produit le Medial

Scaffold, qui est une organisation du squelette en unhypergraphe(voir la figure2.8pour un

exemple). Un hypergraphe est un graphe avec des liens particuliers qui connectent un nombre quelconque de nœuds. De tels liens sont nomméshyperliens. Dans le Medial Scaffold, les

38 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L’ART

Chocs l“1 Source Relais Puits Régulier A2 1´1 A2 1´2 A2 1´3 A2 1´4 Bord A3´1 A3´2 A3´3 A3´4 A3 1 A3 1´1 A3 1´2 A3 1´1 A3 1´4 A1A3 – A1A3´2 A1A3´3 A1A3´4 A4 1 – – A4 1´2 A4 1´4 A4 1´3

Table 2.1 – Classification des chocs selon la nature du contact et le type de flux (adapté de [Leymarie 2007]).

graphes similaires pour des modèles proches (voir figure 2.10 c, d) et e)), ce qui permettrait une utilisation en reconnaissance de formes et prouverait la stabilité de cette squelettisation. La squelettisation duMedial Scaffolda été continuellement améliorée, afin de réduire encore le temps de calcul induit par les bissecteurs inutiles. Cependant, il n’existe aucune comparai-son des temps de calcul avec d’autres squelettisations. Dans une version récente, les auteurs annoncent seulement une complexité temporelle constatée de l’ordre de Opnq pour un cal-cul sur n échantillons de la surface de la forme [Leymarie 2007]. Nous avons fait un test sur le modèle Horse avec la squelettisation du Power Shape : le squelette est produit en six fois moins de temps que pour le Medial Scaffold (110 secondes d’après [Leymarie 2007] pour leMedial Scaffold, contre 18 secondes pour lePower Shape). Malgré les objectifs de la méthode, la squelettisation duMedial Scaffoldn’est pas plus rapide que les autres méthodes. Il n’en est pas fait explicitement mention dans les travaux, mais la méthode duMedial Scaf-fold fait face à des problèmes d’échantillonnage, tout comme le Power Shape. En effet, une grille est utilisée pour tous les calculs, que ce soit pour obtenir des points sources dans le calcul des bissecteurs ou pour réaliser la propagation du flux. Dans certains travaux sur

le Medial Scaffold, l’espace de travail est même Z3 (le squelette est donc image). De plus,

aucune mesure de la capacité de reconstruction de ces squelettes n’est disponible, ce qui nous laisse dans l’incapacité de conclure sur leur précision.

Le seul avantage de cette méthode, selon nous, est la classification des atomes du squelette en bords et en jonctions. En particulier, les bords et les jonctions sont biens définis, grâce aux notions de contact entre les sphères et la forme squelettisée. Cependant, ces définitions sont théoriques et ne sont pas faciles à appréhender, encore moins à appliquer.