Surface Evolver

Le logiciel Surface Evolver [164] permet d’étudier la forme prise par des interfaces liquides sous l’influence d’énergies (telles que la tension de surface) et de différentes conditions aux limites et contraintes. L’énergie peut inclure la tension de surface, la gravité, ainsi que d’autres formes. Nous ne prendrons en compte que la tension de surface, la gravité est négligée. Ce logiciel a déjà été utilisé pour étudier différents situations, par exemple le cas d’une goutte non axisymétrique sur une surface [165], la croissance de grains cristallins [166], l’influence sur la force capillaire des angles de contact de ménisques placés entre différentes surfaces planes [167-169]. L’étude de ces différents cas est rendue possible par la grande flexibilité de Surface Evolver. En effet, la géométrie du système est entièrement définie par l’utilisateur ce qui laisse une grande liberté pour la forme des différents éléments. Le logiciel laisse également le choix des contraintes et conditions aux limites. Un programme Surface Evolver est construit de la façon suivante :

Une forme initiale du système incluant la pointe, la surface plane et le ménisque est d’abord spécifiée en définissant les coordonnées des sommets de ces trois objets. La surface du système est ainsi discrétisée et approximée par un maillage de triangles formé à partir des points créés précédemment. Les conditions aux limites et contraintes s’appliquant sur chaque élément (sommet, arête, face) doivent également être entrées (Figure 4.9 gauche). Cette surface de base est alors optimisée par une méthode de gradient descendant pour obtenir l’état d’équilibre du système correspondant à une énergie libre minimale. Le maillage est affiné en divisant les facettes et les coordonnées de chaque point sont optimisées en prenant en compte les conditions aux limites et contraintes jusqu’à ce que la forme d’équilibre, comportant environ 36000 facettes dans notre cas, soit atteinte (Figure 4.9 droite).

4.4 Méthodes utilisées

Figure 4.9 – Ménisque placé entre une pointe conique et une surface plane, avant (gauche) et après (droite) optimisation de Surface Evolver.

Les conditions aux limites définissent le comportement des lignes de contact du liquide sur la pointe et sur le substrat. La configuration étudiée est la même que celle définie Figure 4.3, rtip (rsurf) et θtip

(θsurf) sont les rayons et angles de contact sur la pointe (et sur le substrat). Les conditions aux limites

appliquées dépendent des propriétés de surface. Selon la situation, nous utilisons soit un rayon constant quand la ligne ne se déplace pas sur le solide correspondant, soit un angle de contact fixé si la ligne bouge sur le solide (dans ce cas, nous négligeons l’hystérésis de l’angle de contact). Surface Evolver permet d’utiliser différentes géométries de pointes (pyramidales, coniques, sphériques…). Nous allons d’abord étudier le cas d’une pointe conique puis nous comparerons ces résultats à ceux d’une pointe pyramidale (correspondant aux conditions expérimentales).

Le logiciel laisse également le choix de la contrainte à appliquer au liquide : il peut s’agir d’une pression appliquée au liquide ou d’un volume fixé.

Une description plus précise de la modélisation du système avec Surface Evolver est maintenant faite. La première étape de la programmation consiste à définir une forme initiale du système et les conditions aux limites et contraintes à utiliser pour l’optimiser. Pour expliquer cette étape de modélisation, nous présentons en détails l’exemple de la Figure 4.9 correspondant à un ménisque placé entre une pointe conique et une surface plane dont le programme est placé en annexe 1. Il faut tout d’abord définir les coordonnées des sommets des 3 éléments en leur appliquant les conditions à respecter lors de l’optimisation. Ensuite, à partir de ces sommets, nous construisons les arêtes des 3 éléments, une arête étant un segment reliant 2 des sommets créés. La juxtaposition de plusieurs arêtes permet de définir les faces et enfin, le corps du ménisque est formé en accolant plusieurs faces. La Figure 4.10 illustre la construction du programme Surface Evolver. Ainsi, la pointe conique est définie par six points en haut du cône et un point à son sommet. Nous imposons à ces points, aux arêtes et aux faces qui en découlent de suivre l’équation d’un cône. Le substrat est défini par quatre points de hauteur z nulle qui sont fixés et ne seront donc pas modifiés durant l’optimisation. Enfin, le

ménisque est formé de douze points, six pour la ligne de contact sur le substrat dont la hauteur est fixée à zéro et six pour la ligne de contact sur la pointe qui doivent vérifier la même équation du cône que la pointe. 24 arêtes et 12 faces découlent ensuite de ces sommets. Le ménisque le plus simple à modéliser est celui qui a des rayons constants sur la pointe et sur le substrat. Dans ces conditions, les arêtes des lignes de contact sur la pointe et sur la surface doivent vérifier l’équation d’un cercle avec des rayons constants. Ainsi, seules les arêtes et les facettes de l’interface liquide-air sur lesquelles nous appliquons une tension de surface sont mobiles. Enfin, une contrainte est appliquée sur le corps du ménisque lui imposant soit un volume, soit une pression fixe (dont nous devons entrer la valeur). Dans le cas où c’est l’angle de contact qui est défini, par exemple l’angle sur la pointe, les arêtes de la ligne de contact doivent être libres de se déplacer sur la surface de la pointe pour atteindre l’angle voulu. Pour des raisons numériques, l’angle est défini en remplaçant l’intégrale double permettant de calculer les énergies associées aux faces solide-vapeur et solide-liquide par une intégrale de ligne. Cette astuce résulte du théorème de Green ( ) qui, adapté à notre cas

(Q = 0 et SV SL y

P

), donne : avec γ la tension

superficielle et θ l’angle de contact associé. Le programme placé en annexe 1 correspond à ce dernier cas, en imposant une pression constante.

4.4 Méthodes utilisées

Figure 4.10 – Schéma expliquant la programmation avec Surface Evolver

Pour une séparation pointe-surface z donnée, le logiciel nous donne la forme d’équilibre du ménisque. Nous obtenons donc rtip, rsurf, θtip, θsurf, le volume de liquide V, sa pression Δp et l’énergie

interfaciale totale du système Wint. La force capillaire F appliquée par le liquide sur la pointe est alors

déterminée par une approche énergétique. Nous calculons la variation d’énergie totale

W = Wint+Wbulk associée à un petit changement de hauteur Δz autour de la position d’équilibre, la

force est alors donnée par :

z z z V z z V p z z z W z z W z z W z F 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( in t in t (4-8)

Nous connaissons donc la force capillaire F, la pression de Laplace Δp, les angles et rayons de contact sur la pointe, à partir de ces paramètres. Nous pouvons calculer les deux composantes de la force, la force de Laplace en utilisant la formule : FL = πrtip2Δp et la force de tension de surface peut

être déterminée de deux façons : avec la formule FT = -2πrtipγcos(θtip-α) = -2πrtipγcos(φ) ou en

calculant la pente de l’interface avec les coordonnées des points très proches de la ligne de contact. Il est donc possible d’évaluer l’importance de ces deux forces dans différentes conditions.

Nous obtenons donc la force appliquée par le ménisque pour une hauteur donnée de la pointe, en itérant ce procédé pour une séparation pointe-surface croissante, nous simulons la courbe de force de retrait en entier. Il faut souligner que cette méthode de calcul implique que nous considérons que le ménisque est dans un état d’équilibre durant tout le processus de séparation. A partir d’une valeur seuil Zrupt, la minimisation de l’énergie ne converge plus et conduit à une instabilité du ménisque.

Expérimentalement ce point correspond à la rupture du ménisque.

Nous avons d’abord appliqué notre modèle au cas simple du cylindre à pression constante présenté au paragraphe 4.2 (rtip = rsurf = r, l’angle entre l’interface et la verticale φ = 0). Ce calcul simple nous

permet de déterminer le nombre d’itérations (facettes) nécessaires pour que les résultats convergent. Nous avons vu que dans ce cas, la pression de Laplace était définie par Δp = γ/r et que la force capillaire était donnée par l’expression : F = -πrγ. Pour modéliser cette configuration, nous fixons des rayons de contact rtip = rsurf = 1µm, et une hauteur de ménisque quelconque, nous utilisons un

programme où la pointe n’est pas modélisée. Nous fixons une pression

Pa r

p / 0,063/1.10 6 63000 .

Figure 4.11 – Ménisque cylindrique modélisé avec Surface Evolver, Avant et après optimisation.

La Figure 4.11 représente le ménisque avant et après optimisation par Surface Evolver, en sortie de programme. Nous obtenons bien un cylindre et avons déterminé que pour 36000 facettes et Δz = 0,001r, l’erreur relative sur la force est inférieure à 10-6

. Ces conditions seront donc appliquées systématiquement dans les programmes utilisés. Nous obtenons bien la même valeur en modélisant une cylindre à volume V constant (V = πr2h). Ces petits calculs nous apportent donc une première

validation de notre modèle.

En résumé, Surface Evolver nous permet de modéliser les courbes de force obtenues avec différentes géométries de pointe (coniques et pyramidales), avec différentes conditions aux limites (rayons ou

4.4 Méthodes utilisées

angles de contact constants) et en choisissant la contrainte imposée au liquide (volume ou pression constant). Nous pouvons donc modéliser toutes les situations expérimentales rencontrées avec NADIS.